Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для гибкиε i = 1.15 εθ . Таким образом, при гибке накопленная деформация сдвигапропорциональна тангенциальным деформациям. Тогда зона разрушенийопределяется максимальным значением εθ и схемой напряженногосостояния. Если пренебречь зоной немонотонной деформации и считатьρ н = ρ c = 0.5(R + r ) = r + 0.5s , то максимальные деформации с точностью дознака будут равны на внутреннем и внешнем радиусах:(r + s ) − (r + 0.5s ) = sRεθR =−1=ρcr + 0.5s2r + srr − (r + 0.5s )sεθr ==−−1=ρcr + 0.5s2r + sИз приведенных формул видно, что максимальная величинадеформации εθ max = ±1 при r = 0 .
Таким образом, тангенциальнаядеформация при гибке – деформация 2-го рода.Поскольку на внешней поверхности напряженное состояниехарактеризуется двумя растягивающим напряжениями σ z ,σ θ и однимсжимающим σ ρ , а на внутреннем слое все три напряжения сжимающие(всестороннее неравномерное сжатие), то пластичность материала навнешнем слое меньше, следовательно, там и появится первая трещина.Величина допустимой деформации наружного слоя приближенносоответствует величине максимальной деформации при испытании нарастяжение ψ p .Тогда:1=ψ p⎛r⎞+12⎜ ⎟⎝ s ⎠minПосле несложных преобразований получаем1 −ψ p⎛r⎞=,⎜ ⎟2ψ p⎝ s ⎠minεθ max =226F0 − Fmin- относительное сужение в момент разрушения приF0испытании на растяжение.Из формулы видно, что чем пластичнее металл, т.е. чем большеотносительное сужение, тем меньше может быть принят внутренний радиус вучастке изгиба (радиус пуансона).
При ψ = 0 (хрупкий металл) изгибневозможен (), а при ψ = 1 (абсолютно пластичный материал) теоретическиможно осуществлять гибку на нулевой радиус.где ψ p =4.3.22Пружинение при гибке. Остаточныенапряжения и деформацииПри снятии внешних деформирующих сил возникают деформацииразгрузки, которые изменяют угол изгиба, полученный при пластическойдеформации.
Это явление называется пружинением. Пружинение происходитиз-за того, что всякая пластическая деформация сопровождается упругойдеформацией. При разгрузке слои заготовки, находящиеся в зонетангенциального растяжения, укорачиваются, а слои, находящиеся впроцессе деформирования в зоне сжатия, удлиняются. В результатевозникает изгибающий момент разгрузки, направленный в сторону,противоположную моменту при нагрузке.Если тело при нагружении испытывало неоднородную деформацию, (апри гибке деформация неоднородна – в зоне растяжения материальныеволокна растягиваются, а в зоне сжатия – сжимаются) то при разгрузке в немвозникнут остаточные напряжения. Когда остаточные напряженияуравновесятся, процесс разгрузки прекратится.Для анализа пружинения воспользуемся теоремой о разгрузкеИльюшина.
Согласно этой теореме связь между напряжением идеформациями при разгрузке подчиняется закону Гука. Величина остаточныхнапряжений равна разности между напряжениями, действующими внагруженном теле и фиктивными напряжениями, которые возникли бы в телепри том же внешнем силовом воздействии, но при условии только упругогодеформирования.Рассмотрим пружинение при гибке моментом широкой полосы наотносительно большой радиус.
В этом случае влиянием напряжений σ ρ напроцесс деформирования можно пренебречь. Будем считать модельматериала идеальной жестко-пластической. Для упрощения вычисленийкоэффициент Лоде в формуле для определения изгибающего моментапримем равным 1. Условие равенства момента пластического изгиба безупрочнения и фиктивного момента упругих деформаций будет иметь вид:σ s s 2bσ ' bs 2= σ 'W =,M=64где b - ширина полосы, W - момент сопротивления изгибу, σ ' - фиктивныенапряжения, действующие во внешних слоях при упругом нагружении.227Тогда σ '= 1.5σ s , а распределение остаточных напряжений по толщинематериала:2yy⎞⎛σ ост = σ s − σ у = σ s − σ ' = σ s ⎜1 − 3 ⎟ss⎠⎝Здесь σ y - фиктивное напряжение, действующее на расстоянии y отсрединной поверхности.σ'σs/2σsσyysσостРазгрузка происходит в условиях упругого деформирования,следовательно, угол пружинения можно определить по известной формулесопротивления материалов для изгиба моментом:Mlθ== ∆αEIВ нашем случае момент инерции поперечного сечения относительноσ s s 2bbs 3, длина нейтрального слоя всрединной поверхности I =, M=124поперечном сечении l = ρ cα (здесь α - угол, на который изогнуластьзаготовка после пластической деформации).
