Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Известнаформула взаимосвязи относительного удлинения и относительного сужения:εθ =ε=ψ1 −ψПринимая ψ = −εθ , получим:ρρ0ρ− εθ= 0 −1ε==1 + εθ 1 + ρ − 1 ρρ0dθ1−b0a0ρ0ρl0d0D0c0aDblddcДля целей оценки упрочняющего эффекта определим величину ε ,пренебрегая изменением толщины заготовки в процессе деформации. Тогдаусловие постоянства объема можно заменить условием постоянства площадиэлемента фланца abcd в процессе деформирования:dθ 2dθ 2ρ0 = R02 − R 2 + ρ 2R0 − ρ02 =R − ρ2 ⇒22Отсюда:()()ρσ s = σ B (ε + 1) = σ B 0 = σ BρR02 − R 2 + ρ 2ρD02 − D 2=σB4+ ρ2ρЭнергетическое условие пластичности примем в упрощенной форме:σ max − σ min = βσ sНапомним, что максимальное значение β = 1.155 коэффициент Лодедостигает для плоского деформированного состояния, когда среднее главное210напряжение равно полусумме крайних, минимальное β = 1 - для одноосногорастяжения и сжатия, когда среднее главное напряжение равно одному изкрайних (и равно нулю).
В данном случае напряженное состояние близко кплоскому разноименному напряженному. В одной из точек при σ ρ = σ θэтонапряженноесостояниебудетодновременноиплоскимдеформированным. Поэтому среднее значение коэффициента Лоде во фланцеможно принять равным β = 1.1.Примем условие пластичности в виде:σ ρ − σ θ = βσ s = βσ BD02 − D 2+ ρ24ρКасательные напряжения считаем пропорциональными координате z .∂τ ρz 2τ к2zτ ρz = τ к⇒=∂zssМаксимальные касательные напряжения на контакте будем считатьпропорциональными среднему контактному давлению:4Qτк = µπ D2 − d 2Тогда уравнение равновесия можно привести к виду.(dσ ρdρ+ βσ B)D02 − D 2+ ρ24+µρ2(8Qsπ D 2 − d 2)= 0AРазделяя переменные и интегрируя, получим:⎛⎞D02 − D 22⎟⎜+ρ⎜⎟4dσ ρ = −⎜ A + βσ B⎟dρ ,2ρ⎜⎟⎜⎟⎝⎠σ ρ = − Aρ − βσ B ∫D02 − D 2+ ρ24dρ + Cρ2Неопределенный интеграл можно «по частям», используя подстановку∫ udv = uv − ∫ vdu , или воспользовавшись таблицами неопределенныхинтегралов:∫a2 + b2 x2x2a2 + b2 x2dx = −+ b ln⎛⎜ bx + a 2 + b 2 x 2 ⎞⎟x⎝⎠211()В нашем случае: a 2 = 0.25 D02 − D 2 , b = 1 , тогда(D02 − D 2 ) + ρ 2()⎛⎞D02 − D 2− βσ B ln⎜ ρ ++ ρ2 ⎟ + C⎜⎟ρ4⎝⎠Произвольную постоянную определим из граничных условий нанаружном контуре: σ ρ ρ = R = 0.5 D = 0 , откудаσ ρ = − Aρ + βσ BDC = A − βσ B24(D02 − D 2 ) + D 24⎛4 + βσ ln⎜ D +B ⎜2⎝D2(D02 − D 2 )+ D 2 ⎞⎟ =⎟⎠4DD⎛ D + D0 ⎞− βσ B 0 + βσ B ln⎜⎟2D⎝ 2 ⎠Окончательно:8Q⎛D⎞− ρ⎟ +σρ =µ⎜⎠sπ D 2 − d 2 ⎝ 2=A()⎛D02 − D 2 D0D + D0⎜+ βσ B ⎜ 1 +−+ lnD⎜4ρ 22 ρ + D02 − D 2 + 4 ρ 02⎝Тангенциальное напряжение может быть найденопластичности:σ θ = σ ρ − βσ s = σ ρ − βσ B⎞⎟⎟⎟⎠изусловияD02 − D 2+ ρ24ρПредельный коэффициент вытяжки получим, приравняв напряжения встенке стакана предельному значению:σ z = σ s 0 = σ ρ maxПри линейной аппроксимации кривой упрочнения 1-го родаσ s0 = σ BКоэффициент Лоде вблизи внутренней поверхности ( ρ = 0.5d ) близокединице.