Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В большинстве программных комплексов расчета МКЭприменяется автоматизированное разбиение, когда пользователь выбираеттип КЭ, а затем указывает количество узлов на границе. При этом надосгущать узлы вблизи места ожидаемой концентрации поля искомойвеличины.4.9.5 Физический смысл компонент матрицы жесткости конечногоэлемента для задач механики деформируемого тела.Рассмотрим треугольный 2D конечный элемент для задач механикидеформируемого тела.372u4=uyjP4P3u3=uxjjiP6P2u6=uyku2=uyiP1kP5u5=uxku1=uxiТреугольный симплекс75 элемент имеет 3 узла и 6 степеней свободы(по два перемещения в направлении координатных осей в каждом узле).Запишем для этого элемента уравнение жесткости в развернутом виде:{P(e) }= [k (e) ] {u (e) }⎧ P1 ⎫ ⎧ Pxi ⎫⎡ k11 k12⎪P ⎪ ⎪ P ⎪⎢kk⎪ 2 ⎪ ⎪ yi ⎪⎢ 21 22⎪ P ⎪ ⎪⎪ Pxj ⎪⎪ (e) ⎢ k31 k32=⎢P (e) = ⎨ 3 ⎬ = ⎨⎬; k⎪ P4 ⎪ ⎪ Pyj ⎪⎢k 41 k 42⎪ P5 ⎪ ⎪ Pxk ⎪⎢ k51 k52⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎩ P6 ⎭ ⎪⎩ Pyk ⎪⎭⎣ k 61 k 62k13k 23k33k 43k53k 63[ ]{ }k14k 24k34k 44k54k 64k15k 25k35k 45k55k 65k16 ⎤⎧ u1 ⎫ ⎧ u xi ⎫⎪u ⎪ ⎪ u ⎪k 26 ⎥⎪ 2 ⎪ ⎪ yi ⎪⎥k36 ⎥ (e) ⎪u3 ⎪ ⎪⎪ u xj ⎪⎪=⎨ ⎬=⎨⎬⎥; uk 46 ⎥⎪u 4 ⎪ ⎪ u yj ⎪⎪u5 ⎪ ⎪u xk ⎪k56 ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪⎥k 66 ⎦⎩u6 ⎭ ⎪⎩u yk ⎪⎭{ }Положим в этом выражении все узловые перемещения, кроме,например 2-го, равными нулю и запишем развернутое выражение длякаждого элемента вектора сил.
Согласно правилу умножения матриц:nPm = ∑ k lm ul , или:l =1P1 = k11 u1 + k12 u 2 + k13 u3 + k14 u 4 + k15 u5 + k16 u 6 = k12 ,010000P2 = k 22u 2 , P3 = k32u 2 , P4 = k 42u 2 , P5 = k52u 2 , P6 = k 62u 2Очевидно, что в общем случае при u m = 1 ul = 0 , где l = 1,…, n , кромеl = m справедливо:Pm = klmРассмотрим физический смысл полученного выражения. Представимтреугольный элемент, в котором закреплены все степени свободы, кроме75Конечные элементы, у которых число коэффициентов в полиноме наединицу больше размерности задачи называются симплексными.373одной и отсутствуют внешние воздействия. Тогда узловые силы будутреакциями на единичное узловое перемещение.P4P3P2P6P1u2=1P5Таким образом, каждый столбец матрицы жесткости конечногоэлемента представляет собой узловые реакции при единичном перемещениикоординаты, соответствующей номеру столбца и закреплении всехостальных координат.Это определение справедливо, если узловыми неизвестными являютсяперемещения.
Если в качестве узловых переменных используют скорости(это характерно для анализа пластических деформаций), то коэффициентыматрицы жесткости суть реакции на единичную скорость по однойкоординате при закреплении всех остальных.4.9.6 Понятие функции формы конечного элемента.В основу метода конечных элементов положена аппроксимацияреального поля неизвестной функции внутри каждого конечного элементанекоторым полиномом, коэффициенты которого зависят от значений этойфункции в узлах КЭ и координат узлов. В общем случае для аппроксимациииспользуют т.н.
