Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Угол между векторами a и b равен  , вектор c образует с плоскостью, параллель-ной векторам a и b , угол  , причем a  1 , b  2 , с  3 . Векторы d и e линейно выражаются через a и b . Величины  ,  углов и разложения векторов d и e приведены втаблице 7.3. Вычислить:а) (a , b ) , (a  b , a  b ) , (d , e ) ;б) [a , b ] , [a  b , a  b ] , [d , e ] ;в) (a , b , c ) , (a  b  c , d  2c , e  c ) .Вар.de1120o30o3a  b3150o45o5135o7Таблица 7.3.eВар.da  3b230o60o4a  ba  4b3a  2b3a  2b445o60o4a  3b4a  3b60o5a  b5a  b660o45oa  2ba  2b120o45o5a  2b5a  2b830o45o2a  3b2a  3b9150o60o5a  3b5a  3b1045o30oa  4ba  4b11135o30o5a  4b5a  4b1260o30oa  3ba  3b13120o60oa  6ba  6b14150o60oa  5ba  5b15150o30o3a  5b3a  5b16135o30o2a  5b2a  5b17135o45oa  7ba  7b18120o45o3a  4b3a  4b1930o60o7a  b7a  b20150o60o6a  b6a  b4.

Разложения векторов a , b в ортонормированном базисе i , j приведены в табли-це 7.4. Найти:а) разложение вектора i по векторам a и b ;б) длину вектора a ;в) единичный вектор e , имеющий направление вектора a ;г) направляющие косинусы вектора a ;д) величину  угла между векторами a и b ;е) алгебраическое значение пр a ортогональной проекции вектора a на направлениеbвектора b ;ж) ортогональную проекцию прb a вектора a на направление вектора b ;з) вектор с , имеющий длину вектора b и направление вектора a .81Таблица 7.4.abВар.abВар.abВар.abВар.15i  j2i  3 j22i  3 ji 2j3i 5j4i  j42i  4 j53i  4 j 2i  3 j62i  ji 2j7i 3j4i  j82i  4 j 3i  2 j93i  2 j2i  j102i  ji 3j11i 4j4i  3 j124i  j3i  2 j135i  2 j2i  j142i  4 ji 3j15i 3j4i  2 j164i  3 j5i  j175i  3 j4i  3 j182i  5 j3i  j193i  4 j 4i  2 j204i  2 j5i  j3i  j5.

На векторах OA , OB , OC построена треугольная пирамида OABC . Разложения этихвекторов в ортонормированном базисе i , j , k приведены в таблице 7.5. Найти:а) длину ребра OA ;б) величину  угла AOC ;в) площадь S треугольника OAC ;г) объем V пирамиды OABC ;д) высоту h пирамиды, опущенную из вершины B .Таблица 7.5.Вар.OCВар.OAOBOAOBOC1 2i  2 j  k2i  j  ki  jk22i  2 j  k 2i  j  ki  j  2k3 2i  2 j  ki 2jki  jk42i  2 j  ki 2j ki  j  2k5 2i  j  2ki  j  2ki  jk62i  j  2k i  j  2k3i  j  k7 2i  j  2k3i  j  k2i  j  k82i  j  2k 3i  j  k3i  j  k9 i  2 j  2ki 3j k2i  j  k10i  2 j  2ki 3j  k3i  j  k11 i  2 j  2ki  j  3k2i  j  k12 i  2 j  2k i  j  3ki 3j k13 2i  2 j  k4i  j  ki 2jk142i  2 j  k 4i  j  ki 3j  k15 2i  2 j  ki 4jki 2jk162i  2 j  ki 4j ki 3j k17 2i  j  2ki  j  4ki 2jk182i  j  2k i  j  4ki  j  3k19 2i  j  2ki  jki  j  2k202i  j  2ki  j ki  j  3k6.

Координаты точек A и B в прямоугольной системе координат Oxy приведены в таб-лице 7.6. Составить следующие уравнения прямой AB :а) каноническое;б) параметрическое;в) общее;г) нормированное;д) в отрезках;е) разрешенное относительно y (т.е. с угловым коэффициентом).82Вычислить:ж) расстояние  от прямой AB до начала координат O ;з) площадь S треугольника, образованного этой прямой с координатными осями;и) величину  угла между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс.Таблица 7.6.ABВар.ABВар.ABВар.ABВар.1(1,2)(0,2)2(1,1)(0,2)3(2,1)(3,1)4(0,1)(1,1)5(1,2)(3,0)6(1,1)(3,2)7(2,2)(3,1)8(0,2)(1,1)9(1,2)(2,0)10(1,1)(3,0)11(1,0)(1,1)12(0,3)(1,1)13(1,3)(2,1)14(1,1)(3,2)15(0,2)(1,1)16(0,1)(3,1)17(1,3)(2,1)18(2,2)(3,1)19(2,0)(1,1)20(0,2)(1,1)7.

