Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Будем считать, что удельные силытрения на контакте максимальны: τ k = −0.5σ s . В остальном будем следоватьтем же допущениям, которые были приняты при анализе осадки цилиндра спостоянным трением.Кратко повторим ход решения:Принимаем линейную эпюру распределения касательных напряженийσ zzвдоль оси z : τ ρz = τ k=− s0.5hhПервое уравнение равновесия для осесимметричной задачи с учетомдопущений σ ρ = σ θ , σ z = f ( ρ ) и условия пластичности σ ρ − σ z = σ sпринимает вид:dσ z σ s−=0dρhИнтегрируя его, получим:σσz = s ρ +ChПроизвольную постоянную определим из граничных условий. Навнешнюю поверхность цилиндра действует внешнее давление p . Поэтомурадиальные напряжения на внешней поверхности должны бытьсжимающими и равны:σρ= −pρ =rПоскольку σ ρ − σ z = σ s , тоdσz= −(σ s + p ) = σ s+C2hρ =r198ОтсюдаD d ⎞⎛C = −σ s ⎜1 + 1.1ln + ⎟d 2h ⎠⎝ОкончательноD (0.5d − ρ )⎤⎡σ z = −σ s ⎢1 + 1.1ln +⎥⎦hh⎣Сила деформирования:P = ∫ σ z dF =F0.
5 d∫0σ z 2πρdρ = −σ s 2π0.5 d∫0D ρ⎞⎛ 0.5d+ 1.1ln − ⎟ρdρ =⎜1 +hd h⎠⎝0,5 d⎡ ρ 2 ⎛ 0.5dD ⎞ ρ3 ⎤= −σ s 2π ⎢ ⎜1 ++ 1.1ln ⎟ −⎥2hd ⎠ 3h ⎦ 0⎝⎣=d2 ⎛dD d ⎞= −σ sπ+ 1.1ln − ⎟ =⎜1 +4 ⎝ 2hd 3h ⎠D d ⎞⎛= −σ s F ⎜1 + 1.1ln + ⎟d 6h ⎠⎝Удельная сила деформирования:PDd⎞⎛q = = σ s ⎜1 + 1.1ln + 0.17 ⎟Fdh⎠⎝Эта формула была впервые получена Е.П.Унксовым.Проанализируем полученную формулу. По мере внедрения пуансона взаготовку величина донышка h уменьшается. Следовательно, удельная силапо ходу ползуна должна расти. Однако такой рост в экспериментах заметентолько в самом конце хода, когда толщина донышка становится меньшеh < 0.5…0.7 d . На остальной части хода (за исключением начальной стадии)сила деформирования остается примерно постоянной.Это объясняется тем, что очаг деформации охватывает не полностьювесь объем под торцом пуансона, а имеет некоторую приблизительнопостоянную высоту hD .
В общем случае hD < h . И только когда очагдеформациидостигнетдназаготовки,начинаетсяростсилыдеформирования.qhDэкспериментпо формулеs199В сделанных выше допущениях мы не учли этого факта. Кроме того, внашихрассужденияхмыпренебрегликасательнымисилами,существующими на границах зон, а, следовательно, в рассмотренной схемене учтена работа сил среза.С учетом этих двух факторов, полученную формулу для удельной силыоткрытой прошивки используют в несколько видоизмененном виде:D⎞⎛q = σ s ⎜ 2 + 1.1ln ⎟d⎠⎝Эта формула может быть получена из предыдущей, если в ней принять1постоянную величину очага пластической деформации h = d .64.3.9 Очаг деформации при вытяжке цилиндрического стакана изкруглой заготовки.Вытяжкой получают полые пространственные детали из плоскойлистовой заготовки.
