Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Метод конечных элементов (МКЭ).4.9.1 Обзорчисленныхметодовдеформированного состоянияанализанапряженно-В общем случае объемная задача теории упругости и пластичностиявляется замкнутой системой уравнений в частных производных (уравненияравновесия, физические уравнения связи между напряжениями идеформациями, уравнения Коши – связь поля перемещений с полемдеформаций, уравнения совместности деформаций, условие пластичности).Ее можно свести к 9 уравнениям в частных производных относительно 9неизвестных. Неизвестными являются напряжения в произвольной точке (6компонент тензора напряжений с учетом закона парности касательныхнапряжений) и перемещения либо скорости материальных точек (3 проекциина каждую ось).Математическаяформулировкакраевойзадачимеханикидеформируемого твердого тела в общем видеDξ = ψЗдесь D – дифференциальный оператор, ξ(x,y,z,t) – неизвестнаяфункция, ψ(x,y,z,t) – известная функция, зависящая от свойств материала.Интегрирование системы уравнений должно привести к непрерывнымфункциям, определенным в любой точке деформируемого тела.
Однакоточное интегрирование системы уравнений удается лишь для небольшогоряда частных случаев, имеющих по большей части теоретическое значение.Для большинства реальных технологических и прочностных задачприходится довольствоваться различными приближенными решениями.Другой подход – отказаться от поиска решения во всех точках тела,заменив его поиском решения в ограниченном числе точек с дальнейшейаппроксимацией решения на всю область.
Тем самым мы упрощаем задачу,сводя ее от системы нелинейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных к системе линейных алгебраических уравнений большойразмерности (это будет показано в дальнейшем). Число этих уравненийпропорционально числу точек, в которых мы находим решение задачи. Врезультате мы ищем не аналитическое, а численное решение задачи.Отличие аналитического решения от численного состоит в том, что впервом случае мы имеем формулу – аналитически выраженнуюфункциональную связь между напряжениями и координатами любой точкитела. Эту формулу можно анализировать в общем виде, не имея численныхзначений геометрических размеров тела.
В случае численного решениязначения неизвестных напряжений мы можем получить только в конкретныхслучаях – для конкретных геометрических размеров.Но, теряя общность решения, мы приобретаем общность подхода.Вместо аналитического решения частной задачи получаем численноерешение практически любой задачи, поскольку алгоритм численного351решения является общим для любой задачи теории пластичности иупругости.РешениеАналити- в любойческоеточкеобластиЧисленноеВидрешенияфункцияалгоритмвограниченном числеточекПреимуществаНедостаткиобщее решение невозможностьдля конкретной получения решениязадачидля сложныхконфигурацийобластей, нелинейныхграничных условий ифизическихуравненийобщий подход невозможность(анализ класса анализа беззадач на основе конкретныхчисленных значенийодногоалгоритма)Основныешагичисленногорешения(математическогомоделирования) можно представить в виде следующей схемы:Под идеализацией понимают процесс перехода от реальной физическойсистемы к ее математической модели.
В процессе идеализации, например,осуществляют:выбор схемы напряженного состояния (плоская, осесимметричная,объемная …)выбор типа анализа (статический, динамический, частотный)выбор модели материала (реологической модели) (упругая, упругопластическая, жестко-пластическая, вязко-пластическая, упруго-вязкопластическая …)задание свойств материала в соответствие с выбранной модельювыбор закона трения и определение его параметров (закон Кулона,Прандтля, Леванова, другой).Коммерческие программные продукты часто навязывают пользователюте или иные допущения, связанные с идеализацией реальной системы352независимо от его воли. Так, например, в программном комплексе Qformпользователь не может выбрать закон трения (используется закон тренияЛеванова), а может только изменить параметры этого закона.
Пользуясьбазой данных комплекса выбирают материал не задумываясь о том, какиесвойства материала используют в модели. Для грамотного пользователязнание основных закономерностей, положенных в основу моделирования иограничений на решение, накладываемых этими закономерностяминеобходимо для правильной интерпретации результатов моделирования.Типичный пример – при моделировании процесса объемнойштамповки в программном комплексе Qform, с использованием моделикривошипного пресса часто получают снижение силы в конце ходадеформирования.
