Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Т.к. v ρ = f ( ρ ), а v z = f ( z ) , то γ ρz = 0 .Таким образом оси ρ ,θ , z - главные, следовательно, интенсивность скоростейдеформаций в 1 зоне можно определить по формуле:2εi =3(ε ρ − εθ ) + (εθ − ε z ) + (ε ρ − ε z )2=02222v2 ⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞=⎜ εz ⎟ + ⎜ εz ⎟ = εz = 03 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠h257Для области 2 мы также не можем независимо выбирать v z и v ρ . Еслимы зададимся полем v ρ , удовлетворяющим граничным условиям, то изусловия неразрывности необходимо будет определять выражение для v z , инаоборот.Рассмотрим условие непрерывности в целом для всего материала:v z 3 ⋅ π R 2 − r 2 = vo ⋅ πr 2 ,отсюда:r2.v z 3 = v0 2R − r2Ранее мы показали, чтоv z 3 = v z 2 z =hследовательно:r2v z 2 z = h = v0 2R − r2Зададимся в зоне 2 также линейным полем осевых скоростей.Граничным кинематическим условиям будет удовлетворять поле:r2z×v z 2 = v0 22hR −rИз условия неразрывности ε ρ + ε θ + ε z = 0 следует:()v01 ∂r2(v ρ ) + × 2 2 = 0h R −rρ ∂ρ ρИнтегрируя, получим:r21 v0vρ ρ = −× 2 2 ρ 2 + f (z )2 h R −rДля нахождения произвольной постоянной необходимо использоватькинематические граничные условия либо на внешней, либо на внутреннейгранице зоны.
Так при ρ = R, v ρ = 0 :v0r2R2× 2f ( z ) = const =22h R − rОкончательно:⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟vρ 2 =× 2−ρ2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠Проверим удовлетворяет ли полученное поле условиям на внутреннейгранице зоны, подставив в полученную формулу значение ρ = r :vρ 2ρ =r⎞ vv0r 2 ⎛ R2⎜=× 2− r ⎟⎟ = 0 r = v ρ12 ⎜ρ =r2h R − r ⎝ r⎠ 2h258v0r/(2h)vρ-v02h12v0r2/(R2-r2)vz1vz2По прежнему γ ρθ = γ θz = 0 , v ρ = f ( ρ ), v z = f ( z ) и γ ρz = 0 .∂v z v0r2= × 2∂zh R − r2∂v ρ⎞v0r 2 ⎛ R2⎜ερ ==− × 2+ 1⎟⎟2 ⎜ 2∂ρ2h R − r ⎝ ρ⎠22v⎞⎛Rvr⎟⎜εθ = ρ = 0 × 2−1ρ 2h R − r 2 ⎜⎝ ρ 2 ⎟⎠εz =Aεi =23(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε ρ − ε z )2 =222⎛ R2⎞ ⎛ R2⎞ ⎛⎞2R2R2=A ⎜⎜ − 2 − 1 − 2 + 1⎟⎟ + ⎜⎜ 2 − 1 − 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 + 2 + 1⎟⎟ =3ρρ⎝ ρ⎠ ⎝ρ⎠ ⎝⎠2222⎛ R2 ⎞ ⎛ R2⎞ ⎛ R2⎞⎛ R2 ⎞22⎜⎟⎜⎟⎜⎟=A ⎜ 2 2 ⎟ + ⎜ 2 − 3⎟ + ⎜ 2 + 3⎟ =A 6⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 18 =33⎝ ρ ⎠ ⎝ρ⎠ ⎝ρ⎠⎝ρ ⎠vo r 2R42A 4 +3==ρ33h R 2 − r 2()R4ρ4+3BОпределим величины разрывов скоростей на поверхностях разрыва.разрыв в скоростях v z между зоной 1 и зоной 2:z r2zz ⎛ R2 ⎞⎟∆v z = v z 2 − v z1 = v0+ v0 = v0 ⎜⎜ 2h R2 − r 2hh ⎝ R − r 2 ⎟⎠между зоной 2 и зоной 3 – разрыв в скоростях v ρ⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟ρ∆v ρ =× 2−2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠между зоной 1 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρv∆v ρ = 0 ρ2hмежду зоной 2 и зоной 4 – разрыв в скоростях v ρ259⎞v0r 2 ⎛ R2⎜⎟⎟ρ∆v ρ =× 2−2h R − r 2 ⎜⎝ ρ⎠Кроме того, необходимо определить величины скоростей наповерхностях, где заданы внешние силы, т.е.
