Теория обработки металлов давлением (1003099), страница 61
Текст из файла (страница 61)
4.9.8По своей размерности это скорее матрица вязкости, однако такое названиене принято86397неизвестных узловых скоростей. От скоростей деформаций также можетзависеть и напряжение текучести σ s , входящее в интеграл для определенияматрицы жесткости. Кроме того, система уравнений также зависит и отистории нагружения, поскольку напряжение текучести зависит отнакопленных пластических деформаций, мерой которых принято считатькритерий Одквиста q и который в данном случае можно определитьинтегрированием интенсивности скоростей деформации по времени .:σ s = σ s ( q, ε и ) , q = ∫ ε и dttФормулировка МКЭ с помощью функционала Маркова имеетнедостатки:Не учтено условие постоянства объема (условие несжимаемости), поэтомув общем случае решение может этому условию не удовлетворять.Невозможно сразу определить тензор напряжений, поскольку с узловымискоростями связаны компоненты девиатора, а среднее напряжениенеобходимо определять дополнительно.Условие несжимаемости для жестко пластического материаларавносильно равенству нулю первого инварианта тензора скоростейдеформаций:I1 (Tε ) = ε ii = ε x + ε y + ε z = 0Один из наиболее распространенных способов учета несжимаемостиматериала – модификация функционала Маркова с помощью штрафнойфункции.1Φ* = Φ + ∫ Aε v2dV2VЗдесь A - большое положительное число, εV = ε x + ε y + ε z - скоростьобъемной деформации.
При минимизации такого модифицированногофункционала одновременно достигается и минимизация функционалаМаркова и минимизация скоростей изменения объема. В результатеполучаем компромиссное решение, максимально близкое к истинному полюскоростей и почти точно удовлетворяющее условию несжимаемости.Полные напряжения в точке определяются как сумма девиатора ишарового тензора σ ij = sij + δ ijσ cp , где δ ij - символ Кронекера.Компоненты девиатора могут быть непосредственно определены поскоростям узлов, полученным в результате решения основной системыуравнений:{s} = ⎡⎣ D p ⎤⎦ [ B ] v(e)Для определения полного напряжения необходимо знать еще и средниенапряжения σ cp в интересующей точке, которые непосредственно из{ }решения не могут быть получены.
Формулировка конечно-элементнойзадачи деформирования жестко-пластических тел с использованием398модифицирования функционала Маркова штрафной функцией объемныхдеформаций упрощает задачу определения среднего напряжения. В этомслучае можно показать, что средние напряжения пропорциональныполученным при решении объемным деформациям.σ cp = Aε vПоскольку определяющая система уравнений нелинейна, то для еерешения необходимо применять пошаговые итерационные методы. МетодНьютона, использующийся при решении нелинейных алгебраическихуравнений, рассмотрен выше в 4.9.11.В результате линеаризации исходной системы на итерации mполучают СЛАУ относительно приращений скоростей деформаций {∆U } :[Y ]m {∆U }m+1 = {∆Φ}mЯкобиан⎛∂ [ K ] ∂ { R} ⎞⎟−[Y ]m = ⎜⎜ [ K ] −⎟∂∂UU{}{}⎝⎠mВектор невязок:{∆Φ}m = {R} − [ K ]{U }()mПосле решения СЛАУ выполняют итерационное уточнение вектораскоростей{U } = {U } + {∆U }m +1mm +1Окончание итерационного процесса определяется одним из следующихусловий:нормой вектора невязок{∆U }mнормой вектора приращений≤ εU{∆Φ}m ≤ ε Φмаксимально разрешенным количеством итераций m ≤ M maxПолучение итерационного решения на шаге расчета {U }nпозволяетопределить компоненты тензоров скоростей деформаций в конечныхэлементах:{ε } = [B ] ve ,а затем и интенсивность скоростей деформаций:{}{ }{ }2 e Tv[ B]T ⎡⎣ D p ⎤⎦ [ B ] ve3численное интегрирование которой по времени позволяет получитьнакопленную деформацию, используемую в дальнейшем при определениитекущего значения напряжения текучести.εи =399Обобщенный алгоритм процессорнойпластических задач представлен на рисунке:стадиирешенияжестко-Шаг решения n : tn = tn −1 + ∆tn (цикл ПОКА t ≤ tmax )Разбиение детали на конечные элементы{ }n на шаге итерационнымИтерация m: определение вектора скоростей U{ }n = {R}решением СНлУ [ K ] U(цикл ПОКА ( m ≤ M max ) ∧( ∆Um)≤ εU ∧ ( ∆Φ m ≤ ε Φ ) )Определение матрицы жесткости (цикл по конечным элементам)Определение матрицы жесткости конечного элемента⎡k e ⎤ = ⎡k U , q ⎤⎥⎦m⎣ ⎦ m ⎢⎣eАнсамблирование [ K ] = ∑ ⎡ k ⎤m⎣ ⎦emОпределение якобиана YmОпределение вектора невязок {∆Φ}m({})[ ]{ }= {∆Φ}m с целью учетаМодификация СЛАУ [Y ] ∆Umm +1кинематических граничных условий{ }m+1Итерационное уточнение вектора скоростей {U }= {U } + {∆U }m +1mm +1Решение СЛАУ и определение вектора приращений ∆UВычисление компонент тензоров скоростей деформаций,напряжений.Определение накопленных деформаций qn +1 = qn + ( ε и ⋅ ∆t )nОпределение новой геометрии детали { X }n +1деформаций,= { X }n + {U } ⋅ ∆tnОсновные отличия этого алгоритма от процедуры решения нелинейныхзадач теории упругости заключаются в следующем:Шаг решения осуществляют по времени, поскольку в алгоритмеиспользуют численное интегрирование скоростей узлов для определенияновой геометрии детали.