E - модуль упругости 1-го рода.Тогда:⎛ σ s s 2b ⎞ρα⎜4 ⎟⎠ cσ s ρc⎝=3α∆α =3Es⎞⎛E ⎜ bs⎟⎝ 12 ⎠4.4. Энергетические методы решения.Изученный нами инженерный метод в своей математической основебазировался на совместном решении уравнений равновесия и условийпластичности с использованием различных упрощающих допущений.Целый ряд методов, относящихся к группе энергетических, основанына законе сохранения энергии и экстремальных и вариационных теоремахтеориипластичности.Этоосновноеэнергетическоеуравнение,кинематическая теорема (теорема о верхней оценке), принцип минимумаполной мощности.Основное достоинство энергетических методов – возможностьполучения решения, минуя интегрирование дифференциальных уравнений228равновесия.
Это очень важно, поскольку без применения упрощающихдопущений технологические задачи обработки давлением приводят кнеобходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений вчастных производных.Общийподходвэнергетическихметодахиспользованиекинематически возможного поля скоростей или перемещений материальныхчастиц для определения деформированного и напряженного состояний. Подкинематически возможным полем понимают такое поле скоростей(перемещений), которое удовлетворяет граничным условиям и условиямнеразрывности.Наиболее простые аналитические зависимости могут быть полученыпри следующих допущениях:Деформируемый материал однороден и изотропен. Модельматериала – жестко-пластическая.Справедливы физические уравнения деформационной теории3 εiпластичности в виде, предложенным А.А.Ильюшиным ε ij =sij2σiили теории течения в виде уравнений Сен-Венана – Леви – Мизеса3 εiε ij =sij2σiВ кинематически возможном поле перемещений (скоростей)допускается разрывы касательных к поверхностям разрывакомпонент, если сохраняется непрерывность нормальных кповерхностям разрыва компонент полей.Силы контактного трения не зависят от нормальных напряжений иопределяются законом трения Прандля-Зибеля.Температурные напряжения и деформации, а также силы инерциисчитают пренебрежимо малыми.Основноеэнергетическоеуравнениесправедливодлякинематически возможного поля скоростей.4.5.
Метод баланса работ (мощностей).4.5.1 Общие положения метода баланса работ (мощностей).Метод баланса работ применяли многие исследователи, в том числе,например С.Н.Петров (1914), Э.Зибель и А.Ф.Головин (30-е годы XX-го века)и др. Изначально использовали простейшую запись основногоэнергетического уравнения в виде уравнения баланса работAp = Aσ + Aτ(здесь Ap - работа активных внешних сил, Aσ - работа сил сопротивлениядеформации, Aτ - работа сил трения на контактных поверхностях), идостаточно простые поля перемещений.
