Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Математически это285эквивалентно использованию подвижной системы координат, связанной ссечением, проходящим через центр высоты заготовки.z∆hh−∆ha0ϕ0Rρa1ϕ1a2ϕ2(z)a2ϕ2(ρ)При этих допущениях заготовка будет находиться в осесимметричномнапряженном состоянии.Решаем задачу методом Ритца.4.7.6.2 Выбор подходящих функцийЭкспериментальный анализ деформированного состояния заготовки,выполненный методом делительных сеток показывает, что горизонтальныесечения, плоские до деформации, после деформации получают прогиб,форма которого близка к параболической.

Прогиб отсутствует в среднемсечении и в сечениях, непосредственно примыкающих к контактнойповерхности.Поскольку мы имеем экспериментальные данные о поле перемещений,а не о поле скоростей, то наиболее обоснованным подходом являетсяварьирование полем перемещений. В этом случае функционал, который надоминимизировать, чтобы получить истинное поле перемещений будет286соответствовать принципу минимума полной энергии, а не принципу полноймощности, как в случае виртуальных скоростей.Для осесимметричного напряженного состояния невозможнонезависимо задавать поля перемещений, поскольку они связаны друг сдругом условием неразрывности:∂u ρ u ρ ∂u zε ρ + εθ + ε z = 0 ,=0++ρ∂z∂ρПоэтому в качестве кинематически возможного независимо можновыбрать только одно поле перемещений, например u z , поле перемещений u ρдолжно быть определено из дифференциального уравнения неразрывности.Поле перемещений u z должно удовлетворять граничным условиям:u z z =0 = 0; u z z =h = − ∆hи воспроизводить искажение поперечных сечений.Для этого аппроксимирующая функция перемещений должнанелинейно зависеть как от координаты z , так и от координаты ρ .И.Я.Тарновскийпредложилаппроксимироватьполеперемещенийследующим степенным рядом, состоящим из трех членов:u z ( z, ρ ) = a0ϕ 0 ( z ) + a1ϕ1 ( z ) + a2ϕ 2 ( z, ρ )Первый член ряда подбирают таким образом, чтобы он отражалфункцию перемещений в условиях равномерной деформации, а два другихслагаемых как бы «уточняют» распределение перемещений.В условиях равномерной деформации функция ϕ 0 ( z ) должна бытьлинейной, а коэффициент a0 определится из граничных условий.

Тогда:∆ha0ϕ 0 ( z ) = −z = −εzhДве других функции должны быть подобраны таким образом, чтобыотражать нелинейную зависимость перемещения u z от z , ρ и не нарушатьграничных условий. И.Я. Тарновский предложил следующие подходящиефункции:⎛ρ 2 ⎛ z3 ⎞z3 ⎞⎟⎜ϕ1 ( z ) = − z⎜1 − 3 ⎟;ϕ 2 ( z, ρ ) = − z 2 ⎜⎜1 − 3 ⎟⎟R ⎝ h ⎠⎝ h ⎠Окончательно:⎡⎛ρ 2 ⎛ z 3 ⎞⎤z3 ⎞⎟⎜u z = − ⎢εz + a1 z ⎜1 − 3 ⎟ + a2 z 2 ⎜⎜1 − 3 ⎟⎟⎥R ⎝ h ⎠⎦⎝ h ⎠⎣65Тогда65d ⎡ ⎛z 3 ⎞⎤ ⎛z3 ⎞ ⎛z2 ⎞ ⎛z3 ⎞⎢ z ⎜1 − ⎟⎥ = ⎜1 − ⎟ + z ⎜ − 2 3 ⎟⎟ = ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟dz ⎣ ⎜⎝ h 3 ⎟⎠⎦ ⎜⎝ h 3 ⎟⎠ ⎜⎝h ⎠ ⎝h ⎠287⎡ ⎛⎡⎛ρ2 ⎛ρ 2 ⎞⎛z3 ⎞z 3 ⎞⎤z 3 ⎞⎤ε z = − ⎢ε + a1 ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟ + a2 2 ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥ = − ⎢ε + ⎜⎜ a1 + a2 2 ⎟⎟⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥h ⎠R ⎝h ⎠⎦R ⎠⎝h ⎠⎦⎝⎣ ⎝⎣4.7.6.3 Определение компонент поля перемещений и тензора деформацийперемещение u ρ найдем из условия непрерывности, которое можнопривести к виду:1 ∂(u ρ ) = ε zρ ∂ρ ρ⎡ ⎛z 3 ⎞⎤ρ 2 ⎞⎛u ρ ρ = ∫ ⎢ε + ⎜⎜ a1 + a2 2 ⎟⎟⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥ρdρ + C =R ⎠⎝h ⎠⎦⎣ ⎝⎛⎛z 3 ⎞⎤ ρ 4z3 ⎞ρ2 ⎡a2 ⎜1 − 4 3 ⎟⎟ + C=⎢ε + a1 ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥ +2h4R 2 ⎜h⎠⎝⎠⎦⎝⎣Постоянную C найдем из граничных условиях u ρρ =0= 0 .

