Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Поэтому третье слагаемое вуравнении равновесия равно нулю.Перейдем от частных производных к общим. Интегральное выражение∂σ ρ ∂σ z. Согласно постулатам инженерногоусловия пластичности=∂ρ∂ρметода принимаем σ z = f ( ρ ) и не зависит от z , тогда от частных∂σ z dσ z=.производных можно перейти к полным∂ρdρzС учетом упрощений и допущения τ ρz = τ k , первое уравнениеhравновесия принимает вид:dσ z τ k+=0dρhИнтегрируя его, с учетом τ k = − µ sσ s получим:µσσz = s s ρ +Ch174Произвольную постоянную определим из упрощенного условияпластичности:σ ρ − σ z = ±σ sДля того чтобы определить знак в упрощенном условии пластичностивоспользуемся еще раз физическими уравнениями:⎛⎛⎞⎞εi ⎜1⎜⎟⎟ εε ρ = ⎜ σ ρ − ⎜ σ z + σ θ ⎟ ⎟ = i (σ ρ − σ z )2⎜σi ⎜=σ ρ ⎟⎠ ⎟⎠ 2σ i⎝⎝Поскольку согласно схеме деформированного состояния ε ρ > 0 , тоσ z < σ ρ и в условии пластичности следует использовать знак +, т.е.:σ ρ −σ z =σs.На внешней цилиндрической поверхности радиальное напряжениеравно нулю (нормально к внешней цилиндрической поверхности недействуют никакие силы), тогда:σ ρ ρ =r = 0⇒σ z ρ = r = −σ sОтсюдаµ ⎞⎛C = −σ s ⎜1 + s r ⎟h ⎠⎝Окончательно⎡ µ⎤σ z = −σ s ⎢1 + s (r − ρ )⎥h⎣⎦Эпюра распределения нормальных сил на контактной поверхностиимеет вид:-σs(1+µsD/H)-σ sДля определения силы деформирования необходимо проинтегрироватьнормальные контактные силы по площади контакта.175P = ∫ σ z dF =Fr2π r2πr0 000∫ ∫ σ z ρ d θ d ρ = ∫ dθ ∫ σ z ρ d ρ =rµ r µ ρ⎞⎛= 2π ∫ σ z ρ d ρ = −σ s 2π ∫ ⎜1 + s − s ⎟ ρ d ρ =hh ⎠00⎝⎛ r 2 µs r 3 µs r 3 ⎞µ r⎞µ D⎞⎛2⎛= −σ s 2π ⎜ +−⎟ = −σ sπ r ⎜1 + s ⎟ = −σ s F ⎜1 + s ⎟⎜ 22h3h ⎟⎠3h ⎠3H ⎠⎝⎝⎝Частное от деления деформирующей силы на площадь контактнойповерхности называется удельной силой деформирования.

Знак минус приэтом опускают, поскольку заранее известно, что речь идет о сжимающейсиле:P⎛ µ D⎞q = = σ s ⎜1 + s ⎟F3H ⎠⎝Полученное выражение носит название формулы Зибеля. Анализ этоговыражения показывает, что чем больше отношения диаметра заготовки к еевысоте, тем больше начинает сказываться влияние трения. Для относительновысоких заготовок (отношение диаметра к высоте меньше единицы) дажепри достаточно большом трении (фактор трения µs=0.33) влияние трения насилу деформирования не превосходит 10%.Определим работу, совершаемую при осадке заготовки.

