Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Иными словами – пренебрегаемокружными деформациями. Проанализируем адекватность этого допущения.Пусть:s −s∆sεs = 1 0 = −- деформация стенки стаканаs0s0H − H 0 s 0 (D0 + d )∆sεh = 1=−1 ≈- деформация в направлении высотыH0s1 (D1 + d )s1стаканаиз условия постоянства объема:π D02 − d 2 H 0 = π D12 − d 2 H 1D − D1∆s=εd = 0- деформация в окружном направленииD00.5 D0()()243Поскольку s 0 , s1 << 0.5 D0 , то ε d << ε h , ε s .

Таким образом окружнымидеформациями можно пренебречь и считать напряженное состояние –плоским деформированным.Осевые напряжения в стенке стакана определим из выражения длямощности активных внешних сил. Мощность внешних сил, действующих напуансон, запишем в следующем виде:W p = qFП v1 = σ z s1v1 × π d1Примем цилиндрическую систему координат, с началом координат вточке пересечения образующей конуса с пуансоном. Очаг деформациисчитаемограниченнымдвумядугамиокружностейрадиусами,соответственно R, r .ssR = 0 ,r = 1sin γsin γРассмотрим следующее кинематически возможное поле скоростей:в жестких зонах частицы металла двигаются с одинаковымискоростями ( v0 - в верхней жесткой зоне и v1 - в нижней жесткойзоне), направленными вдоль оси движения пуансона.

Очевидно, чтоскорость металла в нижней жесткой зоне равна скорости пуансона;в очаге пластической деформации частицы металла двигаются порадиусу в направлении точки пересечения образующих коническойматрицы с некоторой переменной скоростью vρ .Из условия постоянства объема скорость металла выше очагадеформации:sv0 = v1 1s0Определим скорость vρ в очаге деформации:ε ρ + εθ + ε z = 0ερ =∂v ρ, εθ =vρ∂ρρ∂v ρ v ρ+=0∂ρρ1 ∂(v ρ ρ ) = 0ρ ∂ρv ρ ρ = f (θ )= −ε ρ , ε z = 0Неизвестную функцию f (θ ) определим из граничных условий награнице очага пластической деформации (см. рис.). Условие непрерывноститребует, чтобы нормальные составляющие скоростей материальных точекпри переходе через границу очага деформации оставались постоянными,касательные к границе составляющие скоростей могут претерпевать разрыв,244что является причиной сдвиговых деформаций на границе очага.

В нашемслучае на границе очага ρ = r справедливо:v ρ = −v1 cosθ ;vτ = −v1 sin θЗнак "-" введен т.к. скорость течения в очаге деформации направлена вотрицательном направлении оси ρТогда:− rv1 cosθ = f (θ )Откудаrv ρ = −v1 cosθρЗапишем уравнение баланса мощностей:W`p = Wσ + Wk + WτЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Принимая гипотезу жестко пластического тела мощность пластическихдеформаций можно записать в следующем виде:Wσ = ∫ σ ij ε ij dV = σ s ∫ ε i dVVVДля вычисления интеграла необходимо определить интенсивностьскоростей деформации в очаге пластической деформации:2(ε ρ − εθ )2 + (εθ − ε z )2 + (ε z − ε ρ )2 + 3 γ ρθ2εi =32с учетом∂v ρrερ == v1 2 cosθ∂ρρvρrεθ == −v1 2 cosθρεz = 0ρ1 ∂v ρr= v1 2 sin θρ ∂θρполучимγ ρθ =22⎞⎞2 ⎛ r3⎛ rεi =6 ⎜⎜ v1 2 cosθ ⎟⎟ + ⎜⎜ v1 2 sin θ ⎟⎟ =32⎝ ρ⎝ ρ⎠⎠2r31rv1 2 6cos 2 θ + sin 2 θ =v1 2 4cos 2 θ + sin 2 θ323 ρρoПри γ < 20 сдвиговыми деформациями можно пренебречь, тогда:=24522 rεθ =v1 cosθ33 ρ2Мощность пластической деформации:εi =γR2rv1 2 cosθ × ρ d ρ dθ × 1 =3 ρ0rdVWσ = σ s ∫ ε i dV = σ s ∫ ∫Vεis2R2σ s v1r sin γ ln =σ s v1s1 ln 0rs133Мощность сил трения на поверхности инструмента складывается из силтрения по поверхности матрицы и по поверхности пуансона.