на поверхности Fp . В случае,если мы принимаем внешнее трение по закону Прандтля, т.е. τ k = µ sσ s , тоего можно считать внешней силой. Для определения соответствующегоинтеграла в неравенстве теоремы о внешней оценке необходимо определитьте скорости на контактных поверхностях, которые направлены вдольдействия соответствующих напряжения.
Такими величинами будут:контакт между зоной 1 и пуансоном:vvρ = 0 ρ2hконтакт между зоной 2 и контейнеромr2z×v z = v0 2R − r2 hТеперь у нас есть выражения для всех составляющих, входящих всостав неравенства метода верхней оценки:******∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dV + k ∫ ∆vτ S df − ∫ pi vi dFFvVfSIIIFpIIIIVВычислим последовательно интегралы, входящие в неравенство.I: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий. В нашем случае задана скоростьпуансона.
Поверхностные силы, направленные вдоль направленияскорости пуансона – это удельные деформирующие силы. В интегралеудельные силы и скорости берутся со своими знаками. В данном случаенаправление внешних сил совпадает с направлением скорости, поэтомузнак произведения положительный.r∫ pi v0i dF = ∫ qv0 ⋅ 2πρdρ = qv0πrFv20II: Мощность в очаге пластической деформации:⎛⎞⎜σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ε i1dV1 + ∫ ε i 2 dV2 ⎟ =⎜V⎟VV2⎝1⎠R⎛ r v0⎞vr2R 4 + 3ρ 4⎟== σ s ⎜ ∫ ⋅ 2πρhdρ + ∫ 0 2⋅2hdπρρ24⎜ h⎟−Rrρ3hr⎝0⎠R⎛⎞R 4 + 3ρ 4v0πr 2122⎟⎜= σ s v0πr +dρ22 ∫⎜⎟−Rrρ23r⎝⎠2Определим интеграл с помощью замены ρ = x260R∫rR 4 + 3ρ 4ρ2dρ =2R2∫(R ) + ( 3x )22 2r2⎡= ⎢ R4 +⎢⎣x( 3x )2dx =− R 2 ln24R + R +3xR2( )⎤3x ⎥=⎥⎦ r22⎡⎤2442⎢3RR + R + 3r ⎥2Rln= ⎢2 R 2 − R 4 + 3r 4 − R 2 ln+⎥=3R 23r 2⎢⎥3⎣⎢⎦⎥⎡ 2R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤442= ⎢2 R − R + 3r + R ln⎥3r 2⎥⎦⎢⎣Окончательно⎧1R2 ⎡r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤ ⎫⎪2⎪2 − 1 + 3 4 + lnσ s ∫ ε i dV = σ s v0πr ⎨1 +⎥⎬22 ⎢2RrR3r−3⎪⎩⎥⎦ ⎪⎭⎢⎣VIII: Мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрыва скоростей.Согласно расчетной схеме существует четыре поверхности разрыва.⎛⎞*k ∫ ∆vτ df = k ⎜ ∫ ∆vz12df + ∫ ∆vρ 23df + ∫ ∆vρ 24df + ∫ ∆vρ14df ⎟ =⎜f⎟ff 23f 24f14⎝ 12⎠Rvrv⎡h v⎤⎞R2r 2 ⎛ R2000z ⋅ 2π rdz + 2 ∫= k ⎢∫− ρ ⎟ ⋅ 2πρ d ρ + ∫ ρ ⋅ 2πρ d ρ ⎥ =⎜22⎜ ρ⎟2hRr⎢⎣ 0 h R 2 − r 2−⎥⎦0 2hr⎝⎠⎡⎛R3 − r 3 ⎞ v π r 3 ⎤v0 R 2h 2 v0 r 2⎢⎥=⎜⎟+ 022π r2π R ( R − r ) −=k⎢+⎟233h ⎥h R2 − r 2h R 2 − r 2 ⎜⎜⎟⎢⎣⎥⎦⎝⎠(⎡=3((33⎛h 1 ⎜ 2R2 2 R − r⎢ R2 − r 2 r + h ⎜ R + r −3 R2 − r 2⎜⎢⎣⎝σ s v0π r 2 ⎢R2)) ⎞⎟ + r ⎤⎥) ⎟⎟⎠ 3h ⎥⎥⎦261IV: Мощность известных внешних сил.
Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s . Поскольку направление действия внешних силпротивоположно направлению возможных скоростей на контактныхповерхностях, то в произведении следует взять отрицательный знак.*∫ pi vi dF = ∫ τ k1 ( −vρ1 ) dF + ∫ τ k 2 ( −vz 2 ) dF =FpF1kF2 krhvvr2= − ∫ µ sσ s 0 ρ ⋅ 2πρ d ρ − ∫ µ sσ s 0z ⋅ 2π Rdz =222hhR −r00⎡π r3Rh ⎞π r 2 2 R h2 ⎤⎛ r= − µ sσ s v0 ⎢+= − µ sσ s v0π r 2 ⎜ +⎥⎟22⎝ 3h R 2 − r 2 ⎠⎢⎣ 3h R − r h 2 ⎥⎦Неравенство метода верхней оценки получает вид:⎧⎫1R 2 ⎡⎢r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤⎥ ⎪22⎪+ lnqv0π r ≤ σ s v0π r ⎨1 +2 − 1+ 3⎬+22⎢42⎥3−RrR3r⎪⎩⎣⎦ ⎪⎭⎡+3((33⎛h 1 ⎜ 2R2 2 R − r⎢ R2 − r 2 r + h ⎜ R + r −3 R2 − r 2⎜⎢⎣⎝σ s v0π r 2 ⎢R2) ⎞⎟ + r ⎤⎥ −) ⎟⎟⎠ 3h ⎥⎥⎦⎡Rh ⎞ ⎤⎛ r− ⎢ − µ sσ s v0π r 2 ⎜ +⎟⎥⎝ 3h R 2 − r 2 ⎠ ⎦⎣Проведя преобразования, получим:q1R2 ⎡r4R 2 + R 4 + 3r 4 ⎤≤1+⎢2 − 1 + 3 4 + ln⎥+σsR3r 23 R 2 − r 2 ⎣⎢⎦⎥(())1 ⎡ R 2 h 1 ⎛ 2R 2 2 R3 − r 3 ⎞ r ⎤Rh ⎞⎛ r⎜⎟+−+++µ⎜⎢ 2⎥s22 ⎟3 ⎣ R − r 2 r h ⎜⎝ R + r 3 R 2 − r 2 ⎟⎠ 3h ⎦⎝ 3h R − r ⎠hRвведем обозначения = h , = Rrr2 ⎡qR 2 + R 4 + 3⎤1 R3≤1+⎢2 − 1 + 4 + ln⎥+σs3R3 R 2 − 1 ⎣⎢⎦⎥+⎛ 1 R2R ⎞ 1 ⎡1 ⎛ 11 4R 3 − 6R 2 + 2 ⎤⎞⎟⎟ + ⎢ ⎜+ h ⎜⎜+ µs 2+ µs ⎟ +⎥2h3RR−1−1333 3 R 2 −1 ⎦⎝⎠⎣⎝⎠(A)BВ приведенных выше формулах неизвестна величина очагапластической деформации h .
Эту величину можно определить из условияминимума работы пластической деформации. Поскольку работа262пластической деформации пропорциональна удельной силе, то условием дляопределения h является:∂qq = min→=0∂hПроизводная от первых двух слагаемых будет равна нулю, т.к. они несодержат h .
С учетом сделанных обозначений:∂q ∂ ⎛ hr ⎞ A 1= ⎜ A + B ⎟ = − 2 rB = 0∂h ∂h ⎝ rh ⎠ r hОтсюда:h2 B= =h22Ar1 ⎞ 22⎛22 R 3 − 3R 2 r + r 3r⎜ µ s +⎟ R −r +B3⎠3= ⎝h=AR23µ s R + 3rили в относительных величинах1 ⎞ 22⎛2 R 3 − 3R 2 + 1⎜ µs +⎟ R −1 +3⎠3h= ⎝3µ s R + 3 R 2Зная радиусы пуансона r и контейнера R можно по полученнымформулам определить высоту очага пластической деформации h , а затемудельную силу деформирования q .(())(())q/σs8h60.840.4200q/σs, µ=0.5h, µ=0q/σs, µ=0h, µ=0.511.21.41.61.8RНа рисунке приведены графики зависимости относительной удельной силыqдеформированияи относительной величины очага пластическойσs263hRот относительно радиуса контейнера R =и фактораrrтрения µ . Расчеты показывают, что для каждого размера контейнерасуществует некоторое оптимальное значение радиуса пуансона, при которомудельная сила деформирования будет минимальна.
С увеличением тренияоптимальное соотношение между радиусом контейнера и радиусом пуансонаувеличивается.деформации h =4.6.3 Решение задачи об осадке кольца методом верхней оценки.Принципиальная схема технологического процесса изображена нарисунке. Цилиндрическое кольцо высотой h, внутренним диаметром 2r ,наружным диаметром 2R осаживается верхней плитой, движущейся соскоростью vo . Нижняя плита неподвижна.r0r0zv0v01τkv ρ1 v ρ2vz1 vz22h2r2RτkτkrρτkRПримем следующую расчетную схему:Очаг деформации охватывает весь объем заготовки и может бытьразделен на две зоны.
