Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Деформированное состояние может бытьопределено в виде поля скоростей. Поле скоростей связано с полем линийскольжения. Эта зависимость может быть получена из рассмотренияуравнений связи напряженного и деформированного состояния (физическихуравнений) для жестко-пластического тела, находящегося в плоскомдеформированном состоянии.Для идеального жестко-пластического тела справедливы уравнениятеории пластического течения Сен-Венана – Леви – Мизеса:3 εi(σ ij − σ cp )ε ij =2σiКак было показано ранее, в площадках, перпендикулярных линиямскольжения нормальные напряжения равны средним σ cp , касательные –постоянной пластичности k .σ α = σ cp ; σ β = σ cpНапряженное состояние вдоль линий скольжения изображено нарисунке.ysασсрαsββMMkσсрω+π/2xω326Тогда для системы координат sα s β :3 εi(σ α − σ cp ) = 0; ε β = 3 ε i (σ β − σ cp ) = 02 σi2 σiТ.е.
скорости деформаций вдоль линий скольжения равны нулю. Или,что то же самое, вдоль линий скольжения отсутствуют удлинения, а естьтолько сдвиги. Согласно определению скоростей деформаций получим:∂v β∂vα= 0;=0∂sα∂s βεα =Полученные уравнения не указывают, что vα и v β постоянны вдольлиний скольжения. Если бы дифференцирование производилось вдекартовых координатах, то утверждение о постоянстве скоростей было бысправедливо. Однако координаты sα s β - криволинейные, а производные вкриволинейных координатах вычисляются не так, как в декартовых.Рассмотрим бесконечно малую дугу ∆sα вдоль линии скольжения α ,ограниченную двумя материальными точками M и M ' . Разложим скоростьv перемещения материальной частицы в точке M вдоль координатных осейsα и s β - соответственно vα и v β . Выполнив аналогичное разложениескорости v + ∆v материальной точки M ' получим: vα + ∆vα и v β + ∆v β .v+∆v∆ωvα+∆vα∆ω/2vβ+∆vβyvvββM'∆sαvααMxЗаменим дугу хордой MM ' .
Для того, чтобы удлинение хорды непроисходило необходимо, чтобы проекции скоростей на направление хордыв точках M и M ' были равны между собой:vα cos(∆ω 2 ) + v β sin (∆ω 2 ) = (vα + ∆vα )cos(∆ω 2 ) − (v β + ∆v β )sin (∆ω 2 )В этом выражении ∆ω - малый угол, равный углу поворота линиискольжения от точки M до точки M ' . Поэтому: cos(∆ω / 2 ) = 1 ,sin (∆ω / 2 ) = ∆ω / 2 . Пренебрегая бесконечно малыми высших порядковполучим:∆vα − v β ∆ω = 0327ВпределеприM →M'получимdvα − v β dω = 0 .Рассуждаяаналогично для линии β получим: dv β + vα dω = 0 . Эти два уравнения быливпервые получены Хильдой Гейрингер и носят ее имя:dvα − v β dω = 0, (вдоль α ) ⎫⎬dv β + vα dω = 0, (вдоль β ) ⎭Фактически эти уравнения являются уравнениями неразрывности.Уравнения Гейрингер показывают, что приращения скоростей придвижении вдоль линии скольжения одного семейства пропорциональны углуповорота линии скольжения и скоростям вдоль линий скольжения другогосемейства в точках их пересечения с линиями скольжения первого семейства.Из этих уравнений непосредственно следует:Скорости вдоль прямых участков линий скольжения постоянны (уголповорота линий скольжения постоянен).В простейшем поле линий скольжения, состоящем из ортогональныхпрямых72, скорости движения в любой точке будут постоянны.Для центрированного поля линий скольжения, состоящего из отрезковпрямых, выходящих из одной точки и концентрических окружностей,скорости пропорциональны только углу поворота линии скольжения.Бесконечно малое приращение скорости при движении вдоль линиискольжения направлено ортогонально линии скольжения.vN vNMvMvNαvNβvMNvMαvMβMУравнения Гейрингер позволяют выполнить построение планаскоростей по полю линий скольжения.
План скоростей часто называютгодографом.Годограф строят следующим образом. Выбирают начало координат.Затем, двигаясь вдоль линии скольжения, из начала координат откладывают72Напомним, что такое поле характерно для однородного напряженногосостояния.328векторы скоростей, соответствующих точкам на линии скольжения.Поскольку приращение скорости вдоль линии скольжения ортогонально этойлинии, то конец вектора скорости опишет траекторию, ортогональную линиискольжения.
Совокупность таких траекторий, построенных для других линийскольжения, представляет собой план скоростей, или годограф.Таким образом, отрезок, соединяющий любую точку на годографе сначалом координат (или полюсом) представляет собой скоростьсоответствующей материальной точки поля линий скольжения.Следовательно, если какая либо область металла является недеформируемой(жесткой) и движется прямолинейно с одной скоростью, то вся эта областьотображается на годографе одной точкой.4.8.19Разрывы скоростей.
