Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Фактор трения µ s на всех поверхностяхсчитаем постоянным, поэтому τ k1 = τ k 4 .Мощность сил трения между материалом и инструментом определимсуммированием по поверхностям трения:Поверхность контакта пуансона и заготовки:v 0.5 Lv L2Wτ 1 = 2 µ sσ s ∫ vx Bdx = 2µ sσ s B ∫ xdx = 2 µ sσ s B=HH8000.5 LL1= µ sσ s vFП4HМощность сил трения по поверхности контакта между заготовкой инижней поверхностью контейнера равна мощности сил трения поповерхности контакта заготовки с пуансоном:1LWτ 4 = Wτ 1 = µ sσ s vFПH4Мощность сил трения по боковым поверхностям контейнера отгоризонтальной составляющей скорости материальных частиц:0.5 LWτ 2 = 4 µ sσ s ∫ vx Hdx = 4 µ sσ s0v 0.5 LvL2H ∫ xdx = 4 µ sσ s H=HH80L1= µ sσ s vFПB2Мощность сил трения по боковым поверхностям контейнера отвертикальной составляющей скорости материальных частиц:v Hv H2Wτ 3 = 2 µ sσ s ∫ v y Ldy = 2 µ sσ s L ∫ ydy = 2µ sσ s L=HH200HHBПодставив полученные выражения в уравнение баланса мощностей исократив, окончательно получим:⎡LL H ⎞⎤⎛q = σ s ⎢1 + µ s ⎜ 0.5 + 0.5 + ⎟ ⎥HB B ⎠⎦⎝⎣= µ sσ s vFП2514.6.
Метод верхней оценки.4.6.1 Основные положения метода верхней оценки.Метод верхней оценки основан на использовании теоремы о верхнейоценке (кинематической теоремы) и принципа минимума полной мощности.Как и в других энергетических методах в методе верхней оценки используюткинематически возможное поле скоростей.Существуют два различных подхода для задания поля скоростей вметоде верхней оценки.
В одном из них течение металла моделируется припомощи деформируемых областей, в которых задается некоторое полескоростей. Второй вариант основан на моделировании течения металла спомощью недеформируемых («жестких» областей или блоков).Поскольку в обоих случаях используют теорему о верхней оценке, то втехнической литературе часто оба варианта называют методом верхнейоценки.Ранее мы получили неравенство теоремы о верхней оценке вследующем виде:** ****∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ε ij dV − ∫ p0i vi dFFvVFpЗдесь V - объем деформируемого тела. На части поверхности тела Fpзаданы внешние поверхностные силы pi , i = x, y, z .
В теле задано некотороекинематически возможное поле скоростей vi** , удовлетворяющее граничнымусловиям на части поверхности Fv и условиям непрерывности v0**i = v0i .Площадь поверхности тела F такова, что F = Fp + Fv . Полю скоростей vi**соответствуют скорости деформаций ε ij** ; σ ij**соответствующее полю скоростей деформаций- поле напряжений,ε ij**и определяемоеуравнением Сен-Венана – Леви – Мизеса.Распространим теорему о верхней оценке на разрывные поляскоростей.
Пусть поле скоростей таково, что в нем допускаются разрывыскоростей ∆vτ**S вдоль некоторой поверхности f S .fSτS∆vτS252Условие непрерывности требует, чтобы разрывы претерпевали толькокасательные составляющие скорости вдоль поверхности разрыва.Нормальные составляющие скорости к поверхности разрыва должны бытьнепрерывны.В каждой из областей, ограниченных поверхностями разрыва, поляскоростей и напряжений непрерывны, следовательно, справедливо основноеэнергетическое уравнение.
При составлении энергетического уравнения длявсего тела в целом следует дополнительно учесть мощность сил трения наповерхностях разрыва скоростей**∫ τ S ∆vτ S df , где τ S - касательныеfSнапряжения, действующие вдоль поверхности разрыва. Мощность трения наповерхностях разрыва является мощностью внутренних сил, поэтому должнадобавляться в правую часть неравенства теоремы о верхней оценке.Тогда справедливо:** ******∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ε ij dV + ∫ τ S ∆vτ S df − ∫ p0i vi dFFvVfSFpРанее мы показали, что для действительных полей скоростей инапряженийсправедливовозможногополяσ ijε ij = σ i ε i = σ sε i .скоростейДляσ ij**ε ij** ≤ σ i**ε i** = σ sε i** .кинематическиКрометого,касательные напряжения на поверхностях разрыва не могут быть большепостоянной пластичности τ S ≤ τ k max = k =σs3.Ужесточая неравенство, считаем:σ ij**ε ij** = σ sε i** , τ S = kОкончательно******∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ p0i vi dFFvVfSFpЭто неравенство используется в методе верхней оценки сиспользованием деформируемых областей.Составляющие неравенства метода верхней оценки имеют следующийфизический смысл:∫ pi v0i dF - мощность неизвестных внешних силFvσ s ∫ ε i**dV - мощность внутренних сил в очаге пластической деформацииV**∫ p0i vi dF - мощность известных внешних силFp253k ∫ ∆vτ**S df - мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрываfSскоростей.Правая часть неравенства носит название полной мощностикинематически возможного поля скоростей.
Принцип минимума полноймощности гласит, что полная мощность достигает абсолютного минимума надействительном поле скоростей.Иными словами, для действительного поля скоростей справедливо:⎛⎞****** ⎟⎜δ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ p0i vi dF = 0⎜⎟fSFp⎝ V⎠Принцип минимума полной мощности позволяет «улучшить» верхнююоценку удельной деформирующей силы. Пусть очаг деформациихарактеризуется некоторым заранее неизвестным варьируемым параметромa . Примером такого неизвестного варьируемого параметра может служитьвысота очага деформации при обратном выдавливании a = h . Пусть такжефункцияq (a )определяет значение верхней оценки удельнойдеформирующей силы, зависящее от неизвестного параметра a .