функции формы.Рассмотрим понятие функции формы на примере аппроксимации поляперемещений в двумерном линейном элементе.uyiyiuyjjuxiuyuxjuxuykkuxkx374Поле перемещений в каждой точке конечного элемента имеет двесоставляющие76:⎧u ⎫{u} = ⎪⎨u x ⎪⎬⎩⎪ y ⎭⎪Треугольный линейный симплекс элемент имеет 3 узла. Прииспользовании такого элемента для аппроксимации поля перемещений онимеет 6 степеней свободы (по два перемещения для каждого узла).
Такимобразом, вектор узловых неизвестных (в данном случае узловыхперемещений) имеет размерность 6 × 1 :⎧ u xi ⎫⎪u ⎪⎪ yi ⎪⎪u ⎪⎪ xj ⎪( e)=⎨u⎬⎪ u yj ⎪⎪u ⎪⎪ xk ⎪⎪⎩u yk ⎪⎭{ }Для аппроксимации непрерывного поля перемещений необходимопредложить соотношения, связывающие компоненты вектора перемещений{u} в любой точке треугольника с вектором узловых перемещений u (e) .Простейший вид такой зависимости – линейный интерполяционныйполином. Запишем такие полиномы для аппроксимации компонентперемещений внутри треугольного элемента:u x = α 1 + α 2 x + α 3 y;{ }u y = α4 + α5 x + α6 yЗдесь x, y - координаты точки произвольной точки внутри элемента.Поскольку коэффициентов полинома 6, а известных узловыхперемещений тоже 6, то эти коэффициенты могут быть однозначновыражены через координаты узлов xi , yi , x j , y j , xk , y k и значенияперемещений в узлах.
Например, для компоненты u x можно записать:⎧ u xi = α1 + α 2 xi + α 3 yi⎪⎨ u xj = α1 + α 2 x j + α 3 y j⎪u = α + α x + α y12 k3 k⎩ xkРешая систему, получим значения коэффициентов α1 α2 α3 (решениеопустим), выраженные через перемещения в узлах и координаты узлов:76Обратите внимание, что в этой записи вектор {u} обозначает совокупностьдвух функций.375ai u xi + a j u xj + ak u xk⎧=α⎪ 12∆⎪+bub⎪i xij u xj + bk u xk=α⎨ 22∆⎪+cucj u xj + ck u xk⎪α = i xi⎪ 32∆⎩где∆ = (x j y k − xk y j + xi y j − xi y k + yi xk − yi x j )/ 2 - площадь треугольника,ai = x j y k − xk y j , bi = y j − y k , ci = xk − x j , остальные коэффициентыполучаются круговой перестановкой индексов.Таким образом, в общем случае, коэффициенты интерполяционногополинома зависят от значений неизвестной функции в узлах (для нашей{ }задачи – это значения неизвестных перемещений u (e) в узлах конечного{ }элемента) и координат узлов элемента x(e) :{α } =f({u },{x })( e)(e)Аналогичным получается решение и для коэффициентов α4 α5 α6aiu yi + a j u yj + ak u yk⎧⎪α 4 =2∆⎪biu yi + b j u yj + bk u yk⎪⎨ α5 =2∆⎪ciu yi + c j u yj + ck u yk⎪⎪α6 =2∆⎩Подставив полученные значения коэффициентов в исходныйинтерполяционный полином, получим:u x = N i u xi + N j u xj + N k u xku y = N i u yi + N j u yj + N k u ykгде:a j + bj x + c j yai + bi x + ci ya + bk x + ck y;N j =; Nk = k2∆2∆2∆Функции N получили названия функций формы.