СледуяЕ.А.Попову, попытаемся учесть силы трения исходя из закона АмонтонаКулона.τ k = µσ n = µσ θВ первом приближении будем считать, что тангенциальные напряженияв очаге деформации не зависят от трения на контактных поверхностях. Тогдав очаге деформации уравнение равновесия будет иметь вид:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρУсловие пластичности:σ ρ −σθ = σ sИнтегрируя уравнение равновесия совместно с условием пластичностипри граничных условиях:σρ=0=ρ =Rполучим:σ ρ = σ s lnRρ,⎛R⎞σ θ = −σ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝тогда удельные силы трения на поверхностях пуансона и матрицы:⎛R⎞τ k = µσ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝Определим направление сил трения.Трение по матрицеrrvинстр = 0 , v матер = v1 cos γ , ∆vτ = v1 cos γρρТаким образом, трение по матрице препятствует движению материала иявляется пассивным.Трение по пуансону:⎛r⎞rrvинстр = v1 , v матер = v1 , ∆vτ = v1 − v1 = v1 ⎜⎜ − 1⎟⎟ < 0ρρ⎝ρ⎠246Таким образом, трение по пуансону помогает течению материала иявляется активным.Мощность сил трения по матрицеRWτ м = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1Fr⎛R⎞cos γ × µσ s ⎜1 − ln ⎟ × d ρ × 1 =ρρ⎠⎝dFr∆vτR⎛R ⎞ dρR⎛ 1 R⎞= µσ s v1r cos γ ∫ ⎜1 − ln ⎟= µσ s v1r cos γ ln ⎜1 − ln ⎟ =ρ⎠ ρr⎝ 2 r⎠r⎝s ⎛ 1 s ⎞s1R⎛ 1 R⎞sln ⎜1 − ln ⎟ = µσ s v1 1 ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟tan γ r ⎝ 2 r ⎠tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠RR⎛R ⎞ dρdρ⎜⎟()−1ln1lnlnρ=−+=R∫ ⎜⎝⎟ ρ ∫ρρ⎠rr1= (1 − ln R )(ln R − ln r ) + ln 2 R − ln 2 r =2R 1RR= (1 − ln R )ln + ln Rr ln = ln 1 − ln R + ln Rr =rr 2r1 RR⎛r⎞R⎟ = ln ⎛⎜1 − ln ⎞⎟= ln ⎜⎜1 + lnr⎝R ⎟⎠r⎝ 2 r⎠Мощность сил трения по пуансону= µσ s v1()()R⎛r⎞⎛R⎞Wτ п = ∫ τ k ∆vτ dF = ∫ v1 ⎜ − 1⎟ × µσ s ⎜1 − ln ⎟ × d ρ × 1 =ρ ⎠ρ⎠⎝Fr ⎝dF∆vτR⎡ R⎛⎛R ⎞ dρR⎞ ⎤= µσ s v1 ⎢ r ∫ ⎜1 − ln ⎟− ∫ ⎜ 1 − ln ⎟ d ρ ⎥ =ρ⎠ ρ r⎝ρ⎠ ⎥⎢⎣ r ⎝⎦R⎛ 1 R⎞R= µσ s v1r ln ⎜1 − ln ⎟ − r ln =r⎝2 r⎠rs 1 2 s0ln= − µσ s v1 1sin γ 2s1R⎛R⎞R⎜⎟⎟dρ = [(1 − ln R )ρ + ρ ln ρ − ρ ]r =1−ln∫ ⎜⎝ρ⎠rRrМощность сил трения по пуансону имеет отрицательный знак, что ещераз подтверждает активный характер сил трения по пуансону.= (1 − ln R )(R − r ) + R ln R − R − r ln r + r = r ln247Мощность сдвига по поверхностям разрыва скоростей складывается издвух частей – мощность сдвига по верхней границе ( ρ = R ) очагапластической деформации и мощность сдвига по нижней границе очагапластической деформации ( ρ = r ).Для верхней границы разрыва:WkRσsγγσsrvRdv1r ∫ sinθ dθ == k ∫ ∆vτ dF =sin××1=θθ13∫ R3dF=F0σsγ3v1r ( − cosθ ) =00∆vσs3v1r (1 − cos γ ) =s2γσ s v1 1 sin 2 =sin γ231γσ s v1s1 tan23Выражение для мощности трения сдвига по нижней поверхностиразрыва скоростей полностью совпадает с только что полученным дляверхней поверхности.

