Типовые задачи по аналитической геометрии (1006507), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Найти координаты x0 , y0 , z0 начала O канонической системы координат:а) для эллипсоидов, гиперболоидов, конусов, эллиптических или гиперболических цилиндров, пар плоскостей найти любое решение x0 , y0 , z0 системы:a11x  a12 y  a13 z  a1  0 ,a12 x  a22 y  a23 z  a2  0 ,a13 x  a23 y  a33 z  a3  0 ;б) для параболоидов и параболического цилиндра найти любое решение x0 , y0 , z0системы:a11x  a12 y  a13 z  a1  0 ,a12 x  a22 y  a23 z  a2  0 ,a13 x  a23 y  a33 z  a3  0 , ( a  a  ) x  ( a  a  ) y  ( a  a ) z  a  0 ,22330 1 1где в зависимости от вида поверхности положить:– для эллиптического и гиперболического параболоидов:  a1s13  a2 s23  a3s33 ,a1  a1  a1 ,a1   s13 ,a2  a2  a2 ,70a2   s23 ,a3   s33 ,a3  a3  a3 ;– для параболического цилиндра:  a1s12  a2 s22  a3s32 ,a1  a1  a1 ,a1   s12 ,a2  a2  a2 ,a2   s22 ,a3   s32 ,a3  a3  a3 .Найденные в пп.6,7 координаты x0 , y0 , z0 начала O и базисные векторы s1 , s2 , s3определяют каноническую систему координат Oxyz .

"Старые" координаты x , y , z и "новые" (канонические) x , y , z связаны формулами x  x0  s11x  s12 y  s13 z , x x    y   s  S  y    y  y0  s11x  s12 y  s13 z , z  z  s x  s y  s z ,z z   0111213где s  ( x0y0(6.9)z0 )T – координатный столбец вектора s  OO переноса начала O канони-ческой системы координат.Алгоритм построения поверхности второго порядкаПусть определено название поверхности второго порядка, составлено ее каноническоеуравнение (см.

пп. 1–5 алгоритма), а также найдена каноническая система координат Oxyz(пп. 6, 7 алгоритма). Требуется построить поверхность второго порядка в заданной системекоординат Oxyz . Для этого нужно выполнить следующие действия.8. В координатном пространстве Oxyz изобразить каноническую систему координатOxyz , координаты x0 , y0 , z0 начала O которой найдены в п. 7, а координаты базисныхвекторов – в п.6.9.

Построить поверхность второго порядка в канонической системе координат Oxyz поканоническому уравнению, найденному в п. 5. Построение центральных поверхностей (эллипсоида, гиперболоидов, конуса) удобно начинать с изображения основного параллелепипеда. При построении поверхностей использовать их типовые изображения в каноническойсистеме координат. Мнимые поверхности не изображаются, за исключением мнимого конусаили пары мнимых пересекающихся плоскостей (при этом изображаются только точка O илиось Oz соответственно).Рассмотрим другой алгоритм получения канонического уравнения линии второго порядка и нахождения канонической системы координат Oxyz (первые два этапа построения поверхности второго порядка).71Алгоритм приведения уравнения поверхности второго порядкак каноническому видуПусть в прямоугольной системе координат Oxyz поверхность второго порядка заданауравнением (6.1)a11x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 x y  2a13 x z  2a23 y z  2a1x  2a2 y  2a3 z  a0  0 .Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.1.

Составить матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: a11 a12A   a12 a22a 13 a23 a1  a   a2  .a  3a13 a23  ,a33  1 0Если матрица квадратичной формы диагональная, т.е. A   0  20 000  , то положить S  E3 и перейти к п. 4.2. Составить характеристическое уравнениеa11  a12a13a12a13a22  a23  0a23a33  и найти его корни 1 ,  2 , 3 (с учетом кратности).3. Найти взаимно перпендикулярные единичные собственные векторы s1 , s2 , s3 , соответствующие корням 1 ,  2 , 3 характеристического уравнения, и составить из них матрицуS  ( s1 s2s3 ) :а) если уравнение имеет один тройной корень 1   2  3 , то базис исходной системы координат является каноническим.

Поэтому полагаем S  E и переходим к п. 4;б) если все корни 1 ,  2 , 3 простые, то для каждого корня найти ненулевое решениеоднородной системы уравнений ( A  i E ) li  o , i  1, 2, 3 . Например, собственный векторl3  ( x3y3z3 )T для простого корня 3 находится как любое ненулевое решение системы (a11   3 ) x  a12 y  a13 z  0 , a12 x  (a22  3 y  a23 z  0 ,a x  a y  ( a   ) z  0 ;23333 1372или( A  3 E ) l3  o ;в) если имеется двойной корень, например, 1   2  3 , то для простого корня 3найти соответствующий собственный вектор l3 – любое ненулевое решение системы( A  3 E ) l3  o . Для кратного корня 1   2 в качестве l2 взять любой ненулевой столбецматрицы A  3 E , а координатный столбец l1 найти, используя векторное произведениеl1  [l2 , l3 ] .Нормируя найденные в п.«б» или «в» собственные векторы l1 , l2 , l3 , получаем координатные столбцыs1 1l1T l1 l1 ,s2 1l2T l2 l2 ,s3 1l3T l3 l3базисных векторов новой прямоугольной системы координат Oxyz .