ОткудаC = 0 . Тогда66:⎛z 3 ⎞⎤ ρ 3 ⎛z 3 ⎞ ερ ⎛z 3 ⎞⎛ a1 ρ a2 ρ 3 ⎞ρ⎡⎟++ ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜a ⎜1 − 4 3 ⎟⎟ =u ρ = ⎢ε + a1 ⎜⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎥ +2 ⎟2 2⎜2⎣22h4Rhh4R⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎦⎝⎠∂u ρ ε ⎛z 3 ⎞⎛ a1 3a2 ρ 2 ⎞⎟⎜= + 1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜ +ερ =∂ρ 2 ⎜⎝h ⎠⎝ 24 R 2 ⎟⎠⎛z 3 ⎞⎛ a1 a2 ρ 2 ⎞⎟= + ⎜1 − 4 3 ⎟⎟⎜⎜ +εθ =2 ⎟2ρ 2 ⎜⎝h ⎠⎝4R ⎠Поскольку перемещения u z , u ρ зависят и от координаты ρ и откоординаты z , то тензор деформаций будет содержать отличную от нуляугловую деформацию γ ρz 67:uργ ρzε∂u ρ∂u z ⎛ a1 ρ a2 ρ 3 ⎞⎛ρz2 ⎞ ⎛z3 ⎞⎜⎟⎟⎟⎜⎜1212az=+=⎜++−−2∂z∂ρ ⎝ 24 R 2 ⎟⎠⎜⎝h 3 ⎟⎠ ⎜⎝ h 3 ⎟⎠R24.7.6.4 Составление функционалаПри использовании кинематически возможного поля перемещенийищут стационарное значение функционала полной энергии, который дляслучая идеального жесткопластического тела и непрерывном полеперемещений имеет вид:Следует отметить, что ε ρ = εθ при a2 = 0 , т.е. в том случае, когда u zзависит только от z .67Угловые деформации γ ρθ = γ zθ = 0 из условий симметрии.66288Π = ∫ σ i ε i dV −V∫ pi ui dF = σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ u ρ ρ =h dF*FpVFkЗдесьучтеноσ i = σ s = const ,площадьповерхностиFpдеформируемого тела, на которой заданы известные внешние удельные силытрения pi* = τ k = − µ sσ s , равна площади контактной поверхности инструментас заготовкой Fp = Fk = πR 2 .

