Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Кроме того, поскольку радиальное напряжение σ ρ независит от координат z ,θ , то частная производная в первом уравнениистановится полной. Тогда окончательно уравнение равновесия для нашегослучая принимает вид:dσ ρ σ ρ − σ θ+=0dρρВ этом уравнении два неизвестных. Для получения замкнутой системыиспользуем условие пластичности Губера-Мизеса, которое для плоскогонапряженного состояния при главных напряжениях σ θ ,σ ρ примет вид:σ s2 = σ θ2 + σ ρ2 − σ θ σ ρТаким образом, задача становится замкнутой.Для решения дифференциального уравнения необходимо исключить изнего одну из переменных, используя условие пластичности. Прямоеисключение приводит к нелинейному однородному дифференциальномууравнению первого порядка, которое не интегрируется в квадратурах.Попытаемся получить параметрическое решение, выразив напряжениев виде функции некоторого параметра t .

Для этого введем обозначения:σ ρ + σθσ ρ − σθ=x=y22Тогда условие пластичности можно свести к виду:x 2 + 3 y 2 = σ s2Действительно, подстановка x, y дает:(σ ρ + σ θ )2 + 3(σ ρ − σ θ )2 = 4σ s2 ,4σ θ2 + 4σ ρ2 + 2σ θ σ ρ − 6σ θ σ ρ = 4σ s2Каноническое уравнение эллипса:x2 y2+=1a2 b2Параметрическое уравнение эллипса:x = a cos t , y = b sin tТаким образом, в нашем случае:a =σs, b =σs3Тогда, основываясь на параметрической записи, получим:σ ρ + σθσ ρ − σθ σ s= σ s cos t ,=sin t223163Почленно складывая и вычитая эти два уравнения, получимпараметрические выражения для радиального и тангенциальногонапряжений:11⎛⎞⎛⎞σ ρ = σ s ⎜ cos t +sin t ⎟σ θ = σ s ⎜ cos t −sin t ⎟33⎝⎠⎝⎠Для определения параметра t подставим полученные выражения длянапряжений в уравнение равновесия:1d ⎡ ⎛⎞⎤ σ s 2cossinσttsin t = 0+⎜⎟⎥ +sdρ ⎢⎣ ⎝3⎠⎦ ρ 3Производную в этом выражении найдем как производную сложнойфункции:dσ ρ ∂σ ρ dt1⎛⎞ dt== σ s ⎜ − sin t +cos t ⎟∂t dρdρ3⎝⎠ dρПодставив полученное выражение в уравнение равновесия и сокращаяна σ s , получим дифференциальное уравнение, связывающее текущеезначение радиуса и параметр t:11 2⎞ dt⎛cos t ⎟=−sin t⎜ − sin t +ρ 33⎝⎠ dρпродолжая преобразования:1sin t −cos t⎛ 3 1⎞dρ3=dt = ⎜⎜− ctg t ⎟⎟dt2ρ⎝ 2 2⎠sin t3интегрируя, получим⎡ 3⎤1ln ρ = ⎢ t − ln(sin t )⎥ + C2⎣ 2⎦2ln ρ = ⎡⎣ 3t − ln ( sin t ) ⎤⎦ + 2CОбозначив 2C = ln B 2 , после преобразований получимρ 2 sin tln= 3tB2B 2 3t2ρ =esin tПроизвольную постоянную B найдем, подставляя граничные условия вусловие состояния пластичности: σ s2 = σ θ2 + σ ρ2 − σ θ σ ρρ = R, σ ρ = 0 ⇒ σ θ = σ s :тогда должны выполняться два условия:1641⎛⎞1sin t ⎟ = 0cos t +sin t = 033⎝⎠или11⎛⎞cos t −sin t = 1σ θ = σ s ⎜ cos t −sin t ⎟ = σ s33⎝⎠Складывая и вычитая почленно, получим1⎧⎧⎪ 2 cos t = 1⎪ cos t = 2⎨ 2 sin t = −1 , или ⎨⎪⎩ 3⎪sin t = − 3-0.5√3⎩2Этимусловиямодновременноσ ρ = σ s ⎜ cos t +удовлетворяет t = −откуда0.5t=-π/3π3ππ−3 2 32B22R eR =−e 3 или B 2 = −23окончательно⎛ π⎞3⎜t + ⎟23R3 ⎠ илиe ⎝ρ2 = −2sin t⎛π⎞− 3⎜ t + ⎟2=−sin t ⋅ e ⎝ 3 ⎠23ρТаким образом, мы получили общее решение задачи впараметрическом виде:⎛ π⎞⎧ 2− 3⎜ t + ⎟R2⎪⎝ 3⎠⎪ ρ 2 = − 3 sin t ⋅ e⎪⎪1⎛⎞sin t ⎟⎨ σ ρ = σ s ⎜ cos t +3⎝⎠⎪⎪1⎛⎞sin t ⎟⎪ σ θ = σ s ⎜ cos t −3⎝⎠⎪⎩Это решение определяет напряженное состояние в произвольной точкетрубы пластически деформируемой при плоском напряженном состоянии.Для того, чтобы получить значения напряжений в произвольной точке,характеризуемой радиусом ρ , следует сначала из первого уравнениясистемы определить параметр t.R2165Проанализируем решение, для чего построим графики функцийσ (t ) σ ρ (t )RR,в интервале > 1 , или ρ < R= f (t ) , θσsρσsρ3R/ρ21σθ/σs0σρ/σs-1-2-π-5π/6-2π/3t-π/3-π/2π− π < t ≤ − .

