Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Другой способ – алгоритм приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду, которыйвыполняется при помощи алгебраических преобразований, рассматривается ниже (настр. 72).Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz поверхность второго порядка описывается уравнением (6.1). Требуется определить ее название и составить каноническое уравнение. Для этого нужно выполнить следующие действия.1.

Вычислить ортогональные инварианты1  a11  a22  a33 ,2 a11 a12  det A  a12 a22a13a23aaaa11 a12 11 13  22a13 a33a23a12 a22a13a23 ,a33a11a12a13a1a12a13a1a22a23a2a23a33a3a2a3a0a23,a33.Если     0 , то вычислитьa11 2  a12a1a12a22a2a1a11a13a1a22a2  a13 a33 a3  a23a0a1 a3 a0a2a23 a2a33a3a3 .a0Если     0 и 2  2  0 , то вычислитьaaa1  11 1  22a1 a0a2a2a 33a0a3a3.a02. По таблице 6.2 определить название поверхности, а по названию – каноническоеуравнение поверхности второго порядка.3.

Составить характеристическое уравнение  3  12  2    0 , используя коэффициенты, вычисленные в п.1, либо разлагая определительdet  A   E  a11  a12a13a12a13a22  a23  3  12  2   .a23a33  Найти корни 1 ,  2 , 3 (с учетом кратности) характеристического уравнения.64Т а б л и ц а 6.2. Канонические уравнения поверхностей второго порядкаЭллиптическийтипНазвание поверхности№0эллипсоид10мнимый эллипсоид20мнимый конус30однополостный гиперболоид40двуполостный гиперболоид50конус60эллиптический параболоид70гиперболический параболоид81  2  0эллиптический цилиндр91  2  0мнимый эллиптическийцилиндр102  0пара мнимых пересекающихся плоскостей112  0гиперболический цилиндр122  0пара пересекающихсяплоскостей132  0параболический цилиндр141  0пара параллельныхплоскостей151  0пара мнимых параллельныхплоскостей161  0пара совпадающихплоскостей17 2  0 ,1    0Гиперболическийтип0 2  0 ,    0 12  00Параболический типНецентральные поверхностиЦентральные поверхностиПризнаки вида2  002  02  0654.

Занумеровать корни 1 ,  2 , 3 характеристического уравнения в соответствии с правилами:а) если поверхность эллиптического типа, то 1   2  3 ;б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через 1 и  2 корни одного знака так, чтобы 1   2 , а через 3 – корень противоположного знака;в) если поверхность параболического типа и– если нулевой корень двойной, то 1  3  0 и  2  0 ;– если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то 3  0 и1   2 ;– если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков,то 3  0 и либо 1  0 , если   0 или    2  0 ;либо 1  2  0 , если   0 и  2  0 .5.

Вычислить коэффициенты канонического уравнения и записать его в каноническойсистеме координат Oxyz :а) для поверхностей эллиптического типа:(1) – при   0 – уравнение эллипсоида( x ) 2a2( y ) 2b2( z ) 2c2 1 с коэффициентамиa 2    , b2    , c 2    ;1 2 3(2) при   0 – уравнение мнимого эллипсоида( x ) 2a2( y ) 2b2( z ) 2c2 1 с коэффици-ентами a 2   , b 2   , c 2   ;1 2 3(3) при   0 – уравнение мнимого конуса( x ) 2a2( y ) 2b2( z ) 2c2 0 с коэффициентамиa 2  1 , b2  1 , c2  1 ;123б) для поверхностей гиперболического типа:(4) при   0 – уравнение однополостного гиперболоидаэффициентами a 2    , b 2    , c 2   ;1 266 3( x ) 2a2( y) 2b2( z ) 2c2 1 с ко-(5) при   0 – уравнение двуполостного гиперболоида( x ) 2a2( y ) 2b2( z ) 2c2 1 с ко-эффициентами a 2   , b 2   , c 2    ;1 2(6) при   0 – уравнение конуса 3( x ) 2a2( y ) 2b2( z ) 2c2 0 с коэффициентами a 2  1 ,1b2  1 , c2  1 ;23в) для поверхностей параболического типа:(7) при   0 – уравнение эллиптического параболоидациентами a 2  2 , b 2 1 2 2 , b 2 1 2a2( y ) 2b2 2 z с коэффи- 2 ; 2 2(8) при   0 – уравнение гиперболического параболоидациентами a 2 ( x) 2( x) 2a2( y) 2b2 2 z с коэффи- 2 ; 2 2( x) 2( y) 2(9) при   0 , 2  0 , 1  2  0 – уравнение эллиптического цилиндра 2  2  1abс коэффициентами a 2   2 , b 2   2 ;1 2 22(10) при   0 , 2  0 , 1  2  0 – уравнение мнимого эллиптического цилиндра( x) 2a2( y ) 2b 1 с коэффициентами a 2  2 , b 2  2 ;1 22 22(11) при   0 , 2  0 ,  2  0 – уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей(12)( x) 2a2( x) 2a2при( y ) 2b2( y ) 2b2 0 с коэффициентами a 2  1 , b 2  1 ;  0,12  0 ,2  0–2уравнениегиперболическогоцилиндра 1 с коэффициентами a 2   2 , b 2  2 ;1 2 22(13) при   0 , 2  0 ,  2  0 – уравнение пары пересекающихся плоскостей x2a2 y2b2 0 с коэффициентами a 2  1 , b 2   1 ;12(14) при   0 , 2  0 ,  2  0 – уравнение параболического цилиндра ( y) 2  2 p x скоэффициентом p 213;67(15) при   0 , 2  0 ,  2  0 , 1  0 – уравнение пары параллельных плоскостей( y) 2  b 2  0 с коэффициентом b 2   21 ;1(16) при   0 , 2  0 ,  2  0 , 1  0 – уравнение пары мнимых параллельных плоскостей ( y) 2  b 2  0 с коэффициентом b 2  21 ;1(17) при   0 , 2  0 ,  2  0 , 1  0 – уравнение пары совпадающих плоскостей( y)2  0 .Алгоритм нахождение канонической системы координатповерхности второго порядкаДля нахождения канонической системы координат Oxyz достаточно указать ее базисные векторы:s1  s11i  s21 j  s31k ,s2  s12i  s22 j  s32k ,s3  s13i  s23 j  s33k(канонический базис), а также координаты x0 , y0 , z0 ее начала O в системе координатOxyz .Пусть выполнены пп.