Аргументами функцииформы являются координаты точки внутри конечного элемента. Ихотличительная особенность - они равны 1 в том узле, индекс которого носяти равны 0 во всех остальных узлах элемента. Например, для узла i⎞ai + bi x + ci y 1 ⎛⎜Ni ==x j y k − xk y j + xi y j − xi y k + yi xk − yi x j ⎟⎟ = 1⎜2∆2∆ ⎜⎟⎝⎠2∆Ni =376В матричном виде зависимость имеет вид{u} = [ N ]{u (e) }или⎪⎧u x ⎪⎫ ⎡ Ni⎨u ⎬ = ⎢⎩⎪ y ⎭⎪ ⎣⎢ 00Nj0NkNi0Nj0⎧ u xi ⎫⎪u ⎪⎪ yi ⎪0 ⎤ ⎪⎪ u xj ⎪⎪⎥⎨⎬N k ⎦⎥ ⎪ u yj ⎪⎪u ⎪⎪ xk ⎪⎪⎩u yk ⎭⎪Таким образом, если бы определены значения неизвестныхперемещений в узлах, то, используя функции формы, можно найтираспределение перемещений по всему элементу.Аналогично записывают и соотношения для трехмерных элементов, нофункции формы имеют более сложный вид.Итак, основные свойства функций формы можно сформулироватьследующим образом:Функции формы конечного элемента позволяют определить значениенеизвестной функции в произвольной точке внутри конечного элементапо ее координатам (аргумент функции формы – координаты точки) иузловым значениям этой переменной.Вид функции формы (линейный, квадратичный …) зависит от типаэлемента и степени интерполирующего полинома.Коэффициенты функции формы зависят от координат узлов конечногоэлемента.Значения функций формы равны 1 в том узле КЭ, индекс которого носят и0 во всех остальных узлах элемента.4.9.7 Матричный вид взаимосвязи между узловыми неизвестными инапряжениями для задач механики деформируемого тела.Узловыми неизвестными в задачах механики деформируемого тела{ }{ }являются либо узловые перемещения u e , либо узловые скорости ve .
ДлявыводаопределяющихсоотношенийМКЭвариационнымметодом377используют матричную запись уравнений. Математическая модельконечного элемента для задач механики деформируемого тела в этом случаедолжна представлять зависимость напряжений {σ } в элементе от значенийузловых неизвестных. Такую модель следует получить в матричном виде.{σ } =f({ u }) или {σ } = f ({ v })eeВ общем виде такую задачу можно решить, используя уравнения Кошии физические уравнения связи напряженного и деформированногосостояний.
Мы до настоящего момента использовали тензорную запись такихуравнений.Уравнения Коши для определения деформаций (скоростейдеформаций) по полю перемещений (скоростей) материальных частиц втензорном виде:11ε ij = ui, j + u j ,i ,ε ij = vi, j + v j ,i ,i , j = x, y , z22В матричной записи уравнения Коши для деформаций выглядятследующим образом:{ε } = [∂ ]{u} ,где {ε } - вектор-столбец, составленный из компонентов тензорадеформаций, [∂ ] - матрица дифференциального оператора. Например, дляплоской задачи εx=∂ux/∂x, εy=∂uy/∂y, γxy=∂ux/∂y+∂uy/∂x, поэтому:⎡∂⎤0⎥⎢⎧ ε x ⎫ ⎢ ∂x⎥∂ ⎥ ⎧u x ⎫⎪ ⎪ ⎢×⎨ ⎬⎨εy ⎬= ⎢ 0⎥∂y⎩u y ⎭⎪γ ⎪ ⎢⎩ xy ⎭∂ ∂ ⎥⎢⎥⎣ ∂ y ∂x ⎦Для осесимметричной задачи:⎡∂⎤⎢ ∂ρ 0 ⎥⎥⎧ερ ⎫ ⎢∂ ⎥⎢⎪ε ⎪0⎪ z ⎪ ⎢∂z ⎥ × ⎧u ρ ⎫=⎨ε ⎬ ⎢ 1⎥ ⎨ ⎬0 ⎥ ⎩u z ⎭⎪ θ ⎪ ⎢⎪⎩γ ρz ⎪⎭ ⎢ ρ⎥∂ ⎥⎢∂⎢⎣ ∂z ∂ρ ⎥⎦Используя функции формы для аппроксимации поля перемещенийконечного элемента получим:()(){ε } = [∂ ]{u} = [∂ ][ N ]{u (e) } = [ B ]{u (e)} ,378где [B] - матрица градиентов - частных производных функций формы попространственным координатам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