Для упругих задач время процесса обычно неимеет значения.Из-за больших пластических деформаций элементы могут выродиться,поэтому приходится переразбивать сетку конечных элементов. Внекоторых программах такое переразбиение осуществляют на каждомшаге расчета.Матрица жесткости конечных элементов зависит от накопленнойдеформации. Для ее определения на каждом шаге выполняют численноеинтегрирование интенсивности скоростей деформации. Для нелинейныхупругих задач такая процедура не нужна.400Компоненты тензора скоростей деформаций обязательно рассчитываютсяна каждом шаге, поскольку от их величины зависит значение напряжениятекучести.
Для упругих задач расчет деформаций на шаге решениявыполняют по запросу пользователя.При жестко-пластической идеализации деформируемого теласуществует еще одна проблема, которая нами ранее не обсуждалась. Приобработке давлением реальных заготовок всегда существуют зоны, в которыхпластические деформации отсутствуют. Физически в этих зонах материалдеформируется упруго, при жестко-пластической же идеализации такие зоныстановятся «жесткими». Применение экстремальных принципов теориипластичности к таким зонам невозможно, поскольку все компоненты тензораскоростей деформации жестких зонах равны нулю.
Один из возможныхподходов – выявление в процессе численного решения зон в которыхскорости деформации стремятся к нулю с последующим закреплением узловконечных элементов в этих зонах – сложен при практической реализации.Нашел распространение подход, в котором зависимость напряжениятекучести от интенсивности скоростей деформации вблизи начала координатмодифицируется. Выбирают некоторую скорость деформации ε 0 ε и (ср )много меньшую, чем средняя интенсивность скоростей деформаций в объемезаготовки и на участке ( 0, ε 0 ) зависимость σ s ( ε и ) считают линейной.
Дляпрактических расчетов зоны, в которых ε и < ε 0 можно считать жесткими.σSσ S0ε0εиНедостатки жестко-пластического подхода по сравнению упругопластическим87 (использование приближенных решений для определениясредних напряжений и упругих зон, невозможность анализировать вопросыупругой разгрузки и остаточных напряжений) с лихвой компенсируются егоосновными преимуществами – увеличением скорости расчета и устойчивостирешения. Эти преимущества являются следствием того, что для жесткопластической схемы можно применять сравнительно большой шаг,87См.
4.9.13401поскольку значения напряжений получают на каждом шаге независимо отзначений на предыдущих шагах и ошибка вычислений не накапливается.Программные комплексы, основанные на жестко-пластическомподходе (например, QForm) с успехом используют для анализа как горячей,так и холодной объемной штамповки, когда упругими деформациямизаготовки можно пренебречь. Однако в том случае, если существенными дляисследователя являются вопросы упругой разгрузки (в том числеопределение остаточных напряжений и упругого последействия), то следуетпользоваться общей упруго-пластической постановкой задачи.4.9.13Использованиеупруго-пластических деформацийМКЭдляанализаВ общем случае при обработке металлов давлением возникают какупругие, так и пластические деформации.