Работа трения бралаВ настоящее время большее распространение получили решения,основанные на разрывных полях скоростей и использовании основного229энергетического уравнения в виде баланса мощностей. Иногда этот методназывают методом баланса мощностей, хотя принципиальных различий сметодом баланса работ он не имеет.Метод баланса мощностей основан на использовании основногоэнергетического уравнения.W p = Wσ + Wτ + WkЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Мощность внешних сил, в том случае, когда действуетсосредоточенная внешняя сила P , приложенная к инструменту (например, кпуансону), движущемуся с постоянной скоростью v0 , определяется как:W p = Pv0 = qFП v0 ,где q - удельная сила, FП - площадь пуансона.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ijε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля действительного поля скоростей справедливо равенство:σ ij ε ij = σ ιεiДействительно, воспользуемся уравнениями Сен-Венана – Леви –Мизеса:3 εi3 εi(σ ij − σ cp )ε ij =sij =2σi2σiВ главных площадках:3 εi(σ 1 − σ cp ) = 3 ε i ⎛⎜σ 1 − σ 1 + σ 2 + σ 3 ⎞⎟ = ε i ⎛⎜σ 1 − σ 2 + σ 3 ⎞⎟;ε1 =2σi2σi ⎝32 ⎠⎠ σi ⎝ε ⎛σ +σ3 ⎞ε ⎛σ +σ2 ⎞ε 2 = i ⎜σ 2 − 1⎟; ε 3 = i ⎜ σ 3 − 1⎟;σi ⎝σi ⎝2 ⎠2 ⎠Дальнейшие преобразования:εi 2(σ 1 + σ 22 + σ 32 − σ 1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ 1 ) =σi1 εi(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = ε i σ i2 = σ iε i=2σiσiСогласно энергетическому условию пластичности σ i = σ s .
Если телосчитать идеально жестко-пластическим (без упрочнения), то σ s = const .σ ij ε ij = σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 =[]Мощность сил трения на контакте с инструментом:Wτ = ∫ τ k ∆vτ dffτ230Здесь τ k - удельные контактные силы трения, определяемые по законуПрандля-Зибеля, ∆vτ - величина скорости относительного скольжения наконтактных поверхностях, fτ - площадь контакта с инструментом. Дляжестко-пластического тела интеграл может быть преобразован к виду:Wτ = ∫ τ k ∆vτ df = µ sσ s ∫ ∆vτ dffτfτВ выражении для мощности сдвига по поверхностям f l разрываскоростей обычно полагают, что величина касательного напряжения наповерхности разрыва равна максимально возможному значению τ l = k =σs3.Тогда:Wk = ∫ τ l ∆vτ l df = k ∫ ∆vτ l dfflflЗдесь ∆vτl - разрыв скоростей. Напомним, что разрыв могутпретерпевать только касательные составляющие скоростей к любойповерхности.Окончательно:⎞1⎛P = ⎜ σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ ∆vτ df + k ∫ ∆vτ l df ⎟v0 ⎜ V⎟fτfl⎝⎠Если заменить поле скоростей полем перемещений, то основноеэнергетическое уравнение примет вид, в котором баланс мощностейзаменится на баланс работ:P ⋅ ∆h = σ s ∫ ε i dV + µ sσ s ∫ ∆uτ df + k ∫ ∆uτ l dfVfτflЗдесь ∆h - малое приращение перемещения деформирующегоинструмента, ε i - интенсивность деформаций, ∆uτ - относительноеперемещение материальных частиц деформируемого тела вдоль контактныхповерхностей инструмента, ∆uτ l - разрыв поля перемещений вдольповерхностей разрыва.Последовательность шагов при использовании метода баланса работследующая:Выделяют очаг пластической деформации.Задаютсякинематическивозможнымполемскоростей(перемещений) внутри очага пластических деформаций.Вычисляют компоненты тензора скоростей деформаций (тензорадеформаций) и определяют интенсивность деформаций, величиныскоростей (перемещений) на контактных поверхностях и величиныразрывов скоростей (перемещений) на поверхностях разрыва.Составляют уравнение баланса мощностей (работ) и определяютзначение деформирующей силы.231Отличительной особенность метода баланса работ (мощностей)является то, что кинематически возможное поле скоростей (перемещений)фактически считают действительным и не пытаются улучшить решениепутем варьирования поля.4.5.2 Решение задачи осадки цилиндрического образца с помощьюметода баланса работ.В качестве примера рассмотрим уже решавшуюся нами задачуопределения удельной деформирующей силы при осадке цилиндрическогообразца.Допущения при решении задачи: материал – жестко-пластический,контактное трение – постоянно по всей контактной поверхности, придеформации пренебрегаем бочкообразностью.Пусть заготовка под действием внешней силы P сдеформировалась навеличину ∆h .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
