Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Второе уравнение равновесие обычно не используют.Равенство нормальных напряжений ( σ ρ = σ θ ) называют условием полнойпластичности.Для определения деформирующей силы и работы деформированиядостаточно определить напряжения на контактных поверхностях междуинструментом и заготовкой. Деформирующая сила может бытьопределена интегрированием эпюры нормальных напряжений по площадиконтактной поверхности.

Например, для осесимметричных задач придвижении деформирующих инструментов вдоль оси z нормальныенапряжения на контактных поверхностях - σ z . Тогда силадеформирования:P = ∫ σ z dF , где F – текущая площадь контактной поверхности.FМатематически это допущение можно выразить следующим образом:Для плоского деформированного состояния, если инструмент движетсявдоль оси y, а в направлении оси z отсутствует деформация:σ y = f ( x); τ yx = Ay .Для осесимметричного состояния: σ z = f ( ρ ); τ zρ = BzКак будет показано дальше, такие допущения приводят к сокращениючисла дифференциальных уравнений равновесия до одного.

Этоуравнение будет содержать уже обыкновенные производные взаменчастных.Физически это допущение равнозначно осреднению нормальныхнапряжений в направлении одной из осей.Условие пластичности позволяет исключить одну переменную изуравнений равновесия. Однако квадратичный вид условия пластичностиМизеса приводит к математическим трудностям. Упрощенный видусловия пластичности Мизеса: σ 11 − σ 33 = βσ s имеет линейный вид.Однако, при решении практических задач редко можно предугадатьнаправления главных осей и решать задачу в главных осях.

Гораздо чащеприходится иметь дело с общим случаем декартовой или цилиндрической169системы координат. Поэтому следует упростить условие состоянияпластичности таким образом, чтобы в нем фигурировали не главныенапряжения, а компоненты тензора напряжений в произвольных осях.Е.П.Унксов предложил следующую линеаризацию условия состоянияпластичности:если удельные контактные силы трения малы 0 ≤ τ K ≤ 0.7k , то ввыражении для условия пластичности можно пренебречь касательныминапряжениями;если удельные контактные силы трения велики 0.7k < τ K ≤ k , то вусловии пластичности касательные напряжения следует принять равнымиσих максимально возможному значению k = s .3Ранее мы получили следующее выражение для условия пластичностиМизеса для плоского деформированного состояния39:242σ x − σ y 2 + 4τ xy= σ s2 = σ s* = 4k 23σx −σ yτ xyОбозначим ξ =;η=, тогда условие пластичности2kkпримет вид:()( )ξ 2 + η 2 = 1.Это – уравнение окружности радиусом единица в координатах η ,ξ .Линеаризация условия пластичности по Унксову означает замену единичнойокружности ступенчатой функцией вида:ξ = 1 → η ≤ 0.7ξ1ξ = 0 → η > 0.7ξ2+η2=1Тогда очевидно, что для малых удельных0 ≤ τ K ≤ 0.7kупрощенноеконтактных силусловие пластичности по Унксову будет иметьвид:0.7 1 ησ x − σ y = ±σ s* ,а для больших удельных контактных сил ( 0.7 k < τ K ≤ k ):σ x −σ y = 0Продифференцируем упрощенное условие пластичности Мизеса дляплоского деформированного состояния по x.

Тогда как для больших, так идля малых удельных контактных сил справедливо:∂σ x ∂σ y=∂x∂x39Величина, равная удвоенному значению постоянной пластичности kобозначается σ s* = 2k170Это выражение носит название: приближенное условие пластичностидля плоского деформированного состояния в дифференциальной форме.Очевидно, что оно справедливо и для малых и для больших сил контактноготрения.Для осесимметричного напряженного состояния условие пластичностиМизеса:(σ ρ − σ θ )2 + (σ θ − σ z )2 + (σ z − σ ρ )2 + 6τ ρ2z = 2σ s2при условии σ ρ = σ θ получим:(σ ρ − σ z )2 + 3τ ρ2z = σ s2 , тогдаσ ρ − σ z = ±σ s - для малых удельных контактных сил трения40.σ ρ − σ z = 0 - для больших удельных сил тренияАналогичноплоскомудеформированномусостояниюпродифференцируем упрощенное условие пластичности Мизеса по ρ.

Врезультатеполучимприближенноеусловиепластичностивдифференциальной форме для осесимметричного напряженного состояния ввиде:∂σ ρ ∂σ z=∂ρ∂ρРассмотрим применение инженерного метода для различных операцийобработки давлением.4.3.2 Осадка цилиндрической заготовки с постоянным контактнымтрениемОсадкой называется кузнечная операция, при которой происходитувеличение поперечного сечения за счет уменьшения высоты заготовки.При осадке цилиндрической заготовки обычно нижняя плитанеподвижна, а верхняя движется вниз с некоторой скоростью V. Заготовкауменьшается по высоте, одновременно увеличивая свой наружный диаметр.В результате на контактных поверхностях возникают силы трения,направленные в сторону, противоположную движению металла – т.е.