Технологическая операция вытяжки относится к группеопераций листовой штамповки. Для этой группы операций исходнойзаготовкой является листовой материал.Для операций листовой штамповки постулаты инженерного метода,предложенные Е.П.Унксовым для анализа операций объемной штамповки вполной мере применить нельзя. Для каждой операции вводят свою группудопущений, имея в виду основную идею метода: решение приближенныхуравнений равновесия совместно с приближенным условием пластичностидля определения деформирующей силы и работы деформирования.Основные особенности операций листовой штамповки, используемыепри анализе.Нормальные напряжения на контактных поверхностях заготовки синструментом обычно значительно меньше напряжений, действующих вплоскости листа.Схему напряженного состояния в очаге пластической деформации можнопривести к плоской (для осесимметричных заготовок напряженноесостояние одновременно является плоским и осесимметричным).Трение на контактных поверхностях мало, поэтому можно пользоватьсязаконом Амонтона-Кулона.Для анализа операций листовой штамповки вводят понятие срединнойповерхности - поверхности, делящей толщину заготовки пополам.
Всерешения, за исключением специально оговоренных случаев, справедливытолько для срединной поверхности.В качестве примера рассмотрим операцию вытяжки цилиндрическогостакана из плоской круглой заготовки.200PпуансонτкQQприжимsρзаготовкаτкrПsσz≈0матрицаτzρhrМd=2rσθD=2RσzD0=2R0σθτρzσρσρВытяжку обычно осуществляют с помощью матрицы и пуансона.Кромки пуансона и матрицы скруглены радиусами, величина которых многобольше толщины заготовки.
Для предотвращения образования складок(потери устойчивости) во фланце применяют прижим.В начальный момент времени под действием пуансона средняя частьзаготовки вдавливается в матрицу. Перемещение средней части заготовкивызывает появление радиальных растягивающих напряжений σ ρ во фланце(периферийной части заготовки). Одновременно во фланце действуютсжимающие напряжения σ θ , действующие в тангенциальном направлении.Со стороны прижима на заготовку действуют сжимающие силы, приводящиек появлению осевых напряжений σ z .
Однако эти напряжения малы(удельные силы прижима невелики и составляют приблизительно q < 3МПа ,в то время как напряжение текучести σ s > 200МПа ) и ими в дальнейшем прианализе пренебрегают. Наличие прижима приводит к появлению касательныхнапряжений на поверхности заготовки, препятствующих втягиванию фланцав отверстие матрицы.В вертикальных стенках стакана напряженное состояние близко клинейному растяжению, а в донной части – к двухосному растяжению.При вытяжке пластически деформируется только фланец и частьзаготовки на кромке матрицы, остальная часть заготовки деформируетсяупруго.201Покажем это.
Энергетическое условие пластичности в упрощеннойформе имеет вид:σ max − σ min = βσ sПоскольку осевые напряжения во фланце малы, то для фланцарадиальные и тангенциальные напряжения можно считать главными.Согласно схеме напряженного состояния:σ ρ > 0,σ z = 0,σ θ < 0 следовательно σ max = σ ρ ,σ min = σ θТогда условие пластичности во фланце:σ ρ − σ θ = βσ sНапомним, что коэффициент Лоде переменен и учитывает влияниесреднего главного напряжения на условие пластичности.
Максимальноезначение β = 1.155 коэффициент Лоде достигает, когда среднее главноенапряжение равно полусумме крайних, минимальное β = 1 - когда среднееглавное напряжение равно одному из крайних. В данном случае, как мыувидим позднее, тангенциальные напряжения от края фланца к внутреннемурадиусу увеличиваются и в пределе равны нулю. Следовательно, навнутреннем радиусе одно из крайних напряжений стремится к среднемуглавному, поэтому приближенно коэффициент Лоде на внутреннем радиусефланца равен единице, а условие пластичности имеет вид:σ ρ − σθ = σ sУсловие пластичности для стенки стакана (линейное растяжение)σz =σsПоскольку во фланце σ θ < 0 , то для фланца справедливо:σ ρ = σ s − σ θ < σ s .
