Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Примем, что перемещения в заготовке распределены линейновдоль оси z .zPτkτk∆h∆huzz=hρdТогда для произвольного сечения справедливо:∆huz = −zhОчевидно, что граничные кинематические условия по перемещениямвыполняются.Напряженное состояние при осадке цилиндрической заготовки –осесимметричное. Компонентами тензора деформаций являются величиныε ρ , εθ , ε z , γ ρθ , γ θz , γ ρzВеличину осевой деформации можно определить непосредственно:∂u∆hεz = z = −h∂zОстальные деформации определим из условия несжимаемости:232∂u ρuρ∂u z=0∂ρ∂zρпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:1 ∂(u ρ ρ ) − ∆h = 0ρ ∂ρhИнтегрируя, получим:1 ∆h 2ρ + f ( z ) , при ρ = 0, u ρ = 0 → f ( z ) = 0uρ ρ =2 hОкончательно:1 ∆h1 ∆hρ , тогда ε ρ == εθuρ =2 h2 hСдвиговые деформации в площадках θ отсутствуют, посколькунапряженное состояние – осесимметричное, следовательно: γ ρθ = γ θz = 0 .

Сε ρ + εθ + ε z = 0;→∂u ρ++∂u z= 0 . Таким образом, деформации ε ρ , εθ , ε z ∂z∂ρглавные. Попутно заметим, что, поскольку все деформации постоянны, тонапряженное состояние – однородное.Интенсивность деформаций определим следующим образом:другой стороны γ ρz =2εi =3+(ε ρ − εθ ) + (εθ − ε z ) + (ε ρ − ε z )222=022∆h2 ⎛ 3 ∆h ⎞ ⎛ 3 ∆h ⎞=⎜⎟ +⎜⎟ =3 ⎝2 h ⎠ ⎝2 h ⎠hСоставляющие уравнения баланса работ55:Ap = P ⋅ ∆hdh2dh2∆h2πρdρdz =h00Aσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ∫ ε i 2πρdρdz = σ s ∫ ∫00Vd2 2∆h ρ2π=σs2hhz 0 =σs0πd 24d2∆hAτ = 2τ k ∫ ∆udf = 2τ k ∫ u ρ 2πρdρ = τ k0fτd3 2∆h ρ2π=τkh30=τkd2∆h2πρ 2 dρ =∫h 0πd 3 ∆h12 hили55Коэффициент 2 в формуле для Aτ присутствует т.к.

существует двеповерхности, трение на которых одинаково.233P∆h = σ sπd 2πd 3 ∆h∆h + τ k412 hприняв трение по Прандтлю τ k = µ sσ s , окончательно получимπd 2 ⎛1 d⎞⎜1 + µ s ⎟ - уже известная нам формула Зибеля.4 ⎝ 3 h⎠Эту формулу мы получали ранее с помощью инженерного метода,предположив, что касательные напряжения по высоте заготовки изменяютсялинейно.P =σs4.5.3 Определение удельной силы прямого выдавливания методомбаланса работ.Считаем, что очаг деформации ограничен двумя сферами, радиусамисоответственно a, b (см. рис.1). Выше и ниже этих сфер металл находится вабсолютно жестком состоянии. Используем сферическую систему координатρ ,θ , ϕ (рис.2).Напомним, что в сферической системе координат положение точки впространстве определяется радиус- вектором точки ρ и двумя углами θ , ϕ .Угол ϕ отсчитывается от оси z и аналогичен географической широте, а уголθ - от некоторой оси в плоскости, перпендикулярной оси z и аналогиченгеографической долготе.Элементарный объем выделяем двумя меридиональными сечениями(плоскости, проходящие через ось z ), развернутыми друг относительно другана угол dθ , двумя коническими сечениями, образующие которых выходят изначала координат и составляют между собой угол dϕ , и двумя сферическимисечениями с центрами сфер, расположенными в начале координат иотстоящими друг от друга на расстояние dρ .234v0ПуансонКонтейнерЗаготовкаzDvbρv0Mkϕ∆vbµsσs∆vabθϕv1γρadv1Рис.1Рис.2В нашем случае, исходя из физического смысла задачи, мы имеем делос осесимметричным напряженным состоянием.