к осизаготовки. Иными словами силы трения препятствуют движению металла поконтактным поверхностям. Силы трения приводят к тому, что внешняяповерхность осаживаемой заготовки искажается – она имеет т.н.«бочкообразную» форму. При отсутствии сил трения напряженное состояние– линейное сжатие.

Наличие сил трения делает напряженное состояние приосадке объемным.40Обратите внимание, что в этом выражении, в отличии от приближенногоусловия пластичности для плоского деформированного состояния, унапряжения текучести отсутствует надстрочный индекс «*».171VДеформированное состояниеτKεzτKερ zDH H0D0V/2zεθτK=-µsσsσzτρ zтAρhερНапряженное состояниеτρ zhερ zDσθτρ zσρV/2Если пренебречь инерционными процессами, т.е. считать процессосадки квазистатическим, и разницей в условиях трения на верхней и нижнейконтактных поверхностях, то можно считать среднее сечение, расположенноена расстоянии h от верхнего торца неподвижным, а бойки движущимисянавстречу друг другу с равными скоростями. Напряженное состояние –осесимметричное, что означает равенство нулю компоненты скорости vθ ,направленной по касательной к окружностям41.Считаем, что очаг пластической деформации охватывает весь объемзаготовки42.

Если пренебречь образованием бочки, то во всем объеме будетодинаковая схема напряженного и деформированного состояния.41Это не означает равенство нулю деформаций в окружном направлении.Кроме того осесимметричное напряженное состояние в силу симметриипредполагает отсутствие касательных напряжений в меридиональныхплоскостях (проходящих через ось z ).

Все компоненты напряжений независят от координаты θ.42Под очагом пластической деформации будем понимать часть объемазаготовки, в которой металл деформируется пластически. Остальной объемматериала деформируется упруго.172Схема деформированного состояния в цилиндрической системекоординат легко определяется по изменению размеров в соответствующихнаправлениях.Схема напряженного состояния – всесторонне неравномерное сжатие,поскольку при наличии трения периферийные слои заготовкисопротивляются перемещению материальных частиц в радиальномнаправлении, что приводит к появлению сжимающих радиальныхнапряжений.Сформулируем все допущения окончательно:Бочкообразностью пренебрегаем, иными словами считаем, чтовнешняя поверхность остается цилиндрической.Условия трения на обеих контактных поверхностях считаемидентичными, инерционными силами пренебрегаем.

Тогда можно считатьсреднее сечение неподвижным, а бойки движущимися навстречу другдругу с равными скоростями.Контактное трение постоянно по всей контактной поверхности. ЗаконконтактноготрениязадаемвформеПрандля-Зибеля,т.е.пропорциональным напряжению текучести:τ k = − µ sσ s ( µ s - фактор трения). Знак "минус" используем потому, чтоудельные силы трения, воздействующие на заготовку, направлены всторону, противоположную направлению оси ρ .Удельные контактные силы трения - малые τ k < 0.7 k .Материал заготовки – идеальный жестко-пластический σ s = const .Такое допущение справедливо при осадке в условиях горячегодеформирования.В соответствии с постулатами инженерного метода:Задача осесимметричная, принимаем условие полной пластичностиσ ρ = σθИщем только нормальные напряжения на контактных поверхностяхσ n = σ z z =h = ?Предполагаем линейное распределение касательных напряжений повысоте заготовки τ ρz = BzИспользуем упрощенное условие пластичности, которое в данном случаеввиду принятого допущения о малости сил трения имеет вид:σ ρ − σ z = ±σ s .

Знак в выражении определим позже.Очевидно, что в силу граничных условий:τ ρz=τkz =hВ силу симметрии задачи :τ ρz=0z =0Тогда распределение касательных напряжений по высоте заготовки:173zτ ρz = τ khПервое уравнение равновесия для осесимметричной задачи:∂σ ρ ∂τ ρz σ ρ − σ θ++=0∂ρ∂zρСогласно постулатам инженерного метода принимаем σ ρ = σ θ .Определим насколько это правомерно для данного случая. Условиепостоянства объема с учетом перехода цилиндра в цилиндр(бочкообразностью мы пренебрегаем):π (R + ∆R )2 (h + ∆h ) − πR 2 h∆V=0⇒=02VπR hПренебрегая бесконечно малыми второго и выше порядков:R 2 h + 2 R∆Rh + R 2 ∆h − R 2 hR 2h=0⇒2∆R ∆h+≅0Rhεθεhили 2εθ + ε z = 0 , но с другой стороны ε ρ + εθ + ε z = 0 , откуда ε ρ = εθФизические уравнения деформационной теории пластичности могутбыть записаны, в частности, следующим образом:3 εiε ρ − εθ =σ ρ − σθ ,2 σiоткуда с учетом равенства деформаций ε ρ = εθ следует равенство()соответствующих напряжений σ ρ = σ θ .

Характеристики

Список файлов книги