Координаты вершин треугольника ABС в прямоугольной системе координат Oxyприведены в таблице 7.7. Требуется:а) составить общее уравнение серединного перпендикуляра к стороне BC ;б) составить каноническое уравнение прямой, содержащей медиану AM ;в) составить общее уравнение прямой, содержащей высоту AH ;г) составить параметрическое уравнение прямой, содержащей биссектрису AL ;д) найти расстояние от вершины A до прямой BC (т.е. высоту AH треугольника);е) найти величину  угла между прямыми AC и BC ;ж) найти координаты точки O , симметричной точке O относительно прямой AB .BСВар.ABТаблица 7.7.С(6,4)(2,0)(0,4)2(4,6)(4,0)(4,2)3(3,8)(1,4)(7,2)4(4,6)(1,3)(5,1)5(3,4)(5,0)(1,2)6(3,8)(7,2)(1,4)7(1,3)(3,5)(5,1)8(3,4)(1,3)(5,1)9(1,3)(3,1)(7,3)10(5,5)(2,4)(6,0)11(3,1)(4,3)(2,5)12(0,5)(3,1)(5,3)13(3,4)(1,3)(7,1)14(1,3)(0,5)(6,3)15(4,2)(7,1)(7,5)16(3,1)(5,0)(1,4)17(0,2)(3,1)(5,3)18(3,1)(3,4)(1,0)19(2,4)(1,7)(3,1)20(4,1)(1,2)(3,0)Вар.A18.

Координаты вершин A , B и С треугольной пирамиды OABC в прямоугольной си-стеме координат Oxyz приведены в таблице 7.2. Требуется:а) составить общее уравнение плоскости грани ABC ;83б) найти расстояние h от вершины O до плоскости грани ABC ;в) составить каноническое уравнение прямой BC ;г) найти расстояние от вершины A до прямой BC (т.е. высоту AH треугольника ABC );д) составить общее и каноническое уравнения прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC ;е) найти величину  угла между плоскостями граней OAB и ABC ;ж) найти величину  угла между ребром OA и плоскостью грани ABC пирамиды;з) найти проекцию O1 вершины O на плоскость основания ABC ;и) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину O и точку Mпересечения медиан треугольника ABC ;к) найти величину  угла между прямыми OM и AB ;л) найти расстояние d между прямыми OM и AB ;м) найти проекцию C1 вершины C на прямую AB ;н) составить уравнение прямой, симметричной прямой OM относительно плоскости основания ABC .9.

Уравнения 1), 2) линий второго порядка в данной прямоугольной системе координатOxy приведены в таблице 7.8.9.1. Уравнение 1) привести к каноническому виду, выполняя преобразование данной си-стемы координат без поворота, определить название линии, найти координаты ( x0 , y0 ) начала O канонической системы координат Oxy в данной системе координат Oxy , записатьформулы, выражающие координаты x , y через канонические координаты x , y , построитьлинию в данной системе координат Oxy .9.2. Для уравнения 2) вычислить ортогональные инварианты, по ним определить назва-ние линии и составить каноническое уравнение, вычислить угол  , на который повернутаканоническая система координат Oxy относительно данной системы координат Oxy , найтикоординаты ( x0 , y0 ) начала O в данной системе координат, записать формулы, выражающие координаты x , y через канонические координаты x , y , построить линию в данной системе координат Oxy .Таблица 7.8.Вар.Уравнение 1)Уравнение 2)14x2  y 2  8x  2 y  3  08 x 2  12 xy  17 y 2  40 x  80 y  80  024 x 2  9 y 2  8 x  18 y  23  07 x 2  8 xy  y 2  36 x  18 y  45  0843x2  4 y 2  2x  8 y  7  09 x 2  12 xy  4 y 2  78 x  52 y  117  04x2  2x  6 y  7  04 x 2  10 xy  4 y 2  4 x  4 y  1  05x2  y 2  2 x  2 y  1  05 x 2  8 xy  5 y 2  2 x  2 y  7  069 x 2  y 2  18 x  2 y  1  016 x 2  24 xy  9 y 2  60 x  80 y  500  074 x 2  9 y 2  16 x  36 y  20  09 x 2  24 xy  16 y 2  120 x  90 y  750  084 x 2  y 2  16 x  2 y  1  0x 2  6 xy  7 y 2  12 x  4 y  12  099 x 2  y 2  36 x  2 y  35  013x 2  18 xy  37 y 2  80 x  240 y  360  010x 2  2 x  6 y  11  04 x 2  12 xy  9 y 2  52 x  78 y  117  0114x2  y 2  8x  4 y  4  09 x 2  6 xy  y 2  60 x  20 y  10  0129 x 2  y 2  18 x  4 y  4  03x 2  8 xy  3 y 2  20 x  10 y  20  0134 x 2  9 y 2  8 x  36 y  4  016 x 2  24 xy  9 y 2  90 x  120 y  750  014x2  y 2  4x  2 y  4  09 x 2  24 xy  16 y 2  80 x  60 y  500  0154 x2  y 2  8x  2 y  1  0x 2  8 xy  7 y 2  18 x  36 y  45  016x 2  4 y 2  2 x  16 y  19  07 x 2  6 xy  y 2  4 x  12 y  12  0174 x 2  9 y 2  8 x  36 y  4  0x 2  6 xy  9 y 2  20 x  60 y  10  018x2  4 y 2  4x  8 y  4  017 x 2  12 xy  8 y 2  80 x  40 y  80  019y2  4x  2 y  7  03x 2  8 xy  3 y 2  10 x  20 y  20  0204 x 2  9 y 2  16 x  18 y  43  037 x 2  18 xy  13 y 2  240 x  80 y  360  010.

