Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Проведем из точки k ' линию, перпендикулярную линии DK .На пересечении двух линий находим точку d . Вектор Od - скоростьперемещения материальной точки D . При правильном построениисоблюдаются кинематические граничные условия:Od × a = 1 × bОпределим давление на матрицу.
Анализируя сетку линий скольженияможно заключить, что на участке AE давление постоянно (сетка линийскольжения – ортогональные отрезки прямых линий), а на участке EB переменно. Будем считать давление кусочно-линейной функцией. Найдемдавления в точках A, E , B , а между ними эпюру давлений будем считатьлинейной.Из граничных условий определим напряженное состояние в точке D :σ y = 0 , из условия пластичности с учетом напряженного состояния сжатия:σ x = −2k , откуда σ cpD = −k .Определим семейства α и β . Поскольку σ y = σ 1 , то направления sαсоставляет угол +πс осью Oy . Иными словами ωαD =3π.
Следовательно,44линия скольжения DCE - линия семейства βНормаль к линии AB совпадает с направлением действия напряженияσ 3 . Это следует из рисунка. Следовательно, контактное давление по линииAB p = σ 3 .343Из диаграммы Мора для плоского деформированного состоянияследует, что σ 3 = σ cp − k .Воспользуемся интегралом Генки для определения среднихнапряжений в точке C :⎡ 5π ⎛ 3π ⎞⎤σ cpD − σ cpC = + 2k (ω D − ω C ) = +2k ⎢ − ⎜ ⎟⎥ = kπ = −k − σ cpC⎣ 4 ⎝ 4 ⎠⎦βσ cpC = −k (1 + π ) ≈ 4.14k = σ cpE = σ cpAТогда p A = p E = σ cpA − k = k (2 + π ) ≈ 5.14kСредние напряжения в точке B могут быть найдены следующимобразом:ππωE = ; ωH = + γσ cpE44− σ cpH = −2k (ω E − ω H ) = −2k (−γ ) = 2kγ - линия EH - αоткуда σ cpH = σ cpE − 2kγ3π3π; ω βH =+γ44σ cpH − σ cpB = −2k (ω H − ω B ) = −2kγОкончательно:ω βB =σ cpD = σ cpE − 4kγ = −k (1 + π ) − 4kπ12= −k (1 +4π) ≈ −5.19k34π) ≈ 6.19k3Эпюра давлений изображена на рисунке.
Значение удельной силы напуансоне определяем из следующего уравнения:q = pcp r ,p D = σ cpD − k = k (2 +где pcp - среднее давление на матрицу, r – обжатиеpcp =1l ABB∫Ap ⋅ dl =0.5( p A + p E ) AE + 0.5( p E + p B ) EB=AB5.14k ⋅ 50 + 0.5(5.14k + 6.19k )60.46= 5.43k110.46H − h 110.46== 0.815r=H135.46Окончательноq = 5.43k ⋅ 0.815 = 4.43kЗная k =σsпо величине напряжения текучести можно определить3удельные силы и давления на матрицу.344q=4.43kpB=6.19kpA=5.14kApE=5.14kEBa=25мм4.8.23Осадкаширокоймаксимальным трением на контакте.полосысШирокая полоса ( b > 4h ) осаживается между двумя шероховатымиплитами. Плиты двигаются навстречу друг другу с одинаковой скоростьюV0 .Трение на контактной поверхности принимаем максимальным τ k = k .Длина полосы велика, поэтому можно считать, что деформация происходит вусловиях ПДС.Построение начинаем со свободной поверхности, т.е.
там, где известныграничные условия. На свободной поверхности отсутствуют касательныенапряжения, поэтому линии скольжения выходят на свободную поверхностьпод углом 45°. Проведя из точек A1 и A2 линии под углом 45° к внешнейгранице, получим область A1 A2 B с однородным напряженным состоянием.Точки A1 и A2 являются особыми, т.к. напряженное состояние в нихнеопределенно. Решением в примыкающей области является центрированноеполе линий скольжения. Трение на контактной поверхности максимальное,следовательно, линии скольжения выходят на контактную поверхность подуглами 0° и 90°. Следовательно, центрированное поле A1C1 B ,представляющее собой сектор с центральным углом 45° удовлетворяетграничным условиям.