Таким образом, суммарная мощность сил трениясдвига принимает вид:2γWk =σ s v1s1 tan23Используя уравнение баланса мощностей, окончательно получимвыражение осевых напряжений в нижней части стакана:⎡ 2ss ⎛ 1 s ⎞ 1 µs ⎤2γµσ z = σ s ⎢ ln 0 +tan +ln 0 ⎜1 − ln 0 ⎟ −ln 2 0 ⎥2 tan γ s1 ⎝ 2 s1 ⎠ 2 sin γs1 ⎦3⎣ 3 s1=Ранее мы использовали свойство малых углов γ < 20 o , тогдаокончательно:⎡ ss ⎞⎤2γ3 µ s0 ⎛σ z = σ s ⎢ln 0 + +ln ⎜1 − ln 0 ⎟ ⎥s1 ⎠ ⎦3 ⎣ s1 2 2 γ s1 ⎝Слагаемые в этом выражении отражают влияние следующих физическихпроцессов:sln 0 - работа деформации в очаге деформацииs1s ⎞3 µ s0 ⎛ln ⎜1 − ln 0 ⎟ - трение по поверхности конической матрицы и2 γ s1 ⎝s1 ⎠пуансонаγ2- трение сдвига по поверхностям разрыва скоростей.Анализ составляющих показывает, что, с увеличением угла наклонаобразующей матрицы, силы контактного трения уменьшаются, а силы трениясдвига – увеличиваются.

Это дает возможность предполагать существованиенекоторого оптимального угла, при котором удельная сила деформирования248является минимальной. Такой вывод подтверждается и экспериментальнымиисследованиями.4.5.5 Осадка прямоугольной заготовки в щелевом контейнере.Расчетная схема приведена на Рис. Заготовку, имеющую формупрямоугольного параллелепипеда с ребрами L,B,H деформируют в щелевомконтейнере. Стенки контейнера препятствуют изменению ширины заготовкиB в процессе деформации.vvyyxLzOHHτk2τk3OvyL xτk1vxτk4-vvyBВоспользуемся следующей декартовой системой координат:начало координат O поместим в середине нижнего ребра заготовки;ось x направим вдоль ребра заготовки;ось y направимвверхпротивнаправлениядвижениядеформирующего инструмента;ось z направим перпендикулярно стенке контейнера.Примем, что очаг деформации охватывает весь объем заготовки.

Впроцессе деформации материальные частицы не могут перемещаться внаправлении оси z , поэтому можно принять схему плоскогодеформированного состояния.Задачу решаем методом баланса работ (мощностей). Для определениякинематически возможного поля скоростей предположим линейноераспределение скоростей вдоль оси y. С учетом граничных условий получим:yv y = −vHЗакон изменения скорости вдоль оси x определим из условиянесжимаемости:εx + ε y + εz = 0Для плоского деформированного состояния ε z = 0 .

Зная компоненту v yполя скоростей, определим скорость деформации:249∂v yv∂yHТогда из условия несжимаемости∂vvxεx = x =→ vx = v + f ( y )∂x HHС учетом граничных условийvx x =0 = 0 → f ( y ) = 0εy ==−Окончательноxvx = vHЗапишем уравнение баланса мощностей:W`p = Wσ + Wk + WτЗдесь по-прежнему: W p - мощность внешних сил, Wσпластической деформации,Wτ- мощность- мощность трения на контакте синструментом, Wk - мощность сдвиговых деформаций на поверхностяхразрыва поля скоростей.Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.Мощность внешних сил, действующих на пуансон:W p = qFП v = qBLvМощность пластических деформаций:Wσ = σ s ∫ ε i dVVИнтенсивность скоростей деформаций в очаге пластическойдеформации определим по кинематически возможному полю скоростей.Поскольку компоненты предложенного кинематически возможного поляскоростей зависят только от соответствующих координат, то скоростидеформаций сдвига будут отсутствовать, тогда, с учетом ε x = −ε y = v Hполучим232=3Тогдаεi =(ε x − ε y ) + (ε y − ε z )222+ (ε z − ε x ) =( 2ε x )2 + (ε x )2 + (ε x )2 =2 v3H2 v2 v2dV = σ sBLH = σ svFП∫HH333VVПоскольку очаг деформации занимает весь объем заготовки, топоверхности разрыва скоростей в данном примере отсутствуют,следовательно:Wσ = σ s ∫ ε i dV = σ s250Wk = k ∫ ∆vτ l dF = 0flПри перемещении материальных частиц в процессе деформациивозникают силы трения τ k1 между заготовкой и пуансоном; τ k 2 ,τ k 3 ,τ k 4между заготовкой и контейнером.

Характеристики

Список файлов книги