Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рассмотрим методику построенияна примере получения узла (1,1).Простой графический способ, который легко алгоритмизируется,основан на замене малых отрезков линий скольжения дугами. Если линияскольжения (1,0)-(1,1) – дуга окружности, то центр этой дуги должен лежатьна перпендикуляре Cc , проведенном из середины хорды (1,0)-(1,1), а углымежду хордой (1,0)-(1,1) и касательными m1 и n1 должны быть равны междусобой.319Mαγ(1,0)γ/2c(0,0)On1m1m0N(1,1)n0PCЗаметим, что касательная m1 является нормалью к известной линиискольжения в точке (1,0), а касательная n1 - параллельна нормали n0 кизвестной линии скольжения в точке ее пересечения с линией ON .Последнее следует из того, что на линии ON известен угол выхода линийскольжения, а точка (0,0) принадлежит одновременно и линии скольжения илинии ON .Последовательность определения точки (1,1) в этом случае может бытьследующей:Из точки (1,0) проводится нормаль m1 к линии скольжения OM илиния m0 , параллельная нормали n0 к линии скольжения в точке(0,0).Проводится линия (1,0)-P, делящая угол ∠m0 (1,0)m1 пополам.Точка пересечения линии (1,0)-P и линии ON является искомымузлом (1,1).(1,0)π/2π/4+γ/2(0,0)π/4−γ/2(1,1)Линия симметрииПри построении поля линий скольжения по методу Шофманакриволинейный треугольник заменяется прямоугольным треугольником с320острыми углами π / 4 ± γ / 2 .
Последовательность определения точки налинии симметрии в этом случае следующая:Провести хорду (0,0) – (1,0)Провести перпендикуляр к хорде в точке (1,0)Искомая точка (1,1) – на пересечении линии симметрии иперпендикуляра к хорде.4.8.17Внедрениепластическое полупространство.жесткогопуансонавРассмотрим построение линий скольжения для начала внедренияплоского пуансона в полупространство при отсутствии контактного трения.Эта задача является одним из самых ранних решений по плоскомудеформированному состоянию и выполнено Прандтлем.Сформулируем условие задачи:Абсолютно жесткий пуансон, имеющий бесконечную длину внаправлении, перпендикулярном плоскости чертежа, начинает внедряться вжестко-пластическое полупространство.
Трение под торцом пуансонаотсутствует. Рассматривается начальный момент внедрения, когда плоскостьполупространства еще не искажена вытекающим из-под торца пуансонаматериалом. Необходимо определить давление пуансона на пластическуюобласть.Сформулируем граничные условия:на свободных поверхностях AG ' и BE ' отсутствуют внешние нагрузки,на контактной поверхности AB есть нормальные удельные нагрузки (онинам неизвестны), касательные напряжения на контакте равны нулю поусловию задачи.C'G'AGFNCB MDEE'B'yxПластической деформацией будет охвачена некоторая зона под торцомпуансона и прилегающая к нему.
Размеры и форма зоны пластическойдеформации неизвестны, и подлежат определению в процессе решениязадачи. В зоне пластической деформации будет состояние сжатия вследствиевытекания металла из-под торца пуансона.321Начнем решение со свободной границы BE ' . Поскольку задачасимметричная построение поля линий скольжения будем выполнять толькодля правой части.
Построение линий скольжения на прямолинейной внешнейгранице при отсутствии касательных напряжений является частным случаемпервой краевой задачи.Как было показано ранее, при отсутствии касательных напряженийлинии скольжения выходят на границу под углом 45°. Для прямолинейнойграницы решением будет семейство ортогональных прямых, составляющих сграницей угол ±45°. Левая граница этой области нам известна – это линияBB' , проведенная под 45° к границе в точке B 71.
Правая граница этойобласти нам неизвестна.Поскольку область состоит из ортогональных прямых, то, всоответствие с интегралом Генки, напряженное состояние в этой областиоднородное – все компоненты тензора напряжений в любой точке равнымежду собой.Рассмотрим теперь область под торцом пуансона. Поскольку трение наконтактной поверхности отсутствует, то линии скольжения также выходят нанее под углом ±45°. Так как контактная поверхность - прямая, то линиискольжения в этой области также семейство ортогональных прямых,составляющих с границей угол 45°. Проведя из точек A и B прямые подуглом 45°, получим границы этой области, в которой будет однородноенапряженное состояние.Однако напряженное состояние в областях ABC и BB ' E ' не являетсяодинаковым, поскольку в первом случае есть нормальные контактныенапряжения, а во втором они отсутствуют.
Точка B принадлежитодновременно обеим областям – следовательно, напряженное состояние вней не определено. Такая точка является особой. Ранее было показано, что изтакой точки исходит пучок линий скольжения. Поскольку одна из линийэтого пуска прямая ( BC ), то и все линии скольжения, составляющие пучоктоже прямые.
Второе семейство линий скольжения в этом случае – семействоконцентрических окружностей с центром в особой точке. Ранее мы говорили,что такое поле называется центрированным. Границей областицентрированного поля будет дуга окружности CD . Точка D , таким образом,определит правую границу DE очага пластической деформации.Выполним аналогичное построение в левой части – области ACF иAGF .Проанализируем возможность дальнейшего построения поля.Теоретически возможно продолжить построение, основываясь на дугахокружностей FC и CD .