Максимальное радиальное напряжение:4Qσ ρ max = σ ρ ρ =0,5d = µ(D − d ) +22sπ D − d()⎛D02 − D 2 D0D + D0⎜+σ B 1 +−+ ln⎜Dd2d + D02 − D 2 + d 2⎝⎞⎟⎟⎠212Предельный коэффициент вытяжки определяют для начальногомомента вытяжки, когда D = D0 , тогда формула существенно упрощается:⎛⎞⎜⎟⎜⎟D02 − D02 D0D0 + D0q⎜⎟=−+ lnσ B = µ ( D0 − d ) + σ B 1 +⎜⎟sD0d2d + D02 − D02 + d 2 ⎟⎜1⎜⎟D0⎜⎟d⎝⎠Dq= µ ( D0 − d ) + σ B ln 0sdОкончательно:µ q kпр − 1 dln kпр = 1 −sσ BПолученное уравнение решается численно, либо графически.Очевидно, что при отсутствии прижима q = 0 получим k пр = e .(3)kq⋅dσB s=1223100.10.20.3µСила деформирования рассчитывается как произведение напряжения встенке стакана на площадь стенки стакана:P = πdsσ ρ max4.3.16Деформированное состояние при гибкемоментом широкой заготовкиГибкой называется формоизменяющая операция, при которойпроисходит изменение кривизны срединной поверхности в одной плоскости,а кривизна заготовки в плоскостях, перпендикулярных плоскости изгиба,остается практически неизменной или изменяется незначительно.В общем случае гибку при штамповке осуществляют одновременнымдействием изгибающих моментов, продольных и перерезывающих сил.213Гибка моментомГибка силойГибка с растяжением Гибка со сжатиемГибка моментом является простейшим, идеализированным случаемгибки.
Однако его анализ позволяет выяснить механизм деформированиязаготовки, рассмотреть основные понятия.Рассмотрим гибку моментом широкой полосы, такой, что ее ширина Bпо крайней мере в 10 раз больше толщины s : B s > 10 . В этом случаедеформацией в направлении ширины заготовки (в плоскости,перпендикулярной плоскости гибки) можно пренебречь и напряженнодеформированное состояние считать плоским деформированным.Для гибки моментом справедливы две гипотезы, находящиеэкспериментальное подтверждение:Гипотеза плоских сечений, согласно которой, сечения, перпендикулярныесрединнойповерхностизаготовкидодеформацииостаются52перпендикулярными ей и после деформации .Кривизна срединной поверхности постоянна.Физически эти две гипотезы означают, что любые материальные слои,параллельные поверхности заготовки до деформации, после деформацииимеют форму дуги окружности.