Уравнение Форда.В общем случае возможно два типа разрыва – разрыв напряжений иразрыв скоростей. В теории пластичности доказывается, что одновременноэти два типа разрыва существовать не могут: возможен либо разрывскоростей, либо разрыв напряжений.Пусть линия скольжения α отделяет пластическую область от жесткой.По определению линии скольжения касательное напряжение, действующеевдоль линии скольжения, постоянно и равно k . Нормальное напряжение вплощадках действия максимальных касательных напряжений равно среднемунапряжению σ cp и, следовательно, изменяется вдоль линии скольжения всоответствии с интегралом Генки пропорционально углу поворота линиискольжения. В общем случае разрыв скоростей может произойти и вдольлиний скольжения, разделяющих две пластические области с различнымиполями линий скольжения.Пусть на линии скольжения α существует разрыв скоростей.
Подтермином «разрыв скорости» следует понимать скачкообразное изменениескорости при переходе через линию разрыва. Из условия неразрывностиследует, что разрыв могут претерпевать только касательные составляющиескорости.vτ 1 ≠ vτ 2Нормальные же составляющие при переходе через линию разрыва неизменяются.vn1 = vn 2В противном случае, разрыв в нормальных составляющих означал быпоявление пустот либо бесконечно большого сжатия материала, а этого недопускает условие несжимаемости.τ =k=constαЖесткая областьtn1 областьvτ1σ =varvτ2Пластическая область2 областьvn1vn2α329Линию разрыва, в этом случае, можно представить как предельноеположение некоторого тонкого слоя толщиной ∆s, в котором нормальнаясоставляющая не изменяется, а касательная изменяется непрерывно, но сбольшим градиентом.nτvτ+∆svτ−αТ.к.
линия разрыва совпадает с линией α , то терпеть разрыв можеттолько составляющая vα :vτ = vα , vn = vβВоспользуемся уравнением Гейрингер для линии α ,dvα − v β dω = 0интегрируя его вдоль линии, первый раз находясь по одну сторону отлинии разрыва (обозначим этот интеграл знаком «+»), а второй раз, находясьпо другую (соответственно обозначим знаком «-»).vα+ = ∫ v β+ dω + C1 ;vα− = ∫ v β− dω + C1Значения интегралов в этих выражениях должны быть равны,поскольку нормальная составляющая скорости не претерпевает разрывовv β+ = v β− .
Отсюда следует:∆vτ = vα+ − vα− = C1 − C2 = constИными словами, в случае возникновения разрыва скорости вдоль линиискольжения разрыв претерпевает только касательная к линии скольжениясоставляющая и величина этого разрыва остается постоянной вдоль всейлинии скольжения.Это решение принадлежит Х.Форду. Его следует учитывать припостроении годографов скоростей в методе линий скольжения.4.8.20Построение годографа скоростей длязадачи внедрения пуансона в полупространство.Построим поле скоростей для решения Прандтля.330b''deOOVβABC=VτCπ/4b'c'1b'c'VαABCabcabcПостроение начнем с области ABC.Примем Vпуансона = 1.
В области ABC напряженное состояние –однородное (линии скольжения обоих семейств – прямые) следовательно,скорости движения любой точки области одинаковы и отображаются нагодографе одной точкой. Из граничных условий следует, что вся областьABC движется вниз, со скоростью, равной скорости пуансона. Т.о. векторскорости пуансона отображает скорость любой точки области ABC .Точки на годографе будем обозначать малыми буквами,соответствующими точкам на поле линий скольжения. Следовательно, конецединичного вектора скорости обозначим abc , поскольку скорости любойточки области ABC равны.Разложим вектор скорости вдоль линий скольжения:V ABC = VαABC + VβABCРассмотрим точку C , принадлежащую области BCD .
Граница CDэтой области является границей между жесткой и пластической областями.Разрыв на линии скольжения может претерпевать только касательнаясоставляющая, нормальная же составляющая разрыва претерпевать не может.В жесткой области скорость равна нулю, следовательно, и нормальнаясоставляющая к границе CD равна нулю. Поэтому касательнаясоставляющая скорости к линии скольжения CD в точке C являетсяодновременно и полной скоростью в точке C .Из построения видно, что касательная составляющая к линии CD вточке C равна скорости вдоль линии β для области ABC :VτC = VβABCТаким образом, конец вектора VβABC можно обозначить точкой c' .Штрих означает, что эта точка отображает скорость точки C , нопринадлежащей не области ABC , а области BCD . Поскольку, согласноследствию из уравнения Гейрингер, скорости вдоль прямых участков линийскольжения постоянны, то точка c' одновременно отображает скорости всехточек на линии скольжения BC , принадлежащей области BCD , поэтомуточку c' можно одновременно обозначить b'c' .
Таким образом, скорость налинии BC также претерпевает разрыв.331Вернемся к линии скольжения BD . Согласно уравнению Фордавеличина разрыва касательной составляющей скорости вдоль линиискольжения постоянна по абсолютной величине.∆VτCD = VβABC = VBCТаким образом, вдоль линии CD касательная составляющая скоростипостоянна по абсолютной величине и изменяется по направлению на уголπ / 4 . Как уже отмечали выше, нормальная составляющая вдоль линии CDравна нулю, поэтому касательная составляющая одновременно равна полнойскорости. Геометрическое место точек концов векторов, исходящих из однойточки, имеющих одинаковую длину, но различное направление представляетсобой дугу окружности. Проведя дугу окружности с центром в точке O източки b'c' и углом π / 4 , получим точку b' ' d , отражающую на годографескорости точек на линии BD , принадлежащей области BCD .Рассмотрим область BDE .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
