Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s . Следует учесть, что направление сил трения во 2области отрицательно.∫p0i vi**dF = 2Fp∫ (τ k1 ) ( vρ1 ) dF + 2 ∫ ( −τ k 2 ) ( vρ 2 ) dF =Fp1Fp 2r0Rv0 ⎛r02 ⎞v0 ⎛r02 ⎞= 2 ∫ ( µ sσ s ) ⎜ ρ − ⎟ 2πρ d ρ + 2 ∫ ( − µ sσ s ) ⎜ ρ − ⎟ 2πρ d ρ =2h ⎜⎝ρ ⎟⎠2h ⎜⎝ρ ⎟⎠rr0266Rr⎡ 33⎞ 0⎤⎛⎞⎛ρρ⎢− r02 ρ ⎟ + ⎜ r02 ρ −⎟ ⎥⎥⎢⎜⎜ 3⎟⎜3 ⎟⎠⎠ r0 ⎝⎢⎣⎝r ⎥⎦Окончательно:2µ σ vπ 3 3**322∫ p0ivi dF = − 3 s hs 0 R + r + 4r0 − 3r0 R − 3r0 rv µ σ 2π=− 0 s sh(Fp)Неравенство метода верхней оценки:⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎢σ vπ⎠ +qv0π R 2 − r 2 ≤ s 0 ⎢ r04 + 3R 4 − r04 + 3r 4 + r02 ln ⎝⎥2⎛ 244 ⎞⎥3 ⎢r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎝⎠ ⎦⎥⎣⎢()()2 µ sσ s v0π 3 3R + r + 4r03 − 3r02 R − 3r02r3hПроведя преобразования, получим:⎧ ⎡⎤R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟ ⎥⎪⎢1 ⎪ 1q44442⎝⎠ +≤⎥⎨ ⎢ r0 + 3R − r0 + 3r + r0 ln22σs R − r ⎪ 3 ⎢2⎛ 244 ⎞⎥r ⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎝⎠ ⎦⎥⎩⎪ ⎣⎢+⎫⎪2 µs 3 3+R + r + 4r03 − 3r02 R − 3r02r ⎬3 h⎪⎭Радиус раздела течения находим из условия минимума полноймощности:∂qq = min→=0∂r0Получим уравнение, не имеющего аналитического решения:q∂⎧⎡σs2r032r031⎪ 1 ⎢=−+⎨44∂r0R 2 − r 2 ⎪ 3 ⎢ r04 + 3R 4r0 + 3r⎣⎩()R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟r 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3R 4 ⎞⎟⎝⎠ + r2 ⎝⎠×+2r0 ln0r 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3R 4 ⎞⎟R 2 ⎛⎜ r02 + r04 + 3r 4 ⎞⎟⎝⎠⎝⎠267×2R2r2⎛⎞⎛r03r03⎜r +⎟ ⎛⎜ r 2 + r 4 + 3r 4 ⎞⎟ ⎜ r +000⎜ 044⎟ ⎝⎠⎜+3rrr04 + 3R 40⎝⎠−⎝2⎛ 244⎞⎛ r 2 + r 4 + 3R 4 ⎞⎜ r0 + r0 + 3R ⎟⎜ 0⎟0⎝⎠⎝⎠⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎥⎥+⎥⎥⎥⎥⎦⎫⎪+8r02 − 4r0 R − 4r0 r ⎬ = 0h⎪⎭Численное решение может быть выполнено, например, с помощьюMathcad:µs()268На рисунке приведены графики зависимости относительной удельнойq∂qсилы деформирования q( ρ ) =и производной dq =от радиуса.
Можноσs∂ρзаметить, что минимуму на графике удельной силы соответствует нулевоезначение производной.4.6.4 Метод верхней оценки с использованием недеформируемыхобластей («жестких блоков»).Необходимость вычисления сложных интегралов при использованииметода верхней оценки с деформируемыми областями привела к поискуспособов упрощения решения с целью получения оценки деформирующейсилы. Для задач плоского деформированного состояния Р.Хиллом, А.Грином,и позже В.Джонсоном, был предложен метод, в котором очаг деформациизаменяетсясовокупностьютреугольныхвсечениижесткихнедеформируемых блоков. Эти жесткие блоки скользят друг относительнодруга. Обычно применяют треугольные блоки. Поскольку блокинедеформируемые, то скорости всех точек внутри блоков одинаковы,следовательно, работа деформации внутри таких блоков равна нулю.Таким образом, вся деформация в очаге деформации сводится котносительному сдвигу жестких блоков.
Границы между жесткими блокамистановятся границами разрыва скоростей. Ранее было показано, чтокасательные напряжения вдоль границ разрыва скоростей равны постояннойпластичности k . В результате вся работа деформации в очаге пластическойдеформации равна работе трения сдвига на границах разрыва скоростей.Представление очага деформации в виде жестких недеформируемыхблоков равносильно замене непрерывного поля скоростей в очагедеформации кусочно-линейным. Это кусочно – линейное поле являетсякинематически возможным, поскольку удовлетворяет граничным условиям иусловиям неразрывности (разрыв претерпевают только касательныесоставляющие к линии разрыва скоростей).Рассмотрим основное неравенство теоремы о внешней оценкеприменительно к очагу деформации, состоящему из жестких блоков.***∫ pi v0i dF ≤ σ s ∫ ε i dv + k ∫ ∆vτ df − ∫ pi vi dFFvVIfIIFpIIIIVI: Мощность поверхностных сил на той части внешней поверхности, гдезаданы скорости из граничных условий.