Тогда радиус срединной поверхности:R+rρc =2где R, r - радиусы соответственно наружной и внутренней поверхностизаготовки при гибке.Используем для анализа процесса гибки цилиндрическую системукоординат, в которой ось z направим перпендикулярно плоскости гибки(вдоль ширины заготовки), а начало координат совместим с центромкривизны заготовки.Введем понятие нейтральной поверхности деформаций. Поднейтральной поверхностью деформаций будем понимать поверхность,проходящую через материальный слой не испытывающий ни удлинения, ниукорочения в тангенциальном направлении. Обозначим через ρ нε - радиускривизны нейтральной поверхности деформаций.Деформированное состояние заготовки определяется радиальными ε ρ ,тангенциальными εθ и осевыми ε z деформациями.Осевые деформации равны нулю, поскольку принята гипотеза плоскойдеформации.52Под срединной поверхностью понимают поверхность, проведенную черезсредину сечения заготовки.214Тангенциальные деформации:l − l0 ρθ − ρ нεθρεθ ===−1ρ нεθρнl0Таким образом, при ρ > ρ нε εθ > 0 - материальные слои удлиняются втангенциальном направлении, а при ρ < ρ нε εθ < 0 - материальные слоиукорачиваются.Из закона постоянства объема при ε z = 0 следует, что ε ρ = −εθ .Поэтому во внешних слоях заготовки ε ρ < 0 , а во внутренних - ε ρ > 0 .Зона растяженияεσρεθρσθεθσzσzερσρBAσθl0RMερεθsDCθρнεMρcσρσθεθερrЗона сжатияσzσzσθσρЧасть материальных слоев заготовки, которая получает удлинение втангенциальном направлении, носит название зоны растяжения.Материальные слои, претерпевающие сжатие в тангенциальном направленииназывают зоной сжатия.Радиус кривизны нейтральной поверхности деформаций можноопределить из следующих соображений.
Поскольку ε z = 0 , то площадьлюбого элемента заготовки в плоскости, перпендикулярной оси z постояннадо и после деформации. Площадь элемента ABCD Fθ = 0.5θ R 2 − r 2 .Площадь того же элемента до деформации: Fθ 0 = s0l0 = s0 ρ нεθ (здесь s0 начальная толщина заготовки). Приравнивая эти две величины, получим:R 2 − r 2 ( R + r )( R − r ) R + r ssρ нε ===× = ρc2 s02 s02s0s0Толщина заготовки при гибке уменьшается, поэтому радиуснейтрального слоя деформаций в общем случае меньше радиуса серединнойповерхности, который определяется соотношением:()215s ≤ s0 ;ρ нε ≤ ρcr> 5 толщина заготовки практическиs0не изменяется, следовательно, в этом случае ρ нε ≈ ρc .Нейтральная поверхность деформаций – это не физическаяповерхность (связанная с одним материальным слоем), а геометрическаяповерхность, которая в каждый данный момент времени занимает новоеположение и проходит по новым материальным слоям заготовки.
Вначальный момент гибки она совпадает со срединной поверхностью, а затем,с уменьшением внутреннего радиуса смещается в сторону внутренних слоев.Таким образом, при гибке всегда есть зона немонотонной деформации –материальные слои, которые в начальный момент находились в зоне сжатия,а затем по мере уменьшения внутреннего радиуса, сместились в зонурастяжения.При гибке на большой радиус4.3.17Напряженное состояние при гибкемоментом широкой заготовки (решение без учета упрочнения)Напряженное состояние для зон растяжения и сжатия различаетсямежду собой. Радиальные напряжения σ ρ во всех зонах сжимающие из-завзаимногонадавливанияматериальныхслоев.Изуравненийдеформационной теории пластичности для плоского деформированногосостояния следует:для зоны растяжения: εθ > 0 ⇒ σ θ > σ ρ ,для зоны сжатия: εθ < 0 ⇒ σ θ < σ ρ .Второе условие при σ ρ < 0 дает в зоне сжатия σ θ < 0 .
Для зонырастяжения однозначного вывода о знаке тангенциального напряжениясделать на основании знака деформации нельзя, однако в дальнейшем будетпоказано, что для зоны растяжения σ θ > 0Для плоского деформированного состоянияσ + σθ.σz = ρ2r> 5 справедливоДля гибки на относительно большой радиусs0σ ρ < σθ. Поэтому знак напряжения σ θ для зоны растяжения определяет53знак напряжения σ z .Касательные напряженияотсутствуют:всхеменапряженногосостояния53В теории упругости принимают гипотезу о не надавливании слоев, т.е.σρ =0216Поскольку принята схема плоского деформированного состояния, тоτ zρ = τ zθ = 0 .Перерезывающих сил при гибке моментом нет, поэтому τ ρθ = τθρ = 0 .Таким образом, в принятой схеме напряженно-деформированногосостояния напряжения координатные оси являются главными.