В первом приближении (не учитывая процессы на кромкематрицы) можно считать, что на внутренней границе фланца радиальноенапряжение σ ρ равно осевому напряжению σ z в стенке стакана. Поэтомупластическое состояние во фланце наступит раньше, чем в стенке.Предельным случаем является такое соотношение размеров заготовки, прикотором на внутреннем диаметре фланца σ θ = 0 . Тогда на внутреннемдиаметре σ ρ = σ s . В этом случае стенки стакана также будут находиться впластическом состоянии, что приведет к их утонению и последующемуобрыву донышка.Конечной задачей инженерного метода является определение силыдеформирования и работы деформации.
Для определения силыдеформирования при вытяжке сначала необходимо определить напряженноесостояние в очаге пластической деформации – во фланце.4.3.10Анализ напряженного состояния вофланце при вытяжке цилиндрического стакана.Определим напряжения во фланце инженерным методом. Для решениязадачи инженерным методом необходимо составить приближенное202уравнения равновесия в очаге пластической деформации и решить егосовместно с приближенным условием пластичности.Будем считать, что радиальные напряжения зависят только от координатыρ (т.е.
усредняем напряжения по высоте заготовки): σ ρ = f1 ( ρ ) .Касательные напряжения будем считать распределенными по линейномузакону от координаты z , аналогично тому, как это делалось при осадке:2zτ ρz = τ кsЕстественно, что на срединной поверхности касательные напряженияравны нулю.Первое уравнение равновесия для осесимметричной задачи:∂σ ρ ∂τ z ρ σ ρ − σ θ++=0∂ρ∂zρС учетом сделанных допущений получим приближенное уравнениеравновесия в виде:dσ ρ σ ρ − σ θ 2τ k++=0dρsρПриближенное условие пластичности для фланца получено ранее.Окончательно система приближенных уравнений равновесия и пластичностидля напряженного состояния во фланце при вытяжке имеет вид:⎧ dσ ρ σ ρ − σ θ 2τ k++=0⎪sρ⎨ dρ⎪σ ρ − σ θ = βσ s⎩Среднее значение коэффициента Лоде во фланце можно принятьравным β = 1.1.Сделаем дополнительные допущения, касающиеся распределению силтрения на контакте.
Величину касательных напряжений на контактеопределим по закону Кулона. Будем считать их пропорциональнымисреднему контактному давлению (иными словами удельные силы тренияпостоянны на контактной поверхности заготовки):Q4Qτ к = µq = µ=µFфπ D2 − d 2()В первом приближении откажемся от учета упрочнения заготовки впроцессе вытяжки. Тогда уравнение равновесия можно привести к виду.dσ ρ βσ sdσ ρ βσ s 2τ к8Q++= 0 или++µ=0ρdρsρdρsπ D 2 − d 2()AРазделяя переменные и интегрируя, получим:⎛βσ s ⎞⎟ dρ ,dσ ρ = −⎜⎜ A +σ ρ = − Aρ − βσ s ln ρ + Cρ ⎟⎠⎝203Произвольную постоянную определим из граничных условий нанаружном контуре: σ ρ ρ = R = 0 , откуда C = AR + βσ s ln RОкончательно:8QR(R − ρ ) + βσ s lnσρ =µρsπ D 2 − d 2Тангенциальное напряжение найдем из условия пластичности:σ θ = σ ρ − βσ s , или((σθ = µ)8Q)(R − ρ ) − βσ s ⎛⎜⎜1 − ln R ⎞⎟⎟ρ⎠sπ D 2 − d 2⎝Полученное решение предложено А.Г.Овчинниковым. Эти формулы внаибольшей степени отвечают условиям вытяжки тонколистового материала,когда изменение толщины мало и можно считать, что прижим полностьювоздействует на фланец.Эпюры напряжений во фланце для решения, полученногоА.Г.Овчинниковым, приведены на рисунке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