При осесимметричномнапряженном состоянии, рассмотренном в сферической системе координат,напряжения и деформации не зависят от координаты θ , а касательныенапряжения и сдвиговые деформации, содержащие в индексе эту координату,равны нулю. (Рис. 3).235ερσρdθτρϕϕσθγρϕσϕεϕεθdϕРис.3Для определения деформированного состояния рассмотрим изменениеположения дуги AB радиусом ρ и углом dϕ , расположенной вмеридиональном сечении в общем случае осесимметричного состояния.Пусть за некоторый промежуток времени dt дуга переместится из положенияAB в положение A' B' .УВид УA'uρB'Aϕ ρAA'BdϕРис. 4Перемещение дуги в направлении координаты ρ обозначим через u ρ .Тогдаερ =∂u ρ∂ρ,()ρ + uρ d ϕ − ρ d ϕ uρA ' B '− AB==.ABρdϕρДеформацию εθ можно представить как изменение длин окружностей,проходящих через точки A и A' в сечениях, перпендикулярных оси z :2π rA ' − 2π rA ( ρ + u ρ )sin ϕ − ρ sin ϕ u ρεθ ==== εϕ2π rAρ sin ϕρεϕ =236В нашем случае деформации ε θ , ε ϕ - отрицательные, посколькуразмеры соответствующих дуг при выдавливании уменьшаются.

Исходя иззакона постоянства объема, можно заключить, что деформация ε ρ положительная и в два раза больше ε θ , ε ϕ по абсолютной величине:ε ρ + εθ + ε ϕ = 0, εθ = ε ϕ⇒ε ρ = −2εθ = −2ε ϕПоскольку мы имеем дело с осесимметричной деформацией, то в схемедеформированного состояния присутствует только одна сдвиговаядеформация γ ρϕ (рис.3). Таким образом, площадки θ являются площадкамиглавных деформаций.Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для скоростейдеформации, тогда:vρ∂vρ1, εθ = ε ϕ =ερ == − ερ2∂ρρСхема напряженного состояния в очаге деформации является схемойвсестороннего неравномерного сжатия.Задачу будем решать методом баланса мощностей, для чегорассмотрим следующее кинематически возможное поле скоростей:в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси выдавливания;в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении вершины конической матрицы с некоторойпеременной скоростью v ρ .Из условия постоянства объема следует:D2b2v1 = v0 2 = v0 2daОпределим скорость v ρ в очаге деформации:ε ρ + εθ + ε ϕ = 0∂v ρvρ=0ρ∂ρ∂vρ ρ 2 = 0∂ρ(+2)vρ ρ 2 = f ( ϕ )Неизвестную функцию f (ϕ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (рис.1).

Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точекпри переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,237что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага. В нашемслучае на границе очага ρ = b справедливо:v ρ = −v0 cos ϕ;vτ = −v0 sin ϕЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:−b 2v0 cos ϕ = f ( ϕ )Откудаb2v ρ = −v0 2 cos ϕρЗапишем уравнение баланса мощностей:W p = Wσ + Wτ + WkЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ijε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε ϕ )2 + (ε ϕ − ε ρ )2 + 3 γ ρ2ϕεi =32с учетом∂v ρb2= 2v0 3 cos ϕερ =∂ρρvρb2= −v0 3 cos ϕε ϕ = εθ =ρρ1 ∂v ρb2γ ρϕ == v0 3 sin ϕρ ∂ϕρполучим22⎞⎞b2b23 ⎛ b22 ⎛⎜⎟εi =2⎜ 2v0 3 cos ϕ + v0 3 cos ϕ ⎟ + ⎜⎜ v0 3 sin ϕ ⎟⎟ =2⎝ ρ3ρρ⎝⎠⎠b213 22 b22=v0 3 18 cos ϕ + sin ϕ =v0 3 11cos 2 ϕ + 123ρ3 ρМощность пластической деформации:238γb1b2v0 3 11cos 2 ϕ + 1 × 2πρ sin ϕ × ρ d ρ d ϕ =3 ρWσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫∫V0adVεibγ2dρ=σ s v0π b 2 ∫11cos 2 ϕ + 1 × sin ϕd ϕ∫ρ 03aВторой интеграл является табличным:122∫ 11cos ϕ + 1 sin ϕdϕ = − 2 cos γ 11cos γ + 1 −0γ)(()1111ln 11 + 2 3ln 11 cos γ + 11cos 2 γ + 1 + 3 +2222Полученное выражение достаточно сложно.

Нетрудно заметить, что в−интервале углов конусности матрицы γ = 0…π3с точностью до 2.5%полученное выражение можно заменить на:γ∫11cos 2 ϕ + 1 sin ϕdϕ ≈ 3 sin 2 γ0Физический смысл такой замены можно прояснить, рассмотреввыражение для интенсивности скоростей деформаций, в которомпренебрежем скоростями деформации сдвига: γ ρϕ ≈ 0 . Тогда онопреобразуется к виду:b2ε i = 2v0 3 cos ϕ = ε ρρВ этом случае второй интеграл будет иметь вид:γ∫12 cos ϕ sin ϕdϕ = 3 sin 2 γ0Таким образом, для относительно малых углов конусности матрицысдвиговыми деформациями в очаге пластических деформаций можнопренебречь. Поскольку в реальных условиях центральный угол 2γ непревышает 110…130 градусов, то подобное допущение правомерно.