Нагрузку на контактнойповерхности заменяют средней удельной нагрузкой. В том случае, когдадеформирование производится одним пуансоном:∫ pi v0i dF = qv0 FпFvЗдесь:q - удельная сила деформирования.269v0 - скорость пуансона;Fп - площадь пуансона;II: Мощность деформации. Поскольку деформации в блоках нет, тоинтенсивность деформации равна нулю.σ s ∫ ε i dV = 0 .VIII: Мощность сил трения сдвига. Поскольку блоки жесткие, то скорость ихотносительного скольжения также постоянна, поэтому интегрированиеможно заменить суммированием по M плоскостям скольжения.Mk ∫ ∆vτ df = k ∑ ∆vm f m .*m =1fЗдесь:∆vm - скорость относительного сдвига на поверхностях скольжения;f m - площадь поверхностей скольжения.k=σs- пластическая постоянная;3m = 1...M - число поверхностей скольжения;IV: Мощность известных внешних сил. Такими силами являются контактныесилы трения τ k = µ sσ s = µ s 3k .
Скорости скольжения по контактнымповерхностям всегда направлены в сторону противоположную силамтрения и при использовании жестких треугольников скорости скольженияпостоянны.∫Fppi vi* dFNNn =1n =1= −∑τ kn vkn Fkn = − k 3 ∑ µ sn vkn FknЗдесь:τ kn = µ snσ s - контактные напряжения трения;vkn - относительная скорость скольжения на контакте;n = 1...N - число контактных поверхностей, на которых задано трение;Неравенство метода верхней оценки в результате получает вид:MN⎞k ⎛⎜⎜ 3 ∑ µ sn vkn Fkn + ∑ ∆vm f m ⎟⎟q≤v0 Fп ⎝ n=1m =1⎠В полученном уравнении неизвестными являются площади и скоростискольжения. Поскольку мы рассматриваем плоское деформированноесостояние, то размер в направлении, перпендикулярном плоскости чертежаможет быть принят равным единице, тогда площади заменятся длинойсоответствующих контактных линий, которые достаточно просто определитьиз геометрических соображений.Из полученного выражения следует, что для определения удельнойсилы деформирования необходимо знать скорости относительногоскольжения жестких блоков.
Для определения скоростей скольжениянеобходимо построить план (годограф) скоростей. Годографом скоростей270называется векторная диаграмма, построенная из одной точки (полюса) ипоказывающая скорости точек деформируемого тела.Вектор, соединяющий полюс с любой точкой на годографепредставляет собой скорость соответствующей материальной точки илиобласти деформируемого тела. Следовательно, если какая либо областьметалла является недеформируемой (жесткой) и движется прямолинейно содной скоростью, то вся эта область отображается на годографе однойточкой.Используяпринципминимумадополнительноймощностикинематически возможного поля скоростей, рассмотренный ранее можнополучить минимальную верхнюю оценку деформирующей силы.
Для этогоконфигурацию жестких областей ставят в зависимость от одного параметраα (обычно угла одного из жестких треугольных блоков). Тогда удельнаясила деформирования становится функцией параметра α . Приравнивая нулючастную производную функции удельной силы по неизвестному параметру,находим значение этого параметра α = α * , соответствующее минимальнойверхней оценке. В общем случае таких варьируемых параметров может бытьмного. Каждое значения варьируемого параметра находим из условияминимума удельной силы деформирования:∂q= 0 , q = q α i*α i* :∂α iАлгоритм решения задачи методом верхней оценки с использованиемжестких блоков:Задачу сводят к плоскому деформированному состоянию, материал –идеальный жестко-пластический, трение – постоянно вдоль контактнойповерхности.Очаг пластической деформации заменяют системой жестких треугольныхблоков, скользящих друг относительно друга. Для упрощения решенияблоков должно быть немного.Строят годограф скоростей и определяют скорости относительногоскольжения.Определяют длины контактных линий.Определяют зависимость удельной силы деформирования от варьируемыхпараметров, суммируя мощности трения по каждой поверхностискольжения.Определяют значения варьируемых параметров из условия минимумаудельной силы деформирования.Определяютминимальнуюверхнююоценкуудельнойсилыдеформирования.( )4.6.5 Решение задачи о вдавливании жесткого пуансонапластическое полупространство методом верхней оценки.вРазрывное поле скоростей, определяемое системой жесткихтреугольников должно возможно более полно соответствовать реальному271полю скоростей.