Работадеформирования определяется интегрированием деформирующей силы поперемещению бойков43:A=SдHkH00H0Hk∫ PdS = ∫ P ( −dH ) = ∫ σ sπ D2 ⎛µs D ⎞⎜1 +⎟ dH4 ⎝3H ⎠Из условия постоянства объема без учета бочкообразности:D02 H 0 = Dk2 H k = D 2 H .Продолжим преобразования:H0 ⎞⎛D0⎜H ⎟H0H0 ⎛12⎜⎟1 µ s D0 H 0 ⎞π D 2 ⎜ µs D ⎟⎟dH =1+A = ∫ σsdH = σ sV ∫ ⎜ +52 ⎟⎜H⎟4 ⎜3H3HHkHk ⎝⎠⎟V H ⎜⎜⎟⎝⎠⎡ H⎞⎤µ s D0 H 01 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 110= σ sV ⎢ln+⎜ − ⎟ ⎜⎜ 3 2 − 3 2 ⎟⎟ ⎥ =3⎢ Hk⎝ 3 ⎠ ⎝ H0H k ⎠ ⎥⎦⎣43H = H k − S + Sд176⎡ H2µ ⎛ DD ⎞⎤= σ sV ⎢ln 0 + s ⎜ k − 0 ⎟ ⎥9 ⎝ H k H 0 ⎠⎦⎣ HkВпервые эта формула была получена М.В.Сторожевым и носит егоимя. Первое слагаемое в формуле отображает работу деформации металла, авторое – работу трения на контактных поверхностях.4.3.3 Осадка цилиндрической заготовки с переменным трением наконтактеДопущение о постоянстве сил трения на контакте между инструментоми заготовкой являются приближенными.

Экспериментальные исследования,проведенные Е.П.Унксовым, показали, что в общем случае на контактнойповерхности заготовки при осадке существует три зоны с различнымхарактером трения:CBAτK-0.5σSµσSrCrBrЕ.П.Унксов предложил следующие названия зон:Зона А – зона скольженияЗона B – зона торможенияЗона C – зона прилипанияРассмотрим зоны трения подробнее и выполним обоснование ихсуществования.Зона А: Удельные силы трения на контакте пропорциональнынормальным напряжениям. Иными словами имеет место закон тренияАмонтона-Кулона44:τ k = µσ zЭта зона называется зоной скольжения.

В этой зоне наблюдаетсяинтенсивное скольжение частиц металла вдоль контактной поверхностиинструмента.Существование зоны обусловлено относительно малой величинойнормальных сил на контакте с инструментом в периферийной частизаготовки. Действительно, если принять коэффициент трения µ = 0.2 иσ z = −σ s на контакте при ρ = r , тоτ k = 0.2σ s < τ max =βσ s244В этом выражении знак +, поскольку и касательные, и нормальныенапряжения – отрицательные.177Величина касательных напряжений по энергетическому условиюпластичности не может превышать максимального значения, равного2для плоского0.5βσ s .

Коэффициент Лоде β принимает значение3деформированного состояния, когда среднее главное напряжение равнополусумме крайних и равен 1, когда среднее главное напряжение равноодному из крайних.Произведем оценку коэффициента Лоде для осадки. Дляосесимметричного напряженного состояния σ θ - главное напряжение. Мыприняли, что трение относительно невелико, поэтому приближенно можносчитать, что и остальные нормальные напряжения близки главным.Напряжение σ z действует в направлении приложения внешней силы,поэтому следует ожидать, что оно максимально по абсолютной величине,тогда:σ z ≈σ3Выше было показано, что для осадки можно принять σ ρ = σ θ . Еслиσρ- среднее главное напряжение, можно сделать вывод, что при осадкесреднее главное напряжение приблизительно равно одному из крайних.Поэтому можно принять β = 1 .Таким образом, для осадки можно принятьβσ s= 0.5σ s2Следовательно, удельные силы трения на контактной поверхности немогут превысить по абсолютной величине 0.5σ s .Зона B: Закон Амонтона-Кулона при увеличении нормальныхнапряжений дает неограниченное увеличение удельных сил трения.

Поэтомув общем случае должна присутствовать зона, в которой удельные контактныесилы равны максимальным.Удельные контактные силы трения в зоне B постоянны и равны:τ k = −0.5σ sЗнак «-» в выражении показывает, что удельные силы трениянаправлены в сторону, противоположную положительному направлениюкоординатной оси ρ.Границей между зонами A и B является радиус rb , для которогонапряжения σ z удовлетворяют условию: τ k = µσ z = −0.5σ s .Эта зона называется зоной торможения. В этой зоне также происходитперемещение частиц металла вдоль контактной поверхности.τ max =Зона С:Если продолжить зону торможения до оси, то окажется, что принулевом радиусе контактные силы трения должны, оставаясь по абсолютнойвеличине теми же, изменить знак на противоположный.

