Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Графическими или численными методами определяют координаты узла(1,1), основываясь на малых дугах (0,0)-(1,0) линии скольжения α и (0,0)(0,1) линии скольжения β . Построение ведут с помощью теорем Генки илиПрандтля.3123. Аналогичным образом выполняют построение для узлов (2,1), (3,1),…вдоль одной линии скольжения.4. Считая линию (0,1)… (m,1) известной линией α продолжают построениепп. 2-4KN(m, n+1)β(0, n)(m, n)(1, n)(2, n)(3, n)(m +1, n+1)(m +1, n)(0, 2) (1, 1)(0, 1)(2, 1) (3, 1)O( 0, 0)(1, 0)(2, 0)(m, 0)αM4.8.12Вырожденный случай задачи Римана.Рассмотрим вырожденный случай второй краевой задачи является еевырожденный случай, когда точка N стремится к точке O , радиус кривизнылинии скольжения ON стремится к нулю, в то время как угол поворотаω N ≠ ωO .KβαββαOααα MТогда точка O является особой точкой – все линии скольжения одногосемейства пересекаются в точке O .
Напряжения в этой точкенеопределенны, поскольку через нее проходит несколько линий скольжения313с разными углами наклона. Такая точка называется особой. Решением такойзадачи является треугольная область, в которой одно семейство линийскольжения исходит из особой точки. Этой семейство называют пучкомлиний скольжения.Справедливо и обратное утверждение, если в какой либо точкенапряжения неопределены (например, край штампа – точка одновременнопринадлежит штампу – следовательно, касательное напряжение в нейсуществует и свободной поверхности – следовательно, касательногонапряжения в ней нет).Важнымчастнымслучаемвырожденнойзадачиявляетсяцентрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическимиокружностями.Центрированное поле всегда примыкает к полю из ортогональныхпрямых линий (т.е.
с однородным напряженным состоянием). Действительно,если какой-либо участок поля линий скольжения примыкает к семействуортогональных прямых, то одна из линий скольжения – обязательно прямая.На основании следствия из первой теоремы Генки если хотя бы одна линияскольжения одного семейства – прямая, то все линии скольжения этогосемейства также прямые. Линии скольжения второго семейства –ортогональны первому. Ортогональными к параллельным прямым будетсистема параллельных прямых.Рассмотрим методику графического и численного построения линийскольжения для второй краевой задачи.4.8.13Графическоепостроениескольжения, основанное на теореме Прандтля.линийНапомним, что согласно теореме Прандтля центры кривизны дугодного семейства, пересекающих линию скольжения другого семействалежат на эвольвенте этой линии.Методика заключается в замене отрезков линии скольжения дугами играфическом определении длины этих дуг.Пусть даны две линии скольжения α1 и β1 , пересекающиеся в точке Oи два узла M и N , расположенные на этих линиях скольжения достаточноблизко к точке O , чтобы заменить на участках OM и ON линии скольжения314малыми дугами.
Необходимо построить линии скольжения α 2 и β 2 ,проходящие через точки M и N .β1O''NN''CONβ2nKα2M''OMmα1CMKM'COMCNKN'O'Проводим через точку O касательные OO′ и OO′′ к линиям скольженияα1 и β1 . Полезно помнить, что эти линии пересекаются друг с другом подпрямым углом. Таким образом, нормаль к одной линии являетсякасательной к другой и наоборот.Определяем центр кривизны дуги OM , для чего через середину хордыOM восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с линией OO′ .Полученная точка COM является центром кривизны дуги OM .Аналогично определяем точку CON - центр дуги ON .В точке M проводим касательную MM ′ к линии скольжения ипродолжаем ее до пересечения в точке M ′′ с касательной OO′′ .
При этомполезно помнить, что касательная MM ′ будет перпендикулярна к линииCOM M .Аналогично строим касательную N ′NN ′′ .В соответствии с теоремой Прандтля, центр кривизны участка линиискольжения α 2 должен лежать на касательной NN ′ . Причем:RNK = ROM + ∪ON ≈ ROM + ON ′′ + N ′′N .Из точки N ′′ радиусом N ′′COM проводим дугу до пересечения с линиейNN ′ . Полученная точка C NK является центром кривизны линиискольжения α 2 .Аналогично получаем точку C MK , являющуюся центром кривизны линиискольжения β 2 .
В этом случае:315RMK = RON − ∪OM ≈ RON − OM ′′ − M ′′M .Точка K определяется пересечением дуг α 2 и β 2 , проведенных изцентров C NK и C MK радиусами C NK N и C MK M .4.8.14Построение поля линий скольжениядля задачи Римана по методу Шофмана.Метод Шофмана - это графический способ построения, основанный напервой теореме Генки и замене криволинейных линий скольжения ломанойкусочно-линейной линией.Согласно первой теореме Генки, угол между касательными к двумлиниям скольжения одного семейства в точках их пересечения с линиямискольжения другого семейства остается постоянным на всем протяженииэтих линий.Методика заключается в замене участков известных линий скольженияхордами и определении углов наклона хорд участков неизвестных линийскольжения.