Если моделировать ту же поковку, с теми же параметрамипроцесса, но с использованием модели гидравлического пресса, снижениясилы деформирования в конце хода не будет. При этом для некоторыхматериалов, находящихся в базе данных такого эффекта не наблюдается.Причиной такой разницы является взаимное влияние свойств материала,заложенных в базе данных и свойств оборудования. В части материаловпомимо диаграммы истинных напряжений используют также кривуюскоростного упрочнения. Для большинства материалов с уменьшениемскорости деформации напряжение текучести падает.
У кривошипного прессапри приближении к нижней мертвой точке скорость ползуна стремится кнулю, следовательно, стремится к нулю и скорость деформации. В результатеэтого снижается напряжение текучести, а, следовательно, и силадеформирования. На гидравлическом прессе скорость ползуна постоянна –следовательно, и влияние скорости деформации не сказывается нанапряжение текучести.Дискретизация – это процесс перехода от системы с бесконечнымчислом степеней свободы к системе с конечным числом степеней свободы. Сматематическойточки зренияэто разделение рассматриваемыхпространственных и временных областей на конечное число элементарныхучастков с представление независимых переменных конечным числомзначений в избранных узловых точках, принадлежащих этим элементарнымучасткам.
Значения независимых переменных в узловых точках называютузловыми переменными.Какие же переменные для задач теории упругости и пластичностиследует принимать независимыми? Обычно в качестве независимыхпеременныхпринимаютполеперемещений(скоростей)точек74деформируемого тела .Зная поле перемещений можно в конечном итоге найти поленапряжений. Действительно тензор деформаций однозначно определяется74Этот метод называется методом перемещений. В качестве неизвестныхпринимают также напряжения (или силы).
Такой метод называется методомсил. Существует также смешанный метод, в котором в качестве независимыхпеременных принимают и перемещения и напряжения.353полем перемещений. Используя одну из гипотез взаимосвязи напряженного идеформированногосостояний(деформационнуютеорию,теориюпластического течения), можно по известному полю деформаций (скоростейдеформаций) найти поле напряжений. Таким образом, определив это поле,мы всегда можем определить и другие неизвестные.С дискретизацией области тесно связана алгебраизация исходныхуравнений – метод, с помощью которого исходные дифференциальные иинтегральные уравнениях аппроксимируются алгебраическими уравнениямивзаимосвязи узловых переменных.Используют три подхода к дискретизации и алгебраизации краевыхзадач:метод конечных разностей (МКР)метод конечных элементов (МКЭ, Finite Element Method)метод граничных элементов (МГЭ, Boundary Element Method)ui+1,j+1iuijjВ методе конечных разностей используют сеточную дискретизацию –замену непрерывной среды совокупностью узлов некоторой сетки (впростейшем случае - декартовой).
Алгебраизация задачи в этом случаезаключается в замене дифференциальных операторов разностными. Этоозначает, что непрерывное поле перемещений u(x,y,z) заменяется конечныммножеством значений uk=u(xk,yk,zk), а частные производные аппроксимируются конечно-разностными выражениями. Например:∂u/∂x≅1/2hx×(ui+1,j –ui-1,j)∂2u/∂x2≅1/hx2×( ui+1,j –2ui,j+ ui-1,j)Витогеисходнаясистемадифференциальныхуравненийпреобразуется к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:[A]{u} = {B}Здесь {A} - квадратная матрица N × N , где N - число узловыхпеременных, зависящая от свойств среды и геометрических размеров ячеексетки; {u} - вектор-столбец узловых неизвестных (скоростей илиперемещений узлов сетки) размерностью N × 1 ; {B} - вектор столбец,зависящий от граничных и начальных условий, размерность которого такжеN ×1.Часто в МКР применяют метод сил – неизвестными в этом случаеявляются непосредственно напряжения в узлах конечно-разностной сетки.354Конечно-разностной аппроксимации подвергают частные производныенапряжений по координатам.Основным достоинством МКР является простая алгоритмизация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