Составляем матрицу Sперехода к новому базису, записывая собственные векторы s1 , s2 , s3 по столбцам:S  ( s1 s2s3 ) .4. Вычислить столбец коэффициентов линейной формы a  S T a  (a1 a2a3 )T и со-ставить упрощенное уравнение поверхности второго порядка:1( x) 2   2 ( y) 2   3 ( z) 2  2a1 x  2a2 y  2a3 z  a0  0 .(6.10)В зависимости от вида этого уравнения выполнить следующие действия.а) Если в уравнении (6.10) нет линейных членов, то переходим к п. 5.б) Если в уравнении (6.10) имеются линейный и квадратичный члены с какой-либонеизвестной, то дополняем эти члены до полного квадрата и заменяем его квадратом новойнеизвестной.

Например, если в уравнении 1  0 и a1  0 , то выполняем преобразования:22222 a1   a1  a1  a1 11 aa2221(x)  2a1 x  1(x)  2 x      1   1 x    1   1(x)  1  ,     11  1  1 1 1где x  x a11. В полученном уравнении нет линейного члена с неизвестной x .в) Если в уравнении (6.10) имеются два линейных члена с двумя неизвестными, аквадраты одноименных неизвестных отсутствуют, то делаем ортогональную замену этих неизвестных так, чтобы заменить их одной неизвестной.

Например, если в уравнении 1  0 , 2  0 , 3  0 , a1  0 , a2  0 , a3  0 , т.е. уравнение имеет вид1( x) 2  2a2 y  2a3 z  a0  0 ,то нужно выполнить замену неизвестных73x  x ,где  y  1 (a2 y  a3 z  1 a0 ) ,2z  1 ( a3 y  a2 z) ,(a2 ) 2  (a3 ) 2 . Эта ортогональная замена неизвестных приводит уравнение к виду1( x) 2  2  y  0 .г) Если одна неизвестная входит в уравнение (6.10) только в первой степени, а другиенеизвестные – только во второй, то нужно уничтожить свободный член уравнения, заменяяпервую неизвестную.

Например, в уравнении1( x) 2   2 ( y) 2  2a3 z  a0  0 ,aaможно преобразовать неквадратичные члены: 2a3 z  a0  2a3 ( z  0 )  2a3 z , z  z  0 .2 a32 a35. Полученное в результате преобразований (п. 4) приведенное уравнение имеет «почти»канонический вид. Для окончательного упрощения приведенного уравнения применяютсяпри необходимости следующие преобразования:а) переименование координатных осей, например, x  y , y  x , z  z ;б) изменение направления координатной оси, например: x   x , y  y , z  z ;в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;г) перенос членов из одной части уравнения в другую.В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Заменунеизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем каккомпозицию всех замен, применяемых в ходе решения. Выражая исходные координаты черезканонические, получаем формулы (6.9).

После этого выполняем п. 8, 9 алгоритм построенияповерхности второго порядка.Этот алгоритм удобно использовать в случае, когда нет произведения неизвестных, приэтом п. 2, 3 не выполняются. Если же произведение неизвестных входит в уравнение, то приходиться делать поворот системы координат (п. 1), что приводит к довольно громоздким выкладкам.Пример 10. В прямоугольной системе координат Oxyz заданы уравнения1) x 2  y 2  2 x  4 y  2 z  1  0 ;2) 2 x 2  5 y 2  5 z 2  6 y z  4 x  16 y  16 z  10  0поверхностей второго порядка:10.1. Уравнение 1) привести к каноническому виду, выполняя преобразование даннойсистемы координат (без поворотов), определить название поверхности, найти координаты74( x0 , y0 , z0 ) начала O канонической системы координат Oxyz в данной системе координатOxyz , записать формулы, выражающие координаты x , y , z через канонические координатыx , y  , z  , построить поверхность в данной системе координат Oxyz .10.2.

Для уравнения 2) вычислить ортогональные инварианты, по ним определить назва-ние поверхности и составить каноническое уравнение, найти координаты базисных векторовs1 , s2 , s3 и координаты ( x0 , y0 , z0 ) начала O канонической системы координат Oxyz относительно данной системы координат Oxyz , записать формулы, выражающие координатыx , y , z через канонические координаты x , y , z , построить поверхность в канонической си-стеме координат Oxyz .Решение. У р а в н е н и е 1). Применяем алгоритм приведения уравнения поверхностивторого порядка к каноническому виду (см.

Характеристики

Список файлов книги