Перемещения ui в направлении действияизвестных сил равны радиальным перемещениям материальных частицдеформируемого тела на контактных поверхностях с инструментомui = u ρ.z =hПервое слагаемое функционала представляет работу внутренних сил, авторое – работу сил трения.В нашем случае:2(ε ρ − ε z )2 + (ε z − εθ )2 + (εθ − ε ρ )2 + 3 γ ρ2zεi =32Опуская промежуточные преобразования, приведем окончательноевыражение68:ε i2 = ε 2 +24⎛z3 ⎞ 1 ⎛ 2z3 ⎞ρ 2 ⎞⎛ρ22 ρ ⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜+ 3ε ⎜ a1 + a2 2 ⎟⎜1 − 4 3 ⎟ + ⎜ 3a1 + 6a1a2 2 + 3.25a2 4 ⎟⎜1 − 4 3 ⎟⎟ +R ⎠⎝h ⎠ 3⎝RR ⎠⎝h ⎠⎝+3h6224 2 ρ 2z2 ⎛z3 ⎞⎜1 − 3 ⎟⎟ +⎜⎜ 2a1 + a2 2 ⎟⎟ + a24 ⎜3RR⎠⎝ h ⎠⎝ρ2 ⎞ρ 2z4 ⎛ρ 2 ⎞⎛ z 3 ⎞⎟⎜1 − ⎟⎜aa2+12R 2 h 3 ⎜⎝R 2 ⎟⎠⎜⎝ h 3 ⎟⎠Относительное смещение на контактных поверхностях:3 ρ2 ⎞ρ ⎛1uk = u ρ= ⎜⎜ ε − 3a1 − a2 2 ⎟⎟z =h2⎝22 R ⎠В этом случае функционал становится функцией двух переменных –неизвестных коэффициентов a1 , a2 .+ 4a 2ρ 2 z3 ⎛hRR000Π (a1 , a2 ) = σ s ∫ ∫ ε i (a1 , a2 )2πρdρdz + µ sσ s ∫ u k (a1 , a2 )2πρdρУсловие стационарности этой функции есть система алгебраическихуравнений:68Используем выражение Тарновского с учетом Γ = ε 3289hRR⎧ ∂Π∂u∂ε i2πρdρdz + µ sσ s ∫ k 2πρdρ = 0=σs∫∫⎪∂a1∂a1⎪ ∂a1000⎨hRR∂u k∂ε i⎪ ∂Π = σ+2πρdρdzµσsss∫ ∫ ∂a2∫ ∂a2 2πρdρ = 0⎪ ∂a000⎩ 2Первые интегралы с учетом вида функции ε i невозможно точнопроинтегрировать в квадратурах.

Это традиционная сложность прииспользовании вариационного метода и метода верхней оценки. Одним изспособов ее преодоления является использование методов приближенногоинтегрирования интегралов вида:∂ε i∫ ∂a dVДля функции ε = ε (a ) справедливо:∂ 2∂ε = 2ε (ε )∂a∂aотсюда:∂ε 1 ∂ 2=ε∂a 2ε ∂aРаспределение интенсивности деформации по объему тела во многихпроцессах обработки давлением мало отличается от некоторого среднегозначения, вычисленного в предположении равномерной деформации.

Тогда2∂ε i1 ∂ (ε i )∫ ∂a dV = 2ε icp ∫ ∂a dVVV( )( )В нашем случае∆hε icp = ε =hТогда первые слагаемые вариационных уравнений (вариации работывнутренних сил по параметрам a1 ,a2 ):σ∂εσ s ∫ ∫ i 2πρdρdz = s2ε∂a100hR∂ (ε i )∫ ∫ ∂a1 2πρdρdz =002hR⎛πR 2 h ⎡⎛R2 ⎞R2 ⎞ ⎤⎟⎜⎜=σs⎢ 3.86 + 3.6 2 ⎟a1 + ⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟a2 ⎥6ε ⎣⎜⎝h ⎠h ⎠ ⎦⎝σ∂ (ε )σ s ∫ ∫ i 2πρdρdz = s2ε∂a200hR2=σs∂ (ε i )∫ ∫ ∂a2 2πρdρdz =00hR2⎛R2h2 ⎞R2 ⎞ ⎤πR 2 h ⎡⎛⎟a⎜⎟⎜a1.820.450.2222.561.2++++⎢22 ⎟ 1⎥⎜6ε ⎣⎜⎝h2R 2 ⎟⎠h⎠ ⎦⎝Вариацию работы трения по параметрам с учетом:290∂u ρ∂u ρ33 ρ3z =h=− ρ,=−∂a1∂a224 R2определим по следующим выражениям:R∂uµ sσ s ∫ k 2πρdρ = − µ sσ sπR 3∂a10z =hR∂u k2πρdρ = −0.3µ sσ sπR 3∂a20В результате получим два линейных алгебраических уравненияотносительно варьируемых коэффициентов.

