Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогдафункционал становится зависящим только от одной варьируемой функции,следовательно, функция, реализующая экстремум должна удовлетворятьуравнению Эйлера∂F d ∂F−=0∂yi dx ∂yi 'Поскольку рассуждения приемлемы для любой функции, тонеобходимым условием экстремума функционала будет системадифференциальных уравненийdFy'i − Fy' ' = 0, i = 1,2,…, ndx iопределяющая систему экстремалей.2814.7.4 Метод РитцаВозникает вопрос, в чем же преимущества вариационных методов,еслиихиспользованиеприводиткнеобходимостирешениядифференциальных уравнений?В вариационном методе обоснованы приближенные методы решениязадач поиска экстремалей функционалов.
Одним из таких методов,нашедшим наибольшее применение в теории обработки давлением являетсяметод Ритца.Идея метода состоит в том, чтобы разложить искомые функции62 в ряди искать неизвестные компоненты этого ряда. Пусть неизвестная функцияy ( x ) , являющаяся экстремалью функционала J имеет вид:∞y ( x ) = ∑ aiϕ i ( x )i =1Здесь ϕ i (x) - некоторые заранее заданные, т.е. известные функции(Ритц назвал их координатными), ai - неизвестные коэффициенты,подлежащие определению.Координатные функции ϕ i ( x) должны удовлетворять следующимусловиям:Принадлежать классу допустимых, т.е. быть кривыми сравнения. (В нашемпримере с кривой, проходящей через две точки, это означает, что все онидолжны удовлетворять граничным условиям y (a ) = A, y (b) = B ).Удовлетворять условиям полноты – ряд, построенный на этих функцияхдолжен быть сходящимся. Обычно пользуются рядами, сходимостькоторых доказана – тригонометрическим и степенным.Тогда функционал J ( y ) принимает вид:⎤⎡∞J [ y ( x )] = J ⎢∑ aiϕ i ( x )⎥ .⎦⎣ i =1Поскольку координатные функции ϕ i (x) заранее заданы, тофункционал становится функцией коэффициентов ai 63:J = J (ai ) .Условие стационарности функционалаδJ = 0в этом случае преобразуется в систему бесконечного числа уравнений:∂J=0i = 1,2…, ∞∂aiНа практике поступают следующим образом.
Выстраиваютпоследовательность решений, ограничиваясь сначала одним, затем двумя и62Искомыми функциями в задачах теории пластичности является функцииизменения скоростей материальных точек в объеме деформируемого тела.63Зависит от переменных, а не от функции.282т.д. членами ряда. Как только разница в решении между двумяпоследовательными приближениями становится несущественной, поискрешения прекращают, ограничиваясь последним значением количествачленов ряда. При правильном подборе координатных функций бываетдостаточно первых 3-4 членов ряда, чтобы дальнейшее уточнение решениябыло несущественным.Таким образом, метод Ритца позволяет свести решениедифференциальныхуравненийкрешениюсистемылинейныхалгебраических уравнений.От удачного выбора координатных функций в методе Ритцарешающим образом зависит сложность и объем дальнейших вычислений.Поэтому систему координатных функций следует выбирать таким образом,чтобы она удовлетворяла всем известным ранее данным об ожидаемомрешении.Вэтойсвязизначительнуюрольиграетэксперимент.Экспериментальные данные о качественной картине распределениядеформаций в частном случае позволяет сделать вывод о наиболееподходящей форме координатных функций.
Поэтому эти функции получилиназвание подходящих функций.Последовательность решения задачи определения напряженнодеформированного состояния методом Ритца.Выбор подходящих функций и количества членов ряда.Определение компонентов поля скоростей в соответствии с условиемпостоянства объема.Определение компонентов тензора деформаций.Вычисление интегралов в формуле для функционала полной мощности.Точное интегрирование во многих случаях оказывается невозможным,тогда использую приближенные, а также численные методы.Составляют и решают системы уравнений условия стационарностифункционала ∂J ∂ai = 0 для определения неизвестных варьируемыхпараметров ai .По найденным значениям коэффициентов ai определяют полескоростей vi и, затем, полную мощность.
