Книга: Синусоидальные токи

Распознанный текст из изображения:

УДК 621.3!

ББК 31.211

Д 75

Рецензент ИИ Ллакснн

2Дюбыш Гпй Секм ев В.С. Цеп си у дыь ого тока. Ме дД75 «вские у«иван к вмлолне ю до е о задания №2 о урву

«Эе р р Р . — М Изл- о М1ТУ им НЭ Баум «2002.— 20с.,ил

18ВН 5-7038-2008-1

Расс о рена епд ара аковидруги«эе «гр «аракгерс д у урной Пе с ою с о «ом синусоида «а мспслг зованием ко е аа» о метода

Для студен«сну-ш «урсафшул т онРК,Э иСМ

Ил. 16 Табл 1

УДК 621.31 ББК 31 211

С МГТУ им Н.Э Бау а и 2002

18ВН 5-7038-2008-1

Распознанный текст из изображения:

Цель — изучение и анализ линейных электрических цепей синусоидального тока с применением комплексного метода, применение этого метода для расчетов электрических цепей. где источники описываются синусоидальными функциями одной частоты, с помощью алгебры комплексных чисел, что упрощает запись уравнений цепи в общем виде и их анализ.

! . СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Для одной из электрических целей, изображенных на рис. 2-1 — 2-10, по заданным в табл. 1 параметрам и ЭДС источника вылолнизь следующие действия:

1.1. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках.

1.2. Составить баланс активной и реактивной мощностей.

1 3. Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму таков и потенциальную диаграмму напряжений (топографическую диаграмму) для внешнего контура.

14. Определить показания вольтмегра и акгивную мощность, показываемую ваттметром.

2. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ

(СИМВОЛИЧЕС(ОП() МЕТОД

Вся электроэнергия, которал нспалюуется в производстве и быту, вырабатывается с помощью специальных электрических машин, генерирующих электрический ток, изменяющийся во времени, но являющийся простейшей периодической функцией Это синусоидачьно (или косинусаидально) изменяющаяся вели~низ определяется выражением следующего вида (рис ! )

3(г) 4 2 нп(2лйтл сг) м! соК2айт и — я!2), (1)

Распознанный текст из изображения:

ь

где з)г) — мгновенные значения то «а. 1 — максимальное значение (амплитуда) тока. Аргумент синуса

11Я 1 э (2кг)т т а) определяет стадию или

а / ап Ыг фазу гармонического изменения

тока и поэтому называется фазным

Рис.!

углом, или просто фазой. Величина а представляет значение фазного угла в начальный момент времени (Г = 0), поэтому она называется начальным фюным углоы, или начальной фазой За промежуток времени, равный одному периоду Т, фазный угол изменяется на 2я. Величина 2я)Т характеризует скорость изменения фазного угла и обозначается буквой оз. Принимая ео внимание, что Т= ПТ, получим га = 2л!Т = 2яб Вводя в (1) обозначением для угловой частоты, получим

Кг) = 1 вт(сзг -ь а).

г2)

Начальный фазовый угол всегда отсчитывают от иомента, соответствующего началу синусоиды при переходе ее от отрицательного к положительному зна~ению, до момента начала отсчета времени. Если несколько синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, не опновременно достигают нулевых или максимальных значений, то зто означает, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Сдвиг фаз измеряется разностью фазовыых углов. Когда разность равна нулю, это означает, что синусоидальные функции одной частоты совпадают по фазе; если разность равна йп, то они противоположны по фазе, если разность равна тк)2, то они находятся в квадратурах

Формуле (2) можно дщъ геометрическое толкование Выберем прямоугольную систему осейМО)т'(рис 2) Расположим нод

углом а относительно горизонтальной М

0

оси вектор 1, длина которого в произвольно выбранном масштабе равна ам-

1

плитуде 1 Положительные углы откладываются против хода часовой стрелки, а отрицательные — по ходу часовой стрелРис. 2 ки. Пусть вектор 1, начиная о момента

Распознанный текст из изображения:

г = О, вращается вокруг точки О против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости ш. Спустя время Г вектор 1 составит с осью ОМ угол шт ь а. Его проекция в выбранном масштабе представляет мгновенное значение >(г) = 1 х х ап(ыг т и) в момент времеви г. Таким образом, между мгновенным значением > и вектором 1 можно установить однозначную связь, а вектор 1 назвать вектором, изображающим сииусаидальную функцию времени, или веьтором величины >, содер>кащим всю необходимую информацию. его модуль определяет амплитуду, аргумент — начальную фазу. Удобство операций с изображающими векторами проявляется при сложении мгновенных значений нескольких гармонических функций, когда эту операцию можно заменить сложением изображающих векторов, так как проекция суммы векторов равна сумме

их проекций.

Рассмотрии пример. Пусть в

электрической цепи, состоящей из (ь ~ " ~ С последовательно соединенных рези- (д з егора и, индукгивности Е, емкости

С, протекает переменный ток >(г),

создающий напряжения на участках

Ркс. 3

этой цепи (рис. 3)>

и>

ис = "г(г) =1—

лг '

3

и-= ко(Г) = — )кй.

С

Сумма этих напряхгеиий в любой момент времени равна прило-

женному к цепи напряжению ибф (второй закон Кирхгофа)>

ай 1

и(г) = и, + иг + ис = и т Ь вЂ” + — ) Мг .

>(г С

(3)

«,=и,(г) =л=г1 з>пег= О, апе>г; О, =г1; (4)

Полагая ток заданным в виде гармонической функции >(г) =. = 1 юпмг, найдем приложенное напряжение и(г) Определим каждый член правой части уравнения (3)

мгновенное напряжение на резисторе

Распознанный текст из изображения:

мгновенное значение напряжения на индукгивиости равно

гй

к

аз=в,(г) =6 — =ь — (т,в!пвг) =вх( пп(в!+ — ) =

ьй л! 2

(5)

а

= и ып(в!ь — );

2

и, =вб(.;

мгновенное значение напряжения на емкости

1 1 г . ! к

вс = вс(г) = — = — )'Т„зюва(г = — в1п(гег- — ) =

С С Св 2

а, 1 (6)

=и зю(вг-'-); и = — Т

к

тельный сдвиг по фазе на й —, причем напрвжение на индукгивно-

2

а я сти опережает ток на —, а напрвкение на емкости отстает на — .

2 2 Из формул (4) — (6) также следует, что их сумма, определяемая согласно закону Кирхгофа, должна быть синусоидальной функцией той же частоты, что и заданный ток. Теперь задача определения приложенного напряжения сводится к нахождению его амплитуды и и угла сдвига фаз между н и б Если принять, что! = 1 А,