Таким образом,178эпюра контактных сил трения будет иметь разрыв. Кроме того, из законовсимметрии, касательные силы на оси симметрии должны быть равны нулю.Поэтому должна существовать зона, в которой силы трения переменны иснижаются от максимальных до нуля. В этой зоне частицы металла неперемещаются вдоль контактной поверхности. Эта зона называется зонойприлипания.45 Граница между зоной скольжения и зоной прилипаниясогласно экспериментальным данным Е.П.Унксова rc ≈ H , где H - высотазаготовки.Удельные контактные силы в этой зоне можно принять прямопропорциональными текущему радиусу.

Поскольку на границе зоныτ k = −0.5σ s , то для зоны С принимают следующий закон контактноготрения:τ k = −0.5σ sρHТаким образом, при осадке в общем случае на контактной поверхностисуществует 3 зоны трения. Получим значения нормальных сил на контакте вобщем случае с использованием инженерного метода.Расчетную схему и допущения при анализе примем такой же, как вслучае осадки с постоянными силами трения, за исключением эпюрыраспределения сил трения по контактной поверхности, которую примемпеременной, состоящей из трех зон. Сформулируем их еще раз:Постулаты инженерного метода:Задача осесимметричная, принимаем условие полной пластичностиσ ρ = σθИщем только нормальные напряжения на контактных поверхностяхσ n = σ z z =h = ? (h=0.5H)Предполагаем линейное распределение касательных напряжений поzвысоте заготовки τ ρz = τ khОсевые напряжения зависят только от координаты ρ , что позволяетперейти от частных производных к полным в дифференциальном виде∂σ ρ ∂σ z dσ zусловия пластичности:==∂ρ∂ρdρИспользуем упрощенное условие пластичности, которое в данном случаеимеет вид: σ ρ − σ z = σ s .Дополнительные допущения, связанные с созданием расчетной схемы.Бочкообразностью пренебрегаем, поэтому схемы напряженного идеформированного состояний одинаковы по всему объему заготовки.45Можно сказать, что в зонах А и В реализуется сила трения скольжения, а взоне С – сила трения покоя.179Условия трения на обеих контактных поверхностях считаемидентичными, инерционными силами пренебрегаем.

Тогда можно считатьсреднее сечение неподвижным, а бойки движущимися навстречу другдругу с равными скоростями. Начало координат расположим на осизаготовки в среднем сечении.Удельные контактные силы трения на краю заготовки малы τ k < 0.7k .Материал заготовки – идеальный жестко-пластический σ s = const .С учетом этих допущений первое уравнение равновесия приобретаетвид:dσ z τ k+=0dρhТаким образом, решение задачи сводится к решению системыуравнений⎧ dσ z τ k⎪ dρ + h = 0⎨⎪σ ρ − σ z = σ s⎩С граничными условиямиσρ= 0;ρ =rτk= µσ z ;τ kρ= −0.5σ s ;r > ρ > rBrB ≥ ρ > HH ≥ρHРешение осуществляем последовательно по зонам, двигаясь от зоны Aк зоне CДля зоны А:τ k = µσ zтогда дифференциальное уравнение равновесия имеет вид:dσ z µσ z+=0dρhилиdσ zµ= − dρσzhИнтегрируя, получимρρ⎞⎛ln σ z = − µ + C1 или σ z = C exp⎜ − µ ⎟hh⎠⎝Произвольную постоянную С определим из условия:σ ρ ρ =r = 0⇒= −0.5σ s ; τ kσ z ρ = r = −σ sоткуда:⎛ r⎞C = −σ s exp⎜ µ ⎟⎝ h⎠Окончательно180⎛ r−ρ⎞⎟h ⎠⎝На рисунке полученное решение отображается кривой σ zA .

Характеристики

Список файлов книги