Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Известно, что среднее геометрическое всегда меньшесреднего арифметического. Таким образом, нейтральная поверхностьнапряжений лежит всегда ближе к внутреннему радиусу, чем срединнаяповерхность.С уменьшением радиуса внутренней поверхности радиус нейтральнойповерхности напряжений стремится к радиусу внутренней поверхности, апри увеличении радиуса внутренней поверхности – к радиусу срединнойповерхности.Соотношение между радиусом нейтральной поверхности напряжений идеформаций зависит от изменения толщины заготовки. Расчеты,выполненные Е.А.Поповым, показывают, что изменение толщины заготовкипри относительных радиусах изгибаr>2s0не превышают 1%.Таким образом, радиус нейтральной поверхности деформацийнезначительно отличается от радиуса срединной поверхности.Окончательно:ρc > ρ нε > ρ нσМаксимальное радиальное напряжение возникает на нейтральнойповерхности напряжений:RRRsσ ρ max = − βσ s ln= − βσ s ln= − βσ s ln= − βσ s ln 1 +ρ нσrrRrПолученная зависимость показывает, что чем меньше относительныйрадиус изгиба, тем больше значение радиальных напряжений.2190,5-σρmax/σs0,40,30,20,1r/s0051015При r / s > 5 максимальная величина радиального напряжения непревышает 10% от напряжения текучести, а при r / s > 10 влияниемрадиального напряжения можно пренебречь, и считать, что справедливалинейная схема напряженного состояния.

Для этого случая σ θ = βσ s , анейтральная поверхность напряжений совпадаетс нейтральнойповерхностью деформаций и проходит через срединную поверхностьзаготовки.Эпюры напряжений будут иметь вид:βσsβσssσθσθσρσθ−βσsrρнρcRРасчеты выполнены по полученным формулам для r / s > 5 при r = s .4.3.19Изгибающиймоментом широкой заготовкимоментпригибкеОпределим изгибающий момент для случая, когда радиальныминапряжениями можно пренебречь:R+r.ρн = ρc =2Тогда момент, необходимый для гибки заготовки единичной ширины:220RρнRrrρнM = ∫ σ θ ρdρ =∫ (− βσ s )ρdρ + ∫ (βσ s )ρdρПосле интегрирования получим:M = βσ sr2− ρ н2 −20 .5 s22(R − ρ н )(R +ρн + R= βσ s0 .5 sρ н ) − ( ρ н − r )( ρ н + r )2=ss2= βσ s (R − r ) = βσ s44Эта формула справедлива и при изгибе без упрочнения наотносительно большой радиус, в чем можно убедиться, выполнивинтегрирование:RρнR⎛R⎞s2ρ⎞⎛M = ∫ σ θ ρdρ = ∫ (− βσ s )⎜1 + ln ⎟ ρdρ + ∫ (βσ s )⎜⎜1 − ln ⎟⎟ ρdρ = βσ sr⎠4ρ⎠⎝⎝ρнrrПриведенные выше решения справедливы для постоянной толщинызаготовки.

В действительности толщина заготовки в очаге деформацийуменьшается за счет сжимающих радиальных напряжений. Особенно этозаметно при гибки на относительно малый радиус r / s < 2 .Кроме того, в решении не учитывали упругие деформации вблизинейтральной поверхности деформаций. В этой, незначительной по размерам,зоне тангенциальные напряжения будут менять знак по линейному закону.4.3.20широкой полосы.Учет упрочнения при гибке моментомПолученное ранее решение не учитывает упрочнение заготовки и,следовательно, пригодно в большей мере для гибки в условиях горячейдеформации. При холодной штамповке влияние упрочнения велико, поэтомупроведем анализ гибки моментом с учетом упрочнения.Сделаем следующие дополнительные допущения:Пренебрегаем зоной немонотонной деформации.Считаем, что материал заготовки одинаково упрочняется прирастяжении и сжатии (изотропное упрочнение).Используем для учета упрочнения линейную аппроксимациюкривой упрочнения в координатах напряжение – логарифмическая(истинная) деформация.Нейтральные поверхности напряжений и деформаций совпадают.Первое допущение необходимо для того, чтобы не учитывать эффектБаушингера54 в зоне немонотонной деформации.

Зона немонотоннойдеформации даже при гибке на малый радиус r = s составляет менее 10% оттолщины заготовки.54Уменьшение предела текучести предварительно нагруженного образца припоследующем нагружении его деформацией обратного знака.221Для того, чтобы выяснить необходимость третьего допущения,определим интенсивность деформаций для случая гибки моментом. Пригибке моментом имеет место простое нагружение, поскольку зонойнемонотонной деформации мы пренебрегаем. В этом случае правомерноиспользоватьдеформационнуютеориюпластичности.Согласнодеформационной теории пластичности оси главных напряжений идеформаций коллинеарны.