Мы такие поля в дальнейшем будем строить. Но вэтом случае границей такой области не может быть прямая. Однако мы ранеепоказали, что к свободной границе примыкает область с однороднымнапряженным состоянием, границей которого может быть только прямаяBB ' . Таким образом, очаг пластической деформации ограничивается линией71Левее точки B уже другие граничные условия.322GFCDE . Металл вне очага в соответствии с моделью материала недеформируется – это жесткая зона.Воспользуемся построенным полем для определения напряжений вочаге деформации.Напомним, что определение напряжений методом линий скольжениявыполняется с помощью интеграла Генки, связывающего средниенапряжения в двух точках очага деформации и угол поворота линийскольжения между этими двумя точками.σ cpM − σ cpN = ∓2k (ω M − ω N ) = ∓2kω MNЗнак «-» в этом уравнении справедлив для линий скольжения семействаα , а знак «+» - для линий скольжения семейства β .Затем, зная углы поворота линий скольжения и средние напряжения вточке с помощью диаграмм Мора, либо с использованием уравнений:⎧ σ x = σ cp + k sin 2ω⎪⎪⎨ σ y = σ cp − k sin 2ω⎪⎪⎩τ xy = − k cos 2ωнаходят компоненты тензора напряжений.Для плоского деформированного состояния:σ cp =σx +σ y +σz3=(σ x + σ y + 0.5 σ x + σ y3) = σx +σ y2Большое значение имеет правильное определение линий α и β .
Следуетруководствоваться следующим правилом, которое следует из первоначального рисунка,на котором основывался вывод формул метода линий скольжения:Угол, между направлением главной оси 1 и касательной к линиисоставлять + π / 4 .α в точке долженσсрyτmaxσср3βσ1π/4sαsβσ3α1Mϕω=ϕ+π/4xПоложительное направление линии β необходимо выбирать так, чтобы системакоординат αMβ была правой.323Определение напряжений всегда начинают с области, где напряженное состояниеизвестно из граничных условий.
В данном случае – это свободная поверхность вблизиштампа (участки AG и BE). Как было показано выше, в области BDE металл находится впластическом состоянии. Следовательно, на границе BE он также находится впластическом состоянии. Поскольку поверхность BE свободна от нагрузок, тоσ y = 0, τ xy = 0 .Запишем условие пластичности Губера-Мизеса для плоского деформированногосостояния(σ x − σ y )22+ 4τ xy= 4k 2 ,илиσ x2 = 4k 2Это уравнение справедливо как при положительных, так и при отрицательныхзначениях σ x - иными словами, как при растягивающих, так и при сжимающихнапряжениях. Выбирать знак необходимо исходя из физического смыла задачи.
В данномслучае металл вытекает из под штампа и поступает в область BDE . Таким образом, вэтой области образуется напряженное состояние сжатия, следовательно:σ x = −2 kВыберем две точки M и N на одной линии скольжения. Одна точка находится насвободной поверхности, а второй – под торцом штампа. Среднее напряжение в точке M :σ cpM =σ xM + σ yM2=−2k + 0= −k2Согласно правилу выбора линий скольжения, линия, на которой находятся точки Mи N является линией β (см.
рисунок).βααNyβ1π/4MxДействительно, в точке M:σ x = −2k < 0;σ y = 0⇒σ y >σ x⇒ σ y = σ 1;σ x = σ 3Угол поворота линии скольжения β между точками M и N :⎛⎝ω MN = ω M − ω N = ⎜ π +π⎞ ⎛π⎞ π⎟ − ⎜π − ⎟ =4⎠ ⎝4⎠ 2324Используя интеграл Генки (знак + выбран, поскольку точки находятся на линии β):σ cpM − σ cpN = 2kω MNОтсюда:πσ cpN = σ cpM − 2kω MN = − k − 2k = − k (1 + π )2Подставляя значенияσ cpN = −k (1 + π ) и ωα N =3π π π− =в формулы для4 2 4определения напряжений в координатных площадках (следует иметь в виду, что в этихформулах угол ω – угол наклона линии α и, следовательно, на 90° меньше угла наклоналинии β) окончательно получим:σ xN = − kπ ; σ yN = − p = − k ( 2 + π )Очевидно, что эти напряжения сохранятся постоянными вдоль всейлинии AB.
Диаграммы Мора и схемы напряженной состояния в точках M и Nприведены на рисунке.τточка Mkσy=0σσcpM=-k=σzMσzσxM=-2kточка NσxτkσyσxN=-kπσσcpN=-k(1+π)=σzNσyN=-k(2+π)σxσzВ приведенном выше решении металл разделен на две области. Водной области – очаге деформации – металл находится в пластическомсостоянии, а в другой – не деформируется.
Эта область называется жесткой.Естественно, что между этими областями должен быть разрыв скоростей,поскольку в одной области металл перемещается, а в другой – нет.Границы, разделяющие жесткие и пластические зоны могут быть либолиниями скольжения, либо огибающими линии скольжения.325Правильность построения поля линий скольжения с наличиемжесткопластической границы определяется двумя условиями:Пересечение линиями скольжения осей симметрии под углом 45°Контакт жестких зон (если их более чем одна) в одной точке.Соблюдением кинематических граничных условий.Жесткопластическая граница является концепцией математическогопорядка. Физически ее не существует. В действительности металл востальной области деформируется упруго, просто при выводе уравнений мыпренебрегаем этими упругими деформациями.4.8.18полями скоростей.СвязьполейлинийскольжениясМетод линий скольжения позволяет определить как напряженное, так идеформированное состояние тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