С этой целью следует опираться на экспериментальноустановленную, либо предполагаемую форму очага деформации.Рассмотрим процедуру решения методом верхней оценки сиспользованием жестких областей для простейшей задачи внедренияплоского пуансона в полупространство при отсутствии контактного трения.Сформулируем условие задачи:Абсолютно жесткий пуансон, имеющий бесконечную длину внаправлении, перпендикулярном плоскости чертежа, начинает внедряться вжестко-пластическое полупространство. Трение под торцом пуансонаотсутствует.
Рассматривается начальный момент внедрения, когда плоскостьполупространства еще не искажена вытекающим из-под торца пуансонаматериалом.Рассмотрим предположительные контуры очага пластическойдеформации. Поскольку на значительном удалении от пуансона металлдеформироваться не будет, то очаг деформации сосредоточится внепосредственной близости от пуансона. Небольшое внедрение пуансонаприведет к тому, что металл из-под торца инструмента начнет вытекать вобласти, непосредственно к нему примыкающие, образуя деформированныйконтур приближенно показанный на рисунке.aДеформированныйконтурТраектория движенияматериальных частицaGA5F4BE1C32DОчаг деформацииплоскости скольженияПервоначально предложим аппроксимацию очага пластическойдеформации системой равнобедренных прямоуглоьных треугольников суглом при основании равным 45º.Годограф скоростей строят в следующей последовательности.Скорость треугольника 1 совпадает со скоростью пуансона и направленавниз.
Откладываем из полюса О вектор, численно равный скоростипуансона v0 .Скорость треугольника 2 направлена параллельно контактнойповерхности CD , что следует из граничных условий, направление разрываскоростей (скорости сдвига) направлена вдоль поверхности разрыва CB .v2 = v1 + v12Проведя из полюса линию, параллельную CD , а из конца вектора v0линию, параллельную CB на их пересечении получим точку 2 ,отражающую скорость 2 блока. Вектор 12 отражает скорость сдвига поплоскости CB .272Скорость треугольника 3 направлена вдоль линии DE , а скорость сдвига– вдоль линии BD . Проведя из точки 2 линию, параллельную BD , а изполюса – линию, параллельную DE на пересечении получим точку 3 ,отражающую скорость 3 блока. Вектор 23 равен скорости сдвига полинии BD .v3 = v2 + v23Очевидно, что скорости блоков 4 и 5 по абсолютной величине равныскоростям блоков 2 и 3.3O2v01Из геометрических соотношений следует:v12 = v0 2 = v14 ; v2 = v20 = v40 = v0 ; v23 = v45 =vv0; v 3 = v 30 = v 50 = 0 .22Длины линий контакта:a; l20 = l40 = a2Трение на контактных поверхностях отсутствует.Тогда неравенство запишется в следующем виде:⎛⎞⎜⎟a v0a v01 ⎜ aq≤k 2v0 2 + 2+2+ 2av0 ⎟ = 6kv0 a ⎜ 22 22 2 20, 40 ⎟⎜⎟23, 4530,50⎝ 12,14⎠Точное решение, полученное методом линий скольжения (этот методбудет рассмотрен позднее)q = (2 + π )k ≈ 5.14kТаким образом, ошибка решения составляет 17%.
Однако решениеможно уточнить, варьируя размеры очага пластической деформации.Выполним построение жесткими блоками с углом не 45°, апроизвольным углом α .l12 = l23 = l30 = l14 = l45 = l50 =2733a0154α3ααα221Из годографа скоростей:vv0vv12 = 0 = v14 ; v2 = v20 = v40 = 0 ; v3 = v30 = v50 = v23 = v45 =.sin αtan α2 sin αДлины линий контакта:al12 = l23 = l30 = l14 = l45 = l50 =; l20 = l40 = a2 cosαТрение на контактных поверхностях отсутствует.Тогда неравенство запишется в следующем виде:⎛⎞⎜v0v0v0v0 ⎟kaaa⎜2⎟=+2+2+ 2aq≤v0 a ⎜ 2 cosα sin α2 cosα 2 sin α2 cosα 2 sin αtan α ⎟⎜⎟12,1423, 4530,5020 , 40⎝⎠1cosα ⎞⎛= 2k ⎜+⎟⎝ cosα sin α sin α ⎠Минимизация полной мощности приводит к:∂q∂ ⎛1cosα ⎞11cos 2 α=0=+−−1−⎜⎟=∂α∂α ⎝ cosα sin α sin α ⎠ cos 2 α sin 2 αsin 2 αОткуда:111 − 3 cos 2 α = 0,cos 2 α = , cosα =, α = 54°45'33Подставляя найденное значение параметра α в выражение для верхнейоценки, найдем минимальную верхнюю оценку удельной силы q = 5.66k .Относительная ошибка по сравнению с методом линий скольжениясоставляет 10%В рассмотренной задаче мы не учитывали трение под пуансоном.Однако предложенная конфигурация очага пластической деформации неможет учесть трение между пуансоном и материалом, поскольку область 1 неперемещается относительно пуансона, следовательно, мощность трения наконтактной поверхности равна нулю.Возможная конфигурация очага пластической деформации для учетатрения под пуансоном может быть следующей:2743aТраектория движенияматериальных частиц3’1’2’α203v0α2α1Очаг деформации симметричен относительно оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