Обратите3внимание, что при любом t тангенциальное напряжение σ θ большерадиального σ ρ .Этимусловиямсоответствуетинтервал5π6ρРешения, лежащие левее максимума, не имеют физического смысла. Вэтом диапазоне при ρ = R , радиальное напряжение отлично от нуля, чтопротиворечит граничным условиям.Таким образом, для того, чтобы вся труба находилась в пластическомсостоянии при плоском напряженном состоянии, ни при каких t отношениевнешнего и внутреннего диаметра трубы не может быть больше 2.963.Физически это означает, что для R / r > 2.963 при плоском напряженномсостоянии не существует такого внутреннего давления, которое бы перевеловсю трубу в пластическое состояние.

Иными словами при плоскомнапряженном состоянии часть трубы для R / r > 2.963 будет деформироватьсяупруго.Для определения давления, необходимого для перевода всей трубы снаружным радиусом R и внутренним r в пластическое состояние требуетсяГрафик имеет максимумподставить ρ = r в формулуRR= 2.963 при t = −2ρ2⎛ π⎞− 3⎜ t + ⎟2⎝ 3 ⎠ и найти t .

Затем=−sin t ⋅ e31⎛⎞sin t ⎟ . График измененияподставить его в формулу σ ρ = σ s ⎜ cos t +3⎝⎠166давления в долях от σ s при различных отношениях радиусов внешней ивнутренней поверхностей трубы приведен ниже.СдостаточнойточностьюRформулой: p = 1.06σ s lnrрешениеможетбытьаппроксимировано4.3.

Инженерный метод4.3.1 Общие положения инженерного методаМетод интегрирования уравнений равновесия совместно с условиемпластичности дает возможность получить решения только для узкого кругазадач, большинстве своем далеких от реальных технологических процессов.Поэтому предпринимались попытки упростить задачу, найти такиеприближенные методы решения, которые, с одной стороны, не находилисьбы в большом противоречии с физикой конкретного технологическогопроцесса, а с другой стороны облегчали бы вычисления и, желательно,приводили бы к аналитическим выражениям.К числу наиболее распространенных приближенных аналитическихметодов относится инженерный метод.Основная идея инженерного метода состоит в сознательном отказе отточного определения напряженно-деформированного состояния внутризаготовки в пользу получения достаточно простых аналитическихзависимостей, позволяющих определить деформирующую силу и работудеформирования.

Иными словами основной целью в данном методе являетсяопределение напряжений на контактных поверхностях заготовки сдеформирующим инструментом.Таким образом, достоинством метода является возможностьполучения аналитических зависимостей для определения важнейшихпараметров, необходимых для выбора технологического оборудования –величины максимальной технологической силы, необходимой длявыполнения операции и величины работы деформирования.167К недостаткам метода следует отнести то, что достовернуюинформацию о распределении напряжений и деформаций по всему объемудеформируемого материала получить с помощью этого метода нельзя.Инженерный метод в литературе носит несколько названий:«инженерный» метод,метод совместного решения приближенных уравнений равновесия иприближенного условия пластичности,метод течения тонкого слоя по жестким поверхностям,метод осредненных напряжений.Каждое из этих названий раскрывает одну из существенных сторонэтого метода.

Название «инженерный метод» подчеркивает, метод непретендует на большую точность и предназначен для использования винженерной практике, когда важно иметь достаточные простыеприближенные формулы, качественно правильно отражающие реальныйфизический процесс. Количественное совпадение может быть достигнутовведением поправочных коэффициентов.Математическая основа метода состоит в решении приближенныхдифференциальных уравнений равновесия совместно с приближеннымусловием пластичности без привлечения физических соотношений. Этоподчеркивается во втором названии метода.Показано, что решения, эквивалентные получаемым посредствоминженерного метода (особенно для задач объемного деформированиязаготовок) могут быть достигнуты, если представить заготовку в видесовокупности тонких слоев, которые деформируются по высоте и скользятдруг относительно друга (третье название).И, наконец, в четвертом названии подчеркивается физический смыслдопущений метода – осреднение напряженного состояния в очагепластической деформации.В наиболее общем виде основные положения этого метода изложил иэкспериментально обосновал Е.П.Унксов для задач объемной штамповки.Основные положения метода состоят в следующем:Механическую схему деформации приводят к плоской илиосесимметричной.

В осесимметричной задаче в обоснованных случаях(когда эти напряжения имеют один знак) два нормальных напряженияпредполагают равными между собой ( σ ρ = σ θ ).Определяют только нормальные напряжения на контактных поверхностях.Нормальные напряжения на контакте считают зависящими только откоординаты, ось которой направлена по касательной к контактнойповерхности. Касательные напряжения считают зависящими линейно откоординаты, ось которой совпадает с нормалью к контактнойповерхности.Используют приближенные условия состояния пластичности взависимости от величины удельных сил трения на контактнойповерхности.168Рассмотрим эти допущения подробнее.Приведение схемы напряженного состояния к плоской илиосесимметричной необходимо для сокращения числа неизвестныхкомпонент тензора напряжения, т.е. к снижению размерности задачи.Число уравнений равновесия также в этом случае сокращается.∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ∂σ x ∂τ yx+= 0;+=0+∂z∂x∂y∂ρρДля ПДС и ПНС:Для ОС:∂τ ρz ∂σ z τ ρz∂σ y ∂τ xy+=0++= 0.∂y∂x∂ρ∂zρДля построения замкнутой системы уравнений в инженерном методеоказывается достаточным использовать только первое из уравненийравновесия.

Характеристики

Список файлов книги