Решение упруго-пластическойзадачи методом конечных элементов базируется на физических уравненияхПрандля-Рёйсса, которые постулируют взаимосвязь между приращениямидевиатора деформаций deij 88, приращениями девиатора напряжений dsij 89 исамим девиатором напряжений sij :p3 ( d ε )иdeij =sij+2G 2 σ иЗдесь:dsij( dε )иp– приращение интенсивности пластических деформаций, G –модуль упругости 2-го рода (модуль сдвига).Согласно постулатам теории течения, приращения деформацийпредставляют собой сумму приращений упругих и пластическихдеформаций,d ε ij = d ε ije + d ε ijpпричем упругие деформации определяются обобщенным законом Гука,а приращения объемных деформаций – объемным законом Гукаdσ cpd ε cp =.3KУравнения Прандтля-Рейсса могут быть преобразованы в зависимостьмежду приращениями напряжений dσ ij и приращениями деформаций d ε ij ив матричной форме принимают вид:{dσ } = ⎡⎣ De ⎤⎦ − ⎡⎣ D p ⎤⎦ {dε } = [ D]{dε }(8889)eij = ε ij − δ ijε cpsij = σ ij − δ ijσ cp402⎡ De ⎤⎣ ⎦Здесь–матрицаупругихкоэффициентов,аналогичнаясоответствующей матрице в решении упругой задачи, ⎡ D p ⎤ - матрица⎣⎦пластических коэффициентов.В частном случае плоской деформации:⎡ s xx s xx s xx s yy s xx s xy ⎤2⎢⎥( 2G )⎡D p ⎤ =ssssss⎢ xx yyyy yyyy xy ⎥⎣⎦ 4 2⎢⎥σ s ( 3G + H ) s s⎢⎣ xx xy s yy s xy s xy s xy ⎥⎦9Здесьdσ sH=- мгновенный модуль скоростного упрочненияdεиσsαtgα = H =dσ sdεиεиПоскольку напряжение текучести зависит от накопленной деформации,то в общем случае матрица пластических коэффициентов зависит отsij , интенсивности скоростейкомпонент девиатора напряженийпластических деформаций ε и , накопленных деформаций q = ∫ ε и dt(t)⎡ D p ⎤ = f s , q, εijи⎣⎦Таким образом, матрица пластических коэффициентов нелинейна.Матричная запись уравнений Прандтля Рейса может быть представленатакже и виде зависимости скорости изменения тензора напряжений откомпонент тензора скоростей деформаций.{σ } = ⎡⎣ De ⎤⎦ − ⎡⎣ D p ⎤⎦ {ε } = [ D ]{ε }Выражения для матриц упругих и пластических коэффициентов приэтом не изменятся.Формирование разрешающей системы уравнений может бытьвыполнено с использованием с использованием следующего вариационногопринципа: среди всех кинематически возможных решений точное решениесоответствует абсолютному минимуму функционала.()403Φ=1∫ σ ijε ij dV − ∫ pi vi dF2VFpДискретный аналог этого вариационного принципа подразумеваетдифференцирование по узловым неизвестным∂Φ=0∂ ve{ }Используемый для построения разрешающей системы уравненийупруго-пластического тела функционал Φ является практически полныманалогом функционала полной энергии Π , использовавшегося ранее в 4.9.8при выводе разрешающей системы уравнений для упругой деформации сзаменой входящих в подынтегральные выражения величин их производнымипо времени:σ ij → σ ij ; ε ij → ε ij ; pi → pi ; ui → ui = viВыполнив преобразования, аналогичные 4.9.8, и просуммировав поэлементам, получим:TT1Φ = ∑ ve ⎡ k e ⎤ ve − ∑ vePe⎣⎦e 2eгде⎡ k e ⎤ = ∫ [ B ]T [ D ][ B ] dV - матрица жесткости конечного элемента, в⎣ ⎦e{ }{ } { }{ }Vкоторой B – матрица градиентов, зависящая от геометрии и формы конечногоэлемента, D – нелинейная матрица упруго-пластических коэффициентов.Продифференцировав по узловым скоростям и приравняв результатнулю получим определяющие соотношения МКЭ для упругой-пластическойзадачи:{R} = [ K ]{U } ,Здесь{R}- вектор столбец скоростей изменения внешних узловыхнагрузок размерностью.{U } - вектор столбец узловых скоростей в глобальной системекоординат.[K] - глобальнаяматрицажесткостисистемы,полученнаяпоэлементным суммированием матриц жесткости каждого элемента[ K ] = ∑ ⎡⎣ k (e) ⎤⎦eГлобальная матрица жесткости нелинейна, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