Тогдаокончательно выражение для мощности пластической деформации приметвид:2bσ s v0π b 2 × ln × 3 sin 2 γWσ =a3bD2R2, πR = FП , 2 ln = ln 2 окончательно получимУчитывая b =asin γdWσ = σ s FП v0 lnD2d2239Мощность сил трения по поверхности матрицыbWτ =b2∫ τ k ∆vτ k df = µ sσ s ∫ v0 ρ 2 cos γ × 2πρ sin γ d ρ =fτadF∆v= µ sσ s v0 2π b 2 cos γ sin γ lnπ R2bb2= µ sσ s v0 2 cos γ sin γ ln 2 =asin γaµsD2σ s v0 FП ln 2=tan γdМощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = b ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации.Для верхней границы разрыва:Wkb = k ∫fs=γγ2π b 2∆vτ s df =v0 sin ϕ × 2π b sin ϕ ⋅ bd ϕ =σ s v0 ∫ sin 2ϕd ϕ =∫3030σs∆vdf2π b 211 π R2⎛1⎞σ s v0 ⎜ γ − sin 2γ ⎟ =σ s v0 ( 2γ − sin 2γ ) =43⎝2⎠ 2 3 sin 2 γ⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎟⎟22 3⎝ sin γ ⎠С ошибкой не превосходящей 2% в интервале углов используемых напрактике выражение в скобках может быть заменено более простым (см.рис.5):⎛ 2γ − sin 2γ ⎞⎜⎜⎟⎟ = 1.362γ2sinγ⎝⎠ТогдаWkb ≈ 0.393σ s v0 FП γВыражение для мощности трения сдвига ( ρ = a ) по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с выражением для верхнейповерхности.

Таким образом, суммарная мощность сил трения сдвига сучетом упрощений принимает вид:Wk = 0.786σ s v0 FП γМощность внешних сил, действующих на пуансон, запишем вследующем виде:W p = qFП v0=1σ s v0 FП ⎜⎜2400.80.62γsin( 2 γ )2sin γ1.362 γ0.41.289 tan( γ )0.20γ020°40°60°Рис. 5Используя уравнение баланса мощностей окончательно получимвыражение для удельной силы на пуансоне:⎤⎡⎛µs ⎞ D2⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ d⎦⎣⎝Кроме того, на металл действуют следующие удельные силы трения остенки контейнера и калибрующего пояска в жестких зонах.

Предполагаядавление на стенки равным напряжению текучести, получим значенияудельных сил трения (для их определения воспользуемся законом тренияПрандтля):между стенками контейнера и верхней жесткой зоной τ k = µ s1σ sмежду калибрующим пояском и нижней жесткой зоной τ k = µ s 3σ sТогда мощность трения в контейнере и в калибрующем пояске,Wτ 1 = µ s1σ s v0π DL ;Wτ 3 = µ s3σ s v0π dlОкончательно с учетом этих слагаемых:⎡⎛µ s2 ⎞ D 2Ll ⎞⎤⎛⎟⎟ ln 2 + 0.786γ + 4⎜ µ s1 + µ s 3 ⎟⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ dDd ⎠⎦⎝⎣⎝Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:D2σ s ln 2 - работа деформации в очаге деформацииdL4σ s µ s1 - трение в контейнереD241µs2 D2σsln- трение по поверхности конической матрицыtan γ d 2l- трение в калибрующем пояскеd0.786σ s γ - трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что, с увеличением угла наклонаобразующей матрицы, силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.

Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформированияявляется минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.Для нахождения оптимального значения угла необходимо приравнятьнулю производную от удельной силы по углу.ТогдаDsin γ = 2.54 µ s 2 lndПри волочении контейнер может отсутствовать. Для определенияудельной силы при волочении очаг деформации принимается таким же, как ипри прессовании. Силами трения в калибрующем пояске матрице можнопренебречь, тогда удельная сила деформирования определится по формуле:⎤⎡⎛µ s2 ⎞ D 2⎟⎟ ln 2 + 0.786γ ⎥q = σ s ⎢⎜⎜1 +tan γ ⎠ d⎦⎣⎝На рис.6 представлено изменение отношения удельной силыдеформирования к напряжению текучести при различных углах конусностиматрицы для D / d = 1.1 , µ s = 0.1 по результатам полученной формулы.Согласно расчету оптимальный угол конусности для этих данных равенприблизительно 10 градусам.4σ s µ s 3q/σs0.80.60.40.2γ010°20°30°Рис.62424.5.4 Определение осевых напряжений в стенке стаканчика привытяжке с утонением методом баланса работ.Считаем, что металл в очаге пластической деформации находится вплоском деформированном состоянии.

Характеристики

Список файлов книги