Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Эта линия будетотделять жесткую зону от поля линий скольжения.По условию задачи трение на контактной поверхности матрицы ABотсутствует. Линии скольжения выходят на поверхность на которойотсутствуют контактные напряжения под углом 45°, поэтому можнопровести линию из точки A под углом 45° к лини AB . Эта линия будетграницей центрированного поля линий скольжения.be,cg,hb=135.76ммπ/4-γ/22,11,10,0αD14,15γ6,11γ5,1Fπ/4+γ/2π/4+γ/23,1Оb",g",h",f”GfK1,0γ2,0 3,0 4,0γ γ γ γγ6,05,0Cπ/4π/4Aπ/2+γ/2π/2+γ/2π/2-γ/2π/47,0E7,1Hkπ/4+γ/2π/4-γ/2f'8,1Bk'βa=25ммdПроведя дугу, радиусом AD , получим точку C .
Зона ACD будетявляться центрированным полем линий скольжения.К центрированному полю обязательно примыкает зона однороднойдеформации, состоящая из отрезков прямых, пересекающихся подпрямым углом. Для определения границы этой зоны следует провести източки C прямую, перпендикулярную линии AC до пересечения с339контактной поверхностью AB в точке E . Из геометрическихсоотношений следует, что углы ∠CAE = ∠AEC = π / 4 .
Если бывертикальная стенка матрицы начиналась точно из точки E , то задачабыла бы решена. В этом случае r=⅔ . В нашем же случае необходимопродолжить построения поля. Это кстати свидетельствует о том, чтодавление на матрицу будет не постоянным.Воспользуемся методикой Л.А.Шофмана, который показал, чторавноугольное поле линий скольжения73 можно с большой точностьюзаменить полем из отрезков прямых. Чем меньше угол γ между двумялиниями скольжения одного семейства, тем точнее будут построеныузлы сетки. Напомним, что в методе Шофмана углы элементарнойячейки поля составляют: два противоположных по π/2, а другие двапротивоположных соответственно π/2+γ и π/2−γ .NOβ1β2π/2π/2−γπ/2+γπ/2MK α2N'α1Для того, чтобы воспользоваться методикой Шофмана разделимцентрированное поле на равные сектора с углом γ .
Этот угол выбираютобычно в пределах 5…15°. Для наглядности построения выберем уголγ=15°=π/12 . В домашнем задании следует выбирать γ=5°=π/36.Заменим дугу DC ломаной линией, состоящей из отрезков,соединяющих точки пересечения радиусов с дугой.
Пронумеруемполученные узлы соответственно от (0,0) – точка D до (6,0) – точка C.Такая нумерация продиктована тем, что линия DC – это линия β (см.предыдущую задачу). Точку E обозначим через (7,0).Необходимо продолжить построение поля линий скольженияосновываясь на уже известной линии скольжения DCE , кроме того, намизвестен угол выхода линий скольжения на осевую линию и контактныеповерхности – иными словами необходимо решить смешанную краевуюзадачу.Найдем точку пересечения линии скольжения α , проходящей черезточку (1,0) и осевой линией. На ось симметрии линии скольжениядолжны выходить под углом π/4. При кусочно-линейном построенииполя линии скольжения выходят на поверхности где отсутствуюткасательные напряжения (в том числе на ось симметрии) под углами73Поле, углы между двумя ближайшими линиями скольжения разныхсемейств которого равны между собой.340π/4+γ/2, π/4−γ/2.
Проведем из точки (1,0) линии, перпендикулярныйотрезку (0,0)-(1,0). На пересечении этой линии с осью симметрииполучим точку (1,1). Дополнительно обозначим эту точку F . Линия(1,0)-(1,1) составит с осью симметрии угол π/4−γ/2.Дальнейшее построение поля основано на задаче построения поля линийскольжения по двум известным линиям скольжения. Имеем известныелинии скольжения (1,0)-(2,0) и (1,0)-(1,1). Восстановим перпендикулярыиз крайних узлов (2,0) и (1,1).
На пересечении этих перпендикуляровнайдем узел (2,1). В полученном четырехугольнике два угла прямые, адва других противоположных соответственно π/2+γ и π/2−γ.Построение точек (3,1) … (6,1) выполняем аналогично. Таким образом,построен участок поля линий скольжения DFCG . Это поле в которомвсе отрезки – кривые, просто мы их заменили прямыми для простотыпостроения.Задача построения точки (7,1) на основе линий скольжения (6,0)-(7,0) и(6,0)-(6,1) решается немного по-другому.
Из этих двух линий (в отличиеот предыдущих) – одна (6,0)-(7,0) – прямая, следовательно, все линииэтого семейства - также прямые. Таким образом, линия, исходящая източки (6,1) должна быть тоже прямой. Согласно первой теорем Генки,угол между этими линиям должен быть равен γ . Из геометрическихпостроений следует, что ∠GCE=π/2+γ/2, следовательно прямую линиюиз точки G необходимо провести под тем же углом к линии CG, чтобыполучить необходимый угол между линиями скольжения.Поскольку линии скольжения выходят на контактную поверхность безтрения под углом π/4.