Рассуждая аналогично, получим решение для областиA2C 2 B .Опираясь на дуги BC1 и BC2 , решаем задачу Римана в областиBC1 DC2 . Графически задачу Римана можно решить, используяравноугольную сетку линий скольжения и кусочно-линейное построениеметодом Шофмана.345b=V0A10,3 C1 1,43,6 E12,5O1h4,65,6βα0,0B2,23,3D4,45,5F6,61A23,0C2E2O2V0yxВыше линии C1 D реализуется смешанная задача: известна линияскольжения C1 D и угол выхода линий скольжения на поверхность C1O1 .
Дляконтактной поверхности с максимальным трением этот угол составляет 0,π/2. При графическом построении методом Шофмана кусочно-линейное полевыходит на контактную поверхность в этом случае под углами γ/2, π/2-γ/2.Здесь γ - угол между касательными к линиям скольжения для равноугольнойсетки. В результате построения получим области C1 DE1 и C2 DE2 .Дальнейшее построение в области FE1 DE2 - решение задачи Римана поизвестным линиям скольжения DE1 и DE2 .Линии скольжения должны выйти на вертикальную ось симметрии подуглами ±45°. Если не удается достигнуть этого при заданном угле γ (в нашемслучае γ = 15° =π12), то производят дробление γ до тех пор, пока не удаетсявыполнить это граничное условие. Мы выбралиb≈ 6.72 , при этом точка Fh346для кусочно-линейного построения точно совпадает с пересечением осейсимметрии.Дальнейшее построение линий скольжения невозможно без нарушенияграничных условий.Зоны выше линии EF1 и ниже линии EF2 являются жесткими.Для идентификации семейств линий скольжения рассмотримнапряженное состояние на свободной границе.
Здесь σ x = 0 из граничныхусловий. для удовлетворения условию пластичности для ПДС σ y = ±2k .Исходя из физического смысла задачи в области A1 A2 B - сжатие, поэтомуσ y = −2k ,σ cp = −k . Следовательно σ x = σ 1 и направление первой главной осисовпадает с осью x . Направление оси sα повернуто на уголπотносительно4оси 1, поэтому линия BC1 - линия семейства α . Обозначим точку B через(0,0) . Тогда точки C1 → (0,3); C 2 → (3,0) . Двигаясь вдоль линий скольженияобозначим и другие точки. Точка F → (6,6) .Для анализа точности удовлетворения кинематическим условиямпостроим годограф скоростей.
В нашем случае должно быть удовлетвореноравенство расходов:V0 ⋅ 2b = V A1A2 ⋅ 2hилиbV0b = VB h ⇒VB = V0hТаким образом, если мы вектор скорости штампов V0 на годографечисленно отложим равным величине h , то вектор скорости точки B долженполучиться равным VB = b .Построение годографа начнем с жесткой зоны. Очевидно, что жесткиезоны двигаются со скоростью штампов. Отложим V0 из полюса для верхнейжесткой зоны. Конец вектора - точка f ' -отражает скорость точки F ,принадлежащей верхней жесткой зоне. Она также соответствует сокоростямвсех точек линии E1 F , принадлежащих жесткой зоне.
Линия E1 F - линияразрыва скоростей, поскольку отделяет жесткую зону от пластической.Разрыв имеет только касательная к линии скольжения составляющаяскорости, нормальная же составляющая остается непрерывной. Из условиясимметрии следует, что точка F двигается влево вдоль оси x , величинаразрыва скорости направлена по касательной к линии разрыва в точке F .Проведем из полюса линию, параллельную оси x , а из конца вектора Of ' линию, параллельную касательной к линии скольжения в точке F (т.е. под45° к оси).