И.Я.Тарновский получил их вследующем виде:⎛R 2 ⎞ a1 ⎛R 2 ⎞ a2R⎜⎜ 3.86 + 3.6 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ − 3ψ = 0hh ⎠ε ⎝h ⎠ε⎝µ sσ s ∫⎛R2h2 ⎞ a ⎛R2 ⎞ aR⎜⎜1.82 + 0.45 2 + 0.222 2 ⎟⎟ 2 + ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ 1 − 0.3 3ψ = 0 ,hhR ⎠ε ⎝h ⎠ε⎝где ψ = µ s 3И.Я.Тарновский приводит следующее решение этих уравнений:R22.44 + 0.208 2a2Rh= −ψ2εhRR4h21.23 + 2.12 2 + 0.18 4 + 0.853 2hhRR ⎛R2 ⎞ a1.732ψ − ⎜⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟ 2h ⎝h ⎠εa1=,εR23.84 + 3.6 2hДля конкретных R, h, µ s эти коэффициенты могут быть легковычислены.Работа внешних силAD = P∆h = q × πR 2 × εhПриравнивая функционал полной энергии работе неизвестных внешнихсил:Π = ADи определив интегралы в выражении для функционала с использованиемнайденных значений коэффициентовhRRΠ = σ s ∫ ∫ ε i (a1 , a2 )2πρdρdz + µ sσ s ∫ u ρ000z =h(a1 , a2 )2πρdρможно найти выражения для удельной силы деформирования.291В этом выражении величина ε сократится, в результате удельная силадеформирования будет зависеть от R, h, µ s .И.Я.Тарновский приводит полученную им формулу в следующем виде:a ⎞qB ψ D ⎛ 1 a1=1+ +⎜ − − 0.3 2 ⎟σsε ⎠33 H ⎝3 εЗдесь22⎛D 2 ⎞⎛ a1 ⎞ ⎛D2H 2 ⎞⎛ a2 ⎞B = ⎜⎜1.92 + 1.8 2 ⎟⎟⎜ ⎟ + ⎜⎜ 0.909 + 0.225 2 + 0.111 2 ⎟⎟⎜ ⎟ +H ⎠⎝ ε ⎠ ⎝HD ⎠⎝ ε ⎠⎝⎛D 2 ⎞ a1 a2⎜+ ⎜ 2.56 + 1.2 2 ⎟⎟H ⎠ε ε⎝При однородной деформации ε z = const , a1 = a2 = 0 .

Тогда B = 0 и сучетом ψ = µ s 3 формула Тарновского переходит в известную формулуЗибеля:⎛ 1 D⎞q = σ s ⎜1 + µ s ⎟⎝ 3 H⎠2924.8. Метод линий скольжения.4.8.1 Общие положенияОсновы метода линий скольжения заложены в 20-х годах XX веканемецкими учеными Г.Генки и Л.Прандтлем. В дальнейшем этот методактивно развивался и использовался как зарубежными, так и отечественнымиучеными. До возникновения метода конечных элементов (70-е годы XX века)метод линий скольжения был единственным теоретическим методом,который позволял определить не только напряженное, но и деформированноесостояние.Метод линий скольжения основан на построении поля линийскольжения в деформируемом теле и использовании свойств линийскольжения для определения напряженного и деформированного состояний.Математическаяосновойметодаявляетсяинтегрированиедифференциальных уравнений равновесия сплошной среды вдоль линийскольженияЛиниямискольженияназываются линии, касательные влюбой точке которых совпадают снаправлениеммаксимальныхкасательныхнапряжений.Следовательно, это линии, вдолькоторых происходят максимальныесдвиговые деформации.Особуюпритягательностьэтому методу придает то, что линиискольжения были обнаружены иэкпериментально(т.н.линииЛюдерса-Чернова которые заметны,например, на покрытой пленкойЛинии Людерса-Черноваокисловповерхностифланцазаготовки в начальной стадиивытяжки).

Т.о. метод имеет под собой физическое обоснование.Еще одно преимущество метода - строгое решение в рамках принятыхдопущений. Интегрируемые уравнения представляют собой специальный видуравненийравновесия,тождественноудовлетворяющихусловиюпластичностиПрименение метода линий скольжения ограничивается следующимидопущениями:Металл однороден и изотропен.Модель среды – идеальная жесткопластическая, σ s = const .293Кроме того, строгое математическое обоснование метод имеет толькодля плоского деформированного состояния69. С определеннымидопущениями его также применяют для плоского напряженного состоянияпри сжато-растянутой схеме и для осесимметричного напряженногосостояния. К недостаткам метода можно отнести необходимость достаточнотрудоемких графических построений или, при численной реализации,необходимость создания специальной программы.4.8.2 ОсновныесостояниясоотношениядляплоскогодеформированногоσzzγxyyεxγyxεyτyxσxxσyτxyРассмотрим тело, находящееся в плоском деформированномсостоянии.

Характеристики

Список файлов книги