Тогда изпринципа полной мощности следует, что наилучшее приближение кистинному значению удельной силы деформирования может быть полученодля такого значения неизвестного параметра a , которое сообщаетминимальное значение функции q (a ) .a : q (a ) → minОчевидно, что нахождения минимума функции необходимо приравнятьнулю ее частную производную, найти решение полученного уравнения ипроанализировать его на минимум.Последовательность решения задачи методом верхней оценки сиспользованием деформируемых областей следующая:Выделяют очаг пластической деформации, который разделяют на зоны.Конфигурацию очага пластической деформации выбирают зависящейот некоторого переменного параметра.Для плоских и осесимметричных задач в каждой зоне задают функциюизменения одной из компонент поля скоростей.
Предложеннаяфункция должна удовлетворять кинематическим граничным условиями условиям непрерывности нормальных составляющих на границахмежду зонами.Интегрированием закона постоянства объема находят недостающиекомпоненты поля скоростей.Используя поле скоростей, определяют компоненты тензора скоростейдеформаций в каждой зоне.254По значениям компонент тензора скоростей деформаций определяютвыражения для интенсивности скоростей деформаций, а по полюскоростей – выражения для величин разрыва скоростей.Составляют неравенство теоремы о верхней оценке, выполняютинтегрирование и определяют верхнюю оценку удельной силыдеформирования в функции неизвестного параметра.Определяют размеры очага деформации (неизвестный параметр)минимизацией выражения для удельной силы деформирования.4.6.2 Решение задачи об обратном выдавливании цилиндрическимпуансоном методом верхней оценки.Принципиальная схема технологического процесса изображена нарисунке.
Цилиндрический пуансон, калибрующий поясок которого имеетнаружный диаметр 2r , движется со скоростью vo . Цилиндрическийконтейнер с внутренним диаметром 2R - неподвижен. Материалвыдавливается в зазор между пуансоном и контейнером.Примем следующую расчетную схему:Очаг деформации охватывает цилиндрическую область высотой h ирадиусом R под торцом пуансона.
Выше этой области (в стенках стакана) иниже этой области (вблизи дна контейнера) материал не деформируется.Заметим, что величина h очага деформации заранее неизвестна.Сам очаг деформации разделим на две зоны:цилиндрическая зона 1 радиусом r , находящаяся под торцом пуансона,кольцевая зона 2, ограниченная внутренним радиусом r и наружным R .Жесткую кольцевую зону в стенке стакана обозначим номером 3, ажесткую кольцевую зону вблизи дна – номером 4.Воспользуемся цилиндрической системой координат, начало которойсовместим с точкой очага деформации, расположенной на оси заготовки нарасстоянии h от торца пуансона.255zv0Rr3hτk2τkτk14vρ1vz2τkvρ2vz1ρЗададимся следующей схемой движения металла в выделенных зонах:в зоне 1 металл движется вниз и в сторону, а в зоне 2 – вверх и в сторону.Силы трения существуют на контактных поверхностях пуансон –заготовка и контейнер – заготовка.Принятая нами расчетная схема предопределяет существованиечетырех границ разрыва скоростей56:между зоной 1 и зоной 2 – разрыв в скоростях v zмежду зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях v ρмежду зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρмежду зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρИсходя из расчетной схемы, определим граничные кинематическиеусловия:на границе между зонами 1 и 2 терпит разрыв только касательная кгранице составляющая скорости - v z , нормальная же составляющаядолжна быть непрерывна:v ρ1ρ =r= vρ2ρ =rна границе между зоной 2 и зоной 3 непрерывна составляющая v z :v z2z =h= v z3на границе между зоной 1 и пуансоном:v z1= −v 0z =hна границе между зоной 2 и контейнером:56В дальнейших выкладках для простоты опустим значок *, обозначающий,что мы имеем дело с кинематически возможными скоростями.256vρ2ρ =R=0на границе между зонами 1, 2 и зоной 4:v z1= v z2=0z =0z =0Сконструированное поле скоростей должно удовлетворять этимграничным условиям.
Поле скоростей должно быть относительно простым,чтобы облегчить последующее интегрирование, а с другой стороныдостаточно хорошо описывать реальное. Одним и тем же граничнымусловиям соответствует бесконечное множество кинематически возможныхполей скоростей. В любом случае поле скоростей задается исследователем.Для учебных целей предложим следующее простейшее поле скоростей.Будем считать, что в зоне 1 осевая скорость пропорциональна координате zи не зависит от координаты ρ :zv z1 = −v0hТакой закон удовлетворяет всем граничным условиям. Закон дляскорости v ρ мы не можем выбирать произвольно, т.к. поле скоростей должноудовлетворять условию неразрывности:ε ρ + εθ + ε z = 0ερ =∂v ρ; εθ =vρ; εz =v∂v z=− 0 .∂zh∂ρρТогда∂v ρ v ρ ∂v z++=0∂ρ∂zρпоследнюю формулу можно преобразовать к виду:1 ∂(v ρ ρ ) − v0 = 0hρ ∂ρИнтегрируя, получим:1vv ρ ρ = 0 ρ 2 + f ( z ) , при ρ = 0, v ρ = 0 → f ( z ) = 02 hОкончательно:1v1vv ρ = 0 ρ , тогда ε ρ = 0 = ε θ2 h2 hПоскольку напряженное состояние осесимметричное, то скоростисдвиговых деформаций γ ρθ = γ θz = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