В зоне 1 материальные частицы перемещаются внутрьи вниз, в зоне 2 – наружу и вниз. Радиус r0 , разделяющий эти зоны будемназывать радиусом раздела течения, а цилиндрическую поверхность,проведенную внутри заготовки этим радиусом – поверхностью разделатечения.Радиус раздела течения r0 неизвестен, будем считать его варьируемымпараметром, подлежащим определению из условия минимума полноймощности.Воспользуемся цилиндрической системой координат, начало которойсовместим на оси заготовки в точке ее пересечения с нижней плитой.Силы трения существуют на контактных поверхностях междузаготовкой и осадочными плитами, причем вследствие различногонаправления радиальных скоростей материальных частиц в различных зонах,направления удельных сил трения также различны.Принятая нами расчетная схема не предполагает разрывов скоростей.Действительно, возможная единственная граница разрыва скоростей моглабы проходить по линии раздела течения.
Однако радиальные составляющиескорости из условия непрерывности должны быть равны нулю:264v ρ1ρ = r0= vρ2ρ = r0=0а осевые – одинаковы, поскольку граничные условия для обеих зон наверхней и нижней плитах совпадают.Исходя из расчетной схемы, определим граничные кинематическиеусловия:на границе между зонами 1, 2 и верхней плитой:v z1= v z2= −v 0 ;z =hz =hна границе между зонами 1, 2 и нижней плитой:v z1= v z2=0z =0z =0Для учебных целей предложим следующее простейшее поле скоростей.Будем считать, что в зонах 1 и 2 осевая скорость пропорциональнакоординате z и не зависит от координаты ρ :zvz1 = −v0 = vz 2hТакой закон удовлетворяет всем граничным условиям.
Закон дляскорости v ρ мы не можем выбирать произвольно, т.к. поле скоростей должноудовлетворять условию неразрывности:ε ρ + εθ + ε z = 0С учетом ε ρ =∂vρ∂ρ; εθ =vρρ; εz =v∂vz= − 0 , получим∂zh1 ∂(v ρ ρ ) − v0 = 0hρ ∂ρИнтегрируя, получим:1vv ρ ρ = 0 ρ 2 + f (z ) ,2 hvграничные условия vρ= 0 , тогда f ( z ) = − 0 r02ρ = r02hОкончательно:v ⎛r2 ⎞v ρ1 = 0 ρ ⎜ 1 − 0 ⎟ = v ρ 22h ⎜⎝ρ 2 ⎟⎠Интенсивность скоростей деформации22 3222εi =ε ρ − εθ + ( εθ − ε z ) + ε ρ − ε z + γ ρ2 z + γ z2θ + γ θρ32Поскольку напряженное состояние осесимметричное, то скоростисдвиговых деформаций γ ρθ = γ θz = 0 . Т.к.
v ρ = f ( ρ ), а v z = f ( z ) , то γ ρz = 0 .Таким образом оси ρ ,θ , z - главные. Скорости деформаций в направленииосей()()()265v0 ⎛ερ == ⎜1 +∂ρ 2h ⎜⎝∂vρv ρ v0 ⎛r02 ⎞= ⎜1 −⎟ , εθ =ρ 2h ⎜⎝ρ 2 ⎟⎠v∂vr02 ⎞, εz = z = − 0⎟∂zhρ 2 ⎟⎠Окончательноv0r04εi =+3h 3 ρ4Принимаем внешнее трение по закону Прандтля, т.е. τ k = µ sσ s ,следовательно его можно считать внешней силой. Скорости движенияматериальных частиц на контактных поверхностях равны соответствующимрадиальным составляющим.Вычислим последовательно интегралы, входящие в неравенствоверхней оценки.I: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий – на контакте с верхней плитой.∫pi v0**i dFFvR(= ∫ (− q )(− v0 ) ⋅ 2πρdρ = qv0π R 2 − r 2)rII: Мощность в очаге пластической деформации:Rv0r04**σ s ε i dV = σ s3+2πρ hd ρ =4h 3ρVr∫∫R⎡244⎤σ s v0π ⎢ 442 r0 + r0 + 3 ρ ⎥==r0 + 3 ρ − r0 ln⎥3 ⎢3ρ 2⎣⎦r⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎢σ vπ⎠= s 0 ⎢ r04 + 3R 4 − r04 + 3r 4 + r02 ln ⎝⎥2⎛ 244 ⎞⎥3 ⎢r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎢⎣⎝⎠ ⎥⎦III: Мощность удельных сил сдвига на поверхностях разрыва скоростей.k ∫ ∆vτ**S df = 0fSIV: Мощность известных внешних сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