Наиболее просто методика реализуется в том случае, еслипроизводится построение т.н. равноугольной сетке линий скольжения. Припостроении равноугольной сетки линий скольжения углы между двумяближайшими линиями скольжения одинаковы для двух разных семейств.CONγ/2γNγγ/2Oβ1π/2π/2π/2−γπ/2+γπ/2Mβ2K α2N'π/2α1γCOMПусть как и прежде даны две линии скольжения α1 и β1 ,пересекающиеся в точке O и два узла M и N , расположенные на этих316линиях скольжения достаточно близко к точке O , чтобы заменить научастках OM и ON линии скольжения малыми дугами.
Необходимопостроить линии скольжения α 2 и β 2 , проходящие через точки M и N .Дополнительное условие – равноугольность сетки накладывает ограничениена выбор точек M и N . Они должны быть расположены так, чтобы угол∠OCOM M между нормалями в точках O и M к линии α1 и угол ∠OCON Nмежду нормалями в точках O и N к линии β1 были одинаковы. Напомним,что нормали к одному семейству линий скольжения являются касательнымик другому, таким образом, указанное условие равнозначно равенству угловлиний скольжения для двух разных семейств одинаковой величине γ .Можно показать, что в том случае, если участки линий скольжениярасположены достаточно близко, что их можно заменить дугами OM и ON ,то угол между хордами OM и ON равен π/2+γ. Угол между продолжениемхорды OM и касательной OCON равен γ/2.Проведем прямую NN ' , перпендикулярную хорде ON .
Тогда уголмежду прямыми NN ' и OM составит также γ . Восстановив перпендикуляр кхорде OM на пересечении с прямой NN ' получим искомую точку K - точкупересечения линий скольжения α 2 и β 2 . Дальнейшее построение можнопродолжить так же просто, восстановив перпендикуляры в точке K к хордамMK и NK .Таким образом, ортогональное поле линий скольжения заменяетсяполем из четырехугольников, два угла которых – прямые, а два остальныхравны π/2±γ. Подобное построение предложено Л.А.Шофманом.Угол поворота линий скольжения каждого семейства при такомспособе, как и в случае точного построения, при переходе от одной узловойточки к другой равен γ . Таким образом, и значения средних напряжений,зависящих на основании интеграла Генки от угла поворота линийскольжения, так же будут вычисляться точно.
Ошибка будет заключатьсятолько в координатах узловых точек. Однако для углов γ = 5…15o этаошибка не будет превышать нескольких процентов, причем, чем меньшеугол, тем меньше ошибка.3174.8.15Численный метод построения линийскольжения для задачи Риманаβ1Nm+1,nβ2Kα2m+1,n+1m,nOm,n+1Mα1Метод основан на первой теореме Генки.Дифференциальные уравнения линий скольжения имеют вид (см.выше):dydy= tg ω для семейства α и= − ctg ω - для семейства βdxdxПусть известны точки (m, n) , (m + 1, n) , (m, n + 1) и углы наклона линийскольжения в этих точках: ω m,n , ω m+1,n , ω m,n+1 . Необходимо найтикоординаты точки (m + 1, n + 1) и угол поворота линии скольжения в этойточке ω m+1,n+1 .На основании первой теоремы Генки угол поворота:ω m+1,n+1 − ω m+1,n = ω m,n+1 − ω m,n ,откудаω m+1,n+1 = ω m,n+1 + ω m+1,n − ω m,nЗаменимдифференциальныеуравнениялинийскольженияразностными, причем угол наклона на участке между двумя узлами будемсчитать постоянным и равным полусумме углов наклона линий скольженияна концах участка.
Тогда:ω+ ω m,n+1y m+1,n+1 − y m,n+1= tg m+1,n+1xm+1,n+1 − xm,n+12y m+1,n+1 − y m+1,nxm+1,n+1 − xm+1,n= − ctgω m+1,n+1 + ω m+1,n2Из этих уравнений можно определить координаты xm+1,n+1 и y m+1,n+1 .4.8.16Третья краевая задача (смешанная).Задана линия скольжения OM и некоторая линия ON , не являющаясялинией скольжения, на которой известен угол наклона линий скольжения.Типичный случай – выход линий скольжения на линию симметрии.Поскольку на линии симметрии не может быть касательных напряжений, то318линии скольжения должны выходить на линию симметрии под углом 45°. Вто же время линия симметрии сама не является линией скольжения.Последовательность построения может быть следующая:Заданную линию скольжения OM делят на некоторое число малыхдуг узлами, номера которых (0,0), (1,0), (2,0), ….Графическими или численными методами определяют координатыузла (1,1), лежащего на линии ON .
При построении используютизвестный угол выхода линии скольжения на линию ON .Основываясь на дугах (1,0)-(2,0) и (1,0)-(1,1), принадлежащихразным линиям скольжения решают вторую краевую задачу иполучают координаты узла (2,1).Аналогичным образом выполняют построение для узлов (3,1), (4,1),(m,1),… вдоль одной линии скольжения.Рассматривая линию (1,1)-(m,1) как известную линию скольженияпродолжают построение в соответствие с п.п.2-4.αM(3,0)(3,1)(2,0)(2,1)(1,0)(0,0)ON(1,1)(2,2)Таким образом, ключевым моментом является построение узла(m+1,m+1), лежащего на линии ON по двум узлам (m,m) и (m+1,m),лежащим на известной линии скольжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