Главнымиявляются и напряжения в координатных площадках: σ ρ ,σ θ ,σ z .Уравнение равновесия:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρПредположим, что весь деформируемый объем заготовки находится впластическом состоянии, т.е. зоной упругих деформаций пренебрегаем.В первом приближении будем анализировать пластический изгиб безучета влияния упрочнения. Энергетическое условие пластичности вупрощенном виде:σ11 − σ 33 = βσ s ,Здесь β - коэффициент Лоде (для плоского деформированногосостояния β = 1.155 ). Для плоского деформированного состояния σ z = σ 22 ,поэтому σ 11,σ 33 для нашего случая принимают значения либо σ ρ , либо σ θ .Исследуем вид условия пластичности в различных зонах. Для зонырастяжения σ θ > σ ρ . Следовательно, σ θ > σ z > σ ρ и для зоны растяжениясправедливо: σ θ = σ 11 , σ ρ = σ 33 .
В этом случае условие пластичностипринимает вид:σ θ − σ ρ = βσ sДля зоны сжатия: σ θ < σ ρ , следовательно σ θ < σ z < σ ρ , и для зонысжатия σ θ = σ 33 , σ ρ = σ11 . В этом случае условие пластичности принимаетвид:σ ρ − σ θ = βσ sРешаем совместно уравнение равновесия с условием пластичностираздельно для каждой зоны.Для зоны растяжения:− βσ sdσ ρ+σ ρ − σθdρ= 0 , или dσ ρ = βσ sρρdρОткудаσ ρ = βσ s ln ρ + CГраничные условия: σ ρσ ρ = βσ s lnρRρ =R= 0 , тогда C = − βσ s ln R .
Окончательно:, или σ ρ = − βσ s lnRρ,217с учетом условия пластичности σ θ − σ ρ = βσ s⎛R⎞σ θ = βσ s ⎜⎜1 − ln ⎟⎟ρ⎠⎝Для зоны сжатия уравнение равновесия будет иметь вид:dσ ρ βσ s+=0dρρЕго решение с учетом граничных условий σ ρ= 0 дает:ρ =rρ⎞⎛, σ θ = − βσ s ⎜1 + ln ⎟rr⎠⎝Из анализа формул для обеих зон видно, что радиальные напряженияотрицательны во всех зонах, а тангенциальные меняют знак. Введем понятиенейтральной поверхности напряжений – поверхности радиусом ρнσ , накоторой тангенциальные напряжения меняют знак – и определим положениенейтральной поверхности напряжений.
Для этой поверхности напряженияσ ρ должны быть равны как по формулам для зоны растяжения, так и поσ ρ = − βσ s lnρформулам для зоны сжатия.ρRσρ= − βσ s ln= − βσ s ln нσρ нσrρ=ρнσотсюда радиус нейтральной поверхности напряженийρ нσ = RrЭта формула впервые получена И.П.Ренне и Р.Хиллом.βσsσθσρsσθ−βσsrρнσ ρcR4.3.18Влияниеотносительногорадиусаизгиба на величину радиальных напряжений и взаимноеположение характерных поверхностей.Рассмотрим взаимное положение характерных поверхностей при гибкемоментом. Сведем полученные ранее формулы в общую таблицуR+rρc =Срединная поверхность2218Нейтральная поверхность деформацийρ нε =R+r s×2s0Нейтральная поверхность напряженийρ нσ = RrРанее мы показали, что радиус нейтральной поверхности деформацийменьше радиуса срединной поверхности. Нейтральная поверхностьнапряжений представляет собой среднее геометрическое радиусоввнутренней и внешней поверхности, а срединная поверхности – среднееарифметическое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