Приравняв полную мощностьмощности внешних сил на известных скоростях, определяют удельныесилы деформирования.По найденному полю скоростей при необходимости можно определитьконечное формоизменение (изменение формы деформируемого тела) иполе напряжений.4.7.5 Определение напряженного состояния по заданному полюскоростей.После определения поля скоростей по результатам решениявариационной задачи можно определить поле напряжений. Задача283определения поля напряжений по полю скоростей имеет общее значение,поскольку поле скоростей может быть определено и другими методами64.Пусть v( x, y, z ) - поле скоростей деформируемого тела. Тогда полескоростей деформации можно определить по известным из теориидеформаций формулам:∂v ⎞∂v11 ⎛ ∂vε ij = (vi , j + v j ,i ), например ε xx = x , ε zy = 2γ zy = ⎜⎜ z + y ⎟⎟2 ⎝ ∂y∂x∂z ⎠2Теория пластического течения постулирует следующую взаимосвязьдевиаторов напряжений и скоростей пластической деформаций:Dε = dλ ⋅ Dσ ,где переменная характеристика среды dλ пропорциональна отношениюинтенсивности скоростей деформации ε i и интенсивности напряжений σ i :3 εidλ =2σiЗначение интенсивности скоростей деформации в произвольной точкеможет быть определено по компонентам тензора скоростей деформаций:22I 2 (Dε ) =eij eij =εi =33()2(ε xx − ε yy )2 + (ε yy − ε zz )2 + (ε zz − ε xx )2 + 6 ε xy2 + ε yz2 + ε zx23Согласно критерию пластичности Мизеса:σi =σsТаким образом, характеристика среды dλ определена в каждой точкесреды.
Если пренебречь упругой деформацией, то средняя скоростьдеформации ε cp = 1 3 ⋅ (ε xx + ε yy + ε zz ) = 0 и девиатор скоростей деформаций=равен тензору: eij = ε ij − δ ij ε cp = ε ij . Тогда компоненты девиатора напряжениймогут быть определены:2σi2σi2σis xx = σ xx − σ cp =ε xx , s yy = σ yy − σ cp =ε yy , s zz = σ zz − σ cp =ε zz ,3 εi3 εi3 εi2σi2σi2σis xy = σ xy = τ xy =ε xy , s yz = σ yz = τ yz =ε yz , s zx = σ zx = τ zx =ε zx .3 εi3 εi3 εiНедиагональные компоненты тензора и девиатора напряжений равны,следовательно, касательные напряжения могут быть определенынепосредственно. Нормальные же напряжения могут быть определенытолько с точностью до среднего напряжения (гидростатического давления).Однакоопределенностькасательныхнапряженийпозволяетпроинтегрировать уравнения равновесия.
Например:64Например, известен визиопластический метод экспериментальноаналитического определения напряженного состояния по результатамэкспериментального определения поля скоростей в деформируемом теле.284известноизвестно∂σ x ∂(τ yx ) + ∂ (τ zx ) = 0+∂x∂y∂zТогда:⎛ ∂τ∂τ ⎞σ x = − ∫ ⎜⎜ yx + zx ⎟⎟dx + ϕ1 ( y, z ) .∂z ⎠⎝ ∂yЗдесь ϕ1 ( y, z ) - произвольная функция, определяемая из граничныхусловий (обычно на свободном контуре).
Аналогично могут быть получены идругие компоненты тензора напряжений.⎛ ∂τ∂τ ⎞σ x = − ∫ ⎜⎜ yx + zx ⎟⎟dx + ϕ1 ( y, z )∂z ⎠⎝ ∂y⎛ ∂τ xy ∂τ zy ⎞⎟⎟dy + ϕ 2 ( x, z )+∂∂xz⎝⎠∂τ ⎞⎛ ∂τσ z = − ∫ ⎜⎜ xz + yz ⎟⎟dz + ϕ 3 ( z, x )∂y ⎠⎝ ∂zВ.Л.Колмогоров предлагает решать вариационную задачу сиспользованием принципа виртуальных скоростей и напряжений. Инымисловами и поле скоростей и поле напряжений считаются допустимыми иодновременно варьируются.
В своих работах он предложил функционал,стационарность которого соответствует одновременно истинному полюскоростей и напряжений. Функционал имеет достаточно сложный вид ивыходит за рамки программы курса.σ y = − ∫ ⎜⎜4.7.6 Решениезадачиосадкицилиндрическойвариационным методом (по И.Я.Тарновскому).заготовки4.7.6.1 Постановка задачи и расчетная схема.Определить деформированное состояние и вычислить удельную силудеформирования при осадке цилиндрической заготовки. В решении учестьискажение формы поперечного сечения.Примем следующие допущения:материал – изотропное, идеальное жесткопластическое тело,контактное трение подчиняется закону Прандтля – Зибеля,искаженная форма поперечного сечения заготовки (форма бочки) близка кпараболической кривой,инструмент движется с постоянной скоростью, инерционнымипроцессами пренебрегаем.Ранее было показано, что при пренебрежении инерционнымипроцессами и одинаковом трении на обеих контактных поверхностях процессосадки одним деформирующим инструментом со скоростью v эквивалентеносадке двумя деформирующим инструментами, движущимися другнавстречу другу с одинаковой скоростью 0.5v .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