1–5 алгоритма составления канонического уравнения поверхностивторого порядка. Как и ранее, матрицу квадратичной формы в левой части уравнения (6.1)обозначим через a11 a12A   a12 a22a 13 a23a13 a23  .a33 6. Найти собственные векторы x1  l1   y1  ,z  1 x2  l2   y2  ,z  2 x3  l3   y3 z  3матрицы A , соответствующие корням 1 ,  2 , 3 характеристического уравнения, по следующим правилам:а) если 1   2  3 , то l1  (1 0 0)T , l2  (0 1 0)T , l3  (0 0 1)T ;б) если все корни 1 ,  2 , 3 простые, то для каждого корня найти ненулевое решениеоднородной системы уравнений68(a11   ) x  a12 y  a13 z  0 ,a12 x  (a22   ) y  a23 z  0 ,a13 x  a23 y  (a33   ) z  0 ,а именно, решая (6.8) при   1 , найти l1  ( x1l2  ( x2(6.8)z1)T  o ; решая (6.9) при    2 , найтиy1z2 )T  o ; решая (6.8) при   3 , найти l3  ( x3y2z3 )T  o .y3Если 3  0 и корни 1 и  2 имеют разные знаки ( 1   2  0 ), то столбецl3  ( x3z3 )T должен удовлетворять дополнительному условию a1x3  a2 y3  a3 z3  0 , вy3противномl3  ( x3случае y3следуетзаменитьстолбецнаl3противоположный: z3 )T .Если 3  0 и корни 1 и  2 одного знака ( 1 2  0 ), то столбец l3  ( x3y3z3 )Tдолжен удовлетворять дополнительному условию 1(a1x3  a2 y3  a3 z3 )  0 , в противномслучае следует заменить столбец l3 на противоположный: l3  ( x3 y3 z3 )T ;в) если имеется двойной ненулевой корень 1   2  3 , то для простого корня 3найти соответствующий собственный вектор l3  ( x3шениесистемыl2  ( x2  3 .приДляz3 )T  o – любое ненулевое ре-кратногокорня1   2вкачествеz2 )T  o взять любой ненулевой столбец матрицы A  3 E , а элементы столб-y2ца l1  ( x1(6.8)y3y1z1)T найти по формуламx1 y2z2y3z3,y1  Если 3  0 , то столбец l3  ( x3x2z2x3z3,z1 x2y2x3y3.z3 )T должен удовлетворять дополнительномуy3условию 1(a1x3  a2 y3  a3 z3 )  0 , в противном случае следует заменить столбец l3 на противоположный: l3  ( x3 y3 z3 )T ;г) если имеется двойной нулевой корень 1  3  0 , то собственный векторl2  ( x2y2z2 )T , соответствующий простому корню  2 , найти как ненулевое решение си-стемы (6.2).

Вычислить столбец a  (a1 a2a1  a1 a1x2  a2 y2  a3 z2x22  y22  z22 x2 ,a2  a2 a3 )T :a1x2 a2 y2 a3 z2x22  y22  z2269 y2 ,a3  a3 a1x2 a2 y2 a3z2x22  y22  z22 z2 .Если a  o , то столбец l1  ( x1y1z1)T найти как ненулевое решение системы (6.8) при  0 . Если a  o , то элементы столбца l1  ( x1x1   1a1 ,y1   1a2 ,y1z1)Tвычислить по формуламz1   1a3 . Элементы столбца l3  ( x3y3z3 )T найти по форму-ламx3 y1z1y2z2,y3  По собственным векторам l1  ( x1y1x1z1x2z2,z3 z1)T , l2  ( x2x1y1x2y2y2z2 )T , l3  ( x3.y3z3 )Tопределить канонический базис:s1  s11i  s21 j  s31k s2  s12i  s22 j  s32k s3  s13i  s23 j  s33k x1y1i x2y2i y3i x32  y32  z32k ,z2 jk ,x22  y22  z 22x22  y22  z 22x22  y22  z 22z1x12  y12  z12x12  y12  z12x12  y12  z12x3 jz3 jx32  y32  z32k .x32  y32  z327.

Характеристики

Список файлов книги