Следовательно, деформации ε θ , ε ρ , ε z - главные.Тогда:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε z − ε ρ )2 =εi =32(− εθ − εθ )2 + (εθ − 0)2 + (0 + εθ )2 = 2 6εθ = 2 εθ=333Таким образом упрочняющий эффект тангенциальных деформаций пригибке с точностью до 15% эквивалентен упрочняющему эффектуинтенсивности деформаций.Ранее мы показали, чтоεθ =ρ−1ρнУпрочнение согласно гипотезе единой кривой зависит от накопленнойпластической деформации. При монотонной деформации (гибка моментомпроисходит при монотонной деформации) накопленная пластическаядеформация пропорциональна логарифмической деформации.

Е.А.Поповпредложил использовать в качестве меры упрочнения логарифмическуюдеформацию δ θ .δ θ = ln(1 + εθ ) = lnρρнТангенциальная логарифмическая деформация в зоне растяженияположительна, а в зоне сжатия отрицательна. Таким образом, с учетом 2-годопущения об одинаковом упрочнении материала при растяжении и сжатииможно использовать единый закон упрочнения:σ s = σ s 0 + Πδ θ , где П – модуль упрочнения.Тогда:для зоны растяжения ( εθ > 0 ): σ s = σ s 0 + Π lnдля зоны сжатия ( εθ < 0 ): σ s = σ s 0 − Π lnρ;ρнρ;ρнТогда условие пластичности иметь вид:для зоны растяжения:σ θ − σ ρ = βσ s = β (σ s 0 + Πδ θ )для зоны сжатия:σ θ − σ ρ = − βσ s = − β (σ s 0 − Πδ θ ) .222Знак перед коэффициентом Лоде обсуждался ранее при анализе гибкибез упрочнения, а знак перед показателем упрочнения необходимо ввести взоне сжатия, поскольку там знак δθ < 0 .Воспользуемся тем же уравнением равновесия, что и при анализе гибкибез упрочнения:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρТогда для зоны растяжения имеем:⎛dρln ρρ ⎞ dρ⎟⎟dσ ρ = β ⎜⎜ σ s 0 + Π ln= β (σ s 0 − Π ln ρ н )+ βΠdρρρρρн⎠⎝Интегрируя, получим:ln 2 ρ+C2Произвольную постоянную определим из граничных условий:σρ= 0 , тогдаσ ρ = β (σ s 0 − Π ln ρ н )ln ρ + βΠρ =Rln 2 RC = − β (σ s 0 − Π ln ρ н )ln R − βΠ, подставив которую придем к:2βΠ 2σ ρ = β (σ s 0 − Π ln ρ н )(ln ρ − ln R ) +ln ρ − ln 2 R =2Π⎛⎞ ρ= β ⎜ σ s 0 − Π ln ρ н + ln ρR ⎟ ln =2⎝⎠ R()ΠΠ⎛⎞ ρ= β ⎜ σ s 0 − ln ρ н2 + ln ρR ⎟ ln =22⎝⎠ R⎛⎛Π ρR ⎞⎟ ρΠ ρR ⎞⎟ R= β ⎜ σ s 0 + lnln = − β ⎜ σ s 0 + lnln2⎟ R2⎟ ρ⎜⎜22ρρн⎠н⎠⎝⎝Для зоны сжатия:⎛dρln ρρ ⎞ dρ⎟⎟dσ ρ = − β ⎜⎜ σ s 0 − Π ln= − β (σ s 0 + Π ln ρ н )+ βΠdρρρρн ⎠ ρ⎝Интегрируя, получим:ln 2 ρσ ρ = − β (σ s 0 + Π ln ρ н )ln ρ + βΠ+C2Произвольную постоянную определим из граничных условий:σρ= 0 , тогдаρ =rC = β (σ s 0 + Π ln ρ н )ln r − βΠln 2 r, подставив которую придем к:2223σ ρ = − β (σ s 0 + Π ln ρ н )(ln ρ − ln r ) +(ln 2 ρ − ln 2 r ) =2βΠΠ⎛⎞ ρ= − β ⎜ σ s 0 + Π ln ρ н − ln ρr ⎟ ln =2⎝⎠ rΠΠ⎛⎞ ρ= − β ⎜ σ s 0 + ln ρ н2 − ln ρR ⎟ ln =22⎝⎠ r⎛Π ρ н2 ⎞⎟ ρ⎜= − β σ s 0 + lnln⎜⎟ rρr2⎝⎠Величину радиуса нейтральной поверхности определим исходя изравенства радиальных напряжений на границе зон растяжения и сжатия:⎛⎛Π ρR ⎞⎟ RΠ ρ н2 ⎞⎟ ρ⎜⎜− β σ s 0 + ln= − β σ s 0 + lnlnln2 ⎟ ρ ρ=ρ⎜⎜⎟ρ=ρr22ρρн ⎠нн⎝⎝⎠ r⎛⎛Π ρ н2 ⎞⎟ ρ нΠ ρ н R ⎞⎟ R⎜⎜lnln= − β σ s 0 + ln− β σ s 0 + ln2 ⎟ ρ⎟ r⎜⎜ρr22ρннн ⎠⎠⎝⎝⎛ Rρ ⎞ Π⎛ρ ⎞R− ln н ⎟⎟ + ⎜⎜ ln 2− ln 2 н ⎟⎟ = 0σ s 0 ⎜⎜ lnr ⎠ 2⎝r ⎠ρн⎝ ρн⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎢σ + Π ⎛⎜ ln R + ln ρ н ⎞⎟⎥⎛⎜ ln R − ln ρ н ⎞⎟ = 0⎢ s 0 2 ⎜⎝ ρ нr ⎟⎠⎥⎜⎝ ρ нr ⎟⎠⎥⎢RRr⎥⎢lnln 2⎥⎢⎣⎦rρнВыражение в квадратных скобках всегда положительно, поэтомуRrln= 0 , откуда ρ н = Rr .ρ н2Таким образом, при учете упрочнения радиус нейтральнойповерхности можно определить по той же формуле, что и для гибки безупрочнения.