В том случае, если контактные давленияраспределены равномерно, то эти линии прямые, в противном случае –кривые. При кусочно-линейном построении по методу Шофманаисходные кривые линии заменяются прямыми, выходящими наконтактную поверхность под углами π/4+γ/2, π/4−γ/2. Проведем из точкиE линию под углом π/4+γ/2 к контактной поверхности и на пересеченииполучим точку (7,1).Проведем из точки (7,1) перпендикуляр к линии (7,0)-(7,1). Напересечении этого перпендикуляра и контактной поверхности получимточку (8,1). Из построения следует, что угол выхода этой линии наконтактную поверхность составит π/4−γ/2.В том случае, если точка (8,1) совпадет с точкой B - углом матрицы, топостроение заканчивается.
В противном случае, необходимо либопостроить еще один ряд, опираясь на линию скольжения (1,1)-(8,1), либоуменьшить угол сектора γ и повторить построения, опираясь на линиюскольжения (0,0)-(7,0).Для проверки корректности построения поля линий скольженияпостроим поле (годограф) скоростей.Последовательность построения:341Из полюса О откладываем единичную скорость равную скоростипуансона. Эту скорость имеют все точки жесткой зоны, поэтому конецединичного вектора можно одновременно обозначить через b",g",h",f".Начнем построение с точки B .
В жесткой зоне точка двигаетсявертикально, в пластической же – горизонтально, вдоль поверхностиматрицы. Линия разрыва скоростей направлена под углом 45° кповерхности матрицы. Проводим линию из полюса параллельноповерхности матрицы и линию из точки b" параллельно направлениюлинии разрыва скоростей. На пересечении этих линий находится точка b ,отражающая скорость точки B в зоне пластических деформаций. Векторb"b представляет собой разрыв скорости при переходе от жесткой зоны кпластической.Вдоль линии разрыва абсолютная величина разрыва постоянна, ноизменяется по направлению.
От точки B до H линия скольженияповорачивается на угол γ , на этот же угол поворачивается и векторразрыва. Конец вектора обозначим через h . Вектор Oh - вектор скороститочки H в пластической зоне. Поскольку на основании уравненийГейрингер скорости вдоль прямых линий скольжения не изменяются, тоскорости точек H и G одинаковы. От точки G до точки F разрывскорости изменяется по направлению на угол 5γ . Повернув векторразрыва на этот угол, получим точку f , отражающую скорость точки F ,принадлежащей пластической области FKGC .В силу симметрии задачи точка F двигается вертикально, поэтому вдольлинии KF происходит разрыв скоростей.
Линия разрыва параллельналинии скольжения и составляет в точке F 45° с осью симметрии.VF ' = VF + ∆VFKПроводим из полюса вертикальную линию, параллельную истинномунаправлению скорости точки F , а из точки f линию, параллельнуюнаправлению разрыва скоростей. На пересечении этих двух линийполучим точку f ' . Вектор Of ' равен величине скорости точки F впластической области FKD . Вектор ff ' представляет собой векторразрыва скоростей ∆VFK по линии FK .Скорость точки E направлена вдоль поверхности контакта, что следуетиз граничных условий, следовательно, точка e находится на линии,проведенной из полюса, параллельно контактной поверхности.Следствием уравнений Гейрингер является ортогональность поляскоростей, полю линий скольжения.
Проведем из точки h линию,перпендикулярную линии BH . На пересечении двух линий находимточку e . Поскольку на участке CE линия скольжения прямая, тоскорости точек C и E равны. Вектора Oc и Oe - скорости перемещенийматериальных точек C и E пластической области.342Скорости точек на линии скольжения KC определяем на основаниисвойства ортогональности полей линий скольжения и скоростей.Графически эти построения выполняются так же, как построение линиискольжения FG по известной линии скольжения KC и FK .
Для поляскоростей известной будет линия gf и gc . Вектор Ok - скорость точки Kв пластической области FKGC .Как было показано ранее, вдоль линии FK происходит разрыв скоростей.Таким образом, скорость точки K ' в пластической области DKFотличается от скорости точки K в области FKGC .
VK ' = VK + ∆VFKВеличина разрыва скорости вдоль линии скольжения постоянна поабсолютному значению и изменяется по направлению на величину углаповорота линии скольжения. Отложим из точки B отрезок, численноравный вектору ff ' и повернутый относительно него на величину E. Врезультате получим точку k ' . Вектор Ok ' - скорость точки K впластической области DKF .Скорость точки D из условий симметрии направлена вдоль оси,следовательно, точка d на годографе скоростей должна лежать на линии,проведенной из полюса параллельно оси. Для нахождения ее положениявоспользуемся свойством ортогональности полей линий скольжения искоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