Уравнения 1), 2) поверхностей второго порядка в данной прямоугольной системе ко-ординат Oxyz приведены в таблице 7.9.10.1. Уравнение 1) привести к каноническому виду, выполняя преобразование даннойсистемы координат (без поворотов), определить название поверхности, найти координаты( x0 , y0 , z0 ) начала O канонической системы координат Oxyz в данной системе координатOxyz , записать формулы, выражающие координаты x , y , z через канонические координатыx , y , z , построить поверхность в данной системе координат Oxyz .10.2.

Для уравнения 2) вычислить ортогональные инварианты, по ним определить назва-ние поверхности и составить каноническое уравнение, найти координаты базисных векторовs1 , s2 , s3 и координаты ( x0 , y0 , z0 ) начала O канонической системы координат Oxyz относительно данной системы координат Oxyz , записать формулы, выражающие координатыx , y , z через канонические координаты x , y , z , построить поверхность в канонической си-стеме координат Oxyz .85Таблица 7.9.Вар.Уравнение 1)Уравнение 2)19 x 2  4 y 2  36 z 2  18 x  16 y  72 z  11  02y 2  z 2  8 x  2 y  4 z  19  039 x 2  4 y 2  36 z 2  36 x  8 y  216 z  328  04x 2  4 y 2  8 x  16 y  8 z  16  05x2  4 y2  z 2  2 x  8 y  4 z  3  06x 2  4 y 2  4 z 2  6 x  8 y  8 z  13  07x 2  4 y 2  z 2  2 x  16 y  4 z  7  084 x 2  36 y 2  9 z 2  16 x  72 y  18 z  11  04 x 2  y 2  z 2  4 xy  4 xz  2 yz  24 x  12 y  12 z  12  09x 2  9 y 2  z 2  4 x  18 y  6 z  13  08 y 2  4 xy  2 xz  4 yz  8 x  30 y  4 z  2  0104 x2  y 2  z 2  8x  4 y  2 z  3  0114 x 2  y 2  z 2  16 x  2 y  2 z  14  0129 x 2  y 2  z 2  18 x  6 y  4 z  13  013x 2  4 y 2  z 2  2 x  16 y  2 z  14  014x2  4 y2  z 2  4x  8 y  6z  9  015x 2  9 y 2  9 z 2  6 x  18 y  18 z  0169 y 2  z 2  18 x  18 y  6 z  011x 2  20 y 2  31z 2  40 xy  56 xz  20 yz  90 x  180 z  180  05 x 2  5 y 2  7 z 2  14 xy  10 xz  10 yz  24 x  24 y  12  025 x 2  16 y 2  4 z 2  40 xy  20 xz  16 yz  120 x  120 y  60 z  05 x 2  5 y 2  14 z 2  2 xy  20 xz  20 yz  12 x  12 y  12  08 x 2  5 y 2  5 z 2  4 xy  4 xz  8 yz  48 x  6 y  24 z  45  05 x 2  14 y 2  19 z 2  20 xy  10 xz  44 yz  60 y  120 z  150  07 x 2  7 y 2  22 z 2  2 xy  8 xz  8 yz  12 x  12 y  12  022 x 2  7 y 2  7 z 2  8 xy  8 xz  2 yz  12 y  12 z  12  05 x 2  5 y 2  7 z 2  14 xy  10 xz  10 yz  24 x  24 y  36  013 x 2  13 y 2  4 z 2  22 xy  4 xz  4 yz  12 x  12 y  24 z  12  04 x 2  16 y 2  25 z 2  16 xy  20 xz  40 yz  60 x  120 y  120 z  04 x 2  13 y 2  13 z 2  4 xy  4 xz  22 yz  24 x  12 y  12 z  12  014 x 2  5 y 2  5 z 2  20 xy  20 xz  2 yz  12 y  12 z  12  019 x 2  14 y 2  5 z 2  44 xy  10 xz  20 yz  120 x  60 y  150  08617x2  y 2  4z 2  6 x  4 y  8z  9  018x 2  z 2  4 x  8 y  2 z  19  019x 2  9 y 2  z 2  6 x  18 y  2 z  10  0204 x 2  y 2  z 2  16 x  4 y  2 z  7  020 x 2  11 y 2  31z 2  40 xy  20 xz  56 yz  90 y  180 z  180  0x 2  4 y 2  z 2  4 xy  2 xz  4 yz  12 x  24 y  12 z  12  07 x 2  5 y 2  5 z 2  10 xy  10 xz  14 yz  24 y  24 z  12  05 x 2  5 y 2  8 z 2  8 xy  4 xz  4 yz  24 x  6 y  48 z  45  0ЛИТЕРАТУРА1.

Характеристики

Список файлов книги