На пересечении этих линий получим точку f отражающуюскорость точки F = (6,6) пластической области.347(6,3)(6,6)(6,6)fOOf'(3,6)c2e2(6,5)b(0,0)(1,1)(2,2)(3,3) d(4,4)f(5,5)(5,6)(4,5)(0,1)O(4,6)(0,2)c1 (0,3)(1,4)(2,5)e1Вектор f ' f является величиной разрыва скорости в точке F . Изуравнений Форда следует, что величина этого разрыва остается постояннойпо абсолютной величине вдоль всей линии E1 F , но изменит свой угол.Проведя дугу, радиусом ff ' из точки O на угол поворота линии скольжения,равный 45°, получим точку e'1 = (3,6) - отражающую скорость точки E1пластической области.
Разбив дугу f 'e'1 точками с шагом γ = 15° =π,12получим точки, соответствующие скоростям точек (5,6), (4,6). Аналогичноепостроение может быть выполнено и для линии E2 F . Дальнейшеепостроение годографа основано на свойстве ортогональности поля скоростейполю линий скольжения. Поэтому для его построения пользуются теми жеметодами, что и для построения поля линий скольжения.При правильном построении кинематические граничные условиясоблюдаются.Используем сетку линий скольжения для определения контактныхдавлений.Решение в области A1 A2 B было получено ранее:σ cpB = −k = σ 00В соответствие с интегралом Генки:σ 00 − σ 03 = −2k (ω 00 − ω 03 )αππω 00 = ;ω 03 = ;σ 00 = −k42⇒⎛ π⎞⎛ π⎞⎟ = −k ⎜1 + ⎟ ≈ −2.57k2⎠⎝ 4⎠⎝σ 03 = σ cpC1 = −k + 2k ⎜ −348Поскольку контактная линия A1C1 является одновременно прямойлинией скольжения, то средние напряжения вдоль этой линии в соответствиис интегралом Генки остаются неизменными.На граничной поверхности A1C1 направление линий скольжения sα , s βсовпадают с координатными направлениями y, x .
Т.к. в координатах sα , s βнапряженной состояние всегда: σ α = σ β = σ cp ; τ αβ = k , то в данном случае :σ y = − p = σ cp = σ 03 = −2.57k , поэтомуp A1 = pC1 = 2.57 k = p0 = p1На линии C1 E1 контактные давления также равны среднимнапряжениям в соответствующих точках.Средние напряжения в точке (1,4) определяются по среднимнапряжениям в точке (1,3), а последние – по напряжениям в точке (0,3).Опуская преобразования:ππσ 14 = σ 03 − 2k ⋅ 2γ = −k (1 + ) − 4k ≈ 3.62k = − p14 = − p22σ 25 = σ 14 − 2k ⋅ 2γ = −k (1 +ππ12π+ ) − 4k ≈ 4.67k = − p25 = − p32 312σ 36 = σ 25 − 2k ⋅ 2γ = σ 25 − kπ3≈ 5.71k = − p36 = − p4p5O1E1kσcpϕFp5E1O1σ3,6kσ4,6∆yσ5,6k∆xFσ6,6349Контактные напряжения на участке E1O1 нельзя определитьнепосредственно, т.к. пластическая область здесь непосредственно несоприкасается с контактной поверхностью.
Средние давления на всемучастке могут быть определены из условия равновесия всей жесткой областиO1 E1 F :p E1O1 × E1O1 = − ∫ σ cp ⋅ ds ⋅ cosϕ +E1F∫ k ⋅ ds ⋅ sin ϕE1FДля кусочно-линейного поля линий скольжения интегрирование можнозаменить суммирование по отрезкам:6σ + σ m−1,6p E1O1 × E1O1 = ∑ − m,6⋅ ∆xm + k ⋅ ∆y m2m=4окончательно:σ + σ m−1,6− m,6⋅ ∆xm + k ⋅ ∆y m2p E1O1 == p5 ≈ 6.83kE1O1удельную силу, действующую на всю контактную поверхность такжеможно определить суммированием по участкам:4p + pm−1⋅ ∆bm,m−1p1 ⋅ A1C1 + p5 ⋅ E1O1 + ∑ m2m=2q=≈ 4.89kA1O13504.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