С учетом полученного выражения для радиуса нейтральнойповерхности формулы для радиальных напряжений преобразуются к виду:для зоны растяжения:Π ρ⎞ R⎛σ ρ = − β ⎜ σ s 0 + ln ⎟ ln2 r⎠ ρ⎝для зоны сжатия:⎛Π R⎞ ρσ ρ = − β ⎜⎜ σ s 0 + ln ⎟⎟ ln2 ρ⎠ r⎝224Выражения для тангенциальных напряжений определим из условияпластичности:для зоны растяжения:⎛ρ ⎞σ θ = σ ρ + β ⎜⎜ σ s 0 + Π ln ⎟⎟ρн ⎠⎝Π ρ⎞ Rρ ⎞⎛⎛σ θ = − β ⎜ σ s 0 + ln ⎟ ln + β ⎜ σ s 0 + Π ln⎟=2 r⎠ ρRr ⎠⎝⎝⎡⎛R⎞ Π⎛ρρ R ⎞⎤= β ⎢σ s 0 ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ln− ln ln ⎟⎟⎥ =r ρ ⎠⎦ρ⎠ 2⎝Rr⎝⎣⎡⎛R ⎞ Π ⎛⎜ ρ 2ρ ρ ⎞⎟⎤= β ⎢σ s 0 ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ ++ ln ln ⎥lnr R ⎟⎠⎥ρ ⎠ 2 ⎜⎝ Rr⎢⎣⎝⎦для зоны сжатия:⎛ρ ⎞σ θ = σ ρ − β ⎜⎜ σ s 0 − Π ln ⎟⎟ρн ⎠⎝⎛Π R⎞ ρρ ⎞⎛σ θ = − β ⎜⎜ σ s 0 + ln ⎟⎟ ln − β ⎜ σ s 0 − Π ln⎟=2 ρ⎠ rRr ⎠⎝⎝⎡ρ⎞ Π⎛ρρ R ⎞⎤⎛− ln ln ⎟⎟⎥ == − β ⎢σ s 0 ⎜1 + ln ⎟ − ⎜⎜ 2 lnr⎠ 2⎝r ρ ⎠⎦Rr⎝⎣⎡ρ ⎞ Π⎛ ρ2ρ ρ ⎞⎤⎛= − β ⎢σ s 0 ⎜1 + ln ⎟ − ⎜ ln+ ln ln ⎟⎥r ⎠ 2 ⎜⎝ Rrr R ⎟⎠⎥⎝⎢⎣⎦Естественно, что при Π = 0 выражения для напряжений приводятся квиду, полученному ранее без учета упрочнения.

Эпюры напряжений с учетомупрочнения примут вид (в расчетах Π = 5σ s ):β[σs+Пln(R/ρн)]σθσρsσθσθρн ρс2254.3.21Минимальнаявнутреннего радиуса изгиба.допустимаявеличинаМинимально допустимая величина внутреннего радиуса изгибаограничивается отсутствием разрушения. При изгибе трещины появляютсяна внешнем радиусе изогнутой заготовки.

По теории Колмогороваразрушение проявляется при достижении накопленной деформацией сдвиганекоторого предельного значения, зависящего от схемы напряженногоttсостояния. Накопленная деформация сдвига Λ = ∫0 Ηdτ = ∫0 3ε i dτ . Примонотонной деформации в первом приближении интенсивность скоростидеформации пропорциональна интенсивности деформации ε i ∝ ε i .

Характеристики

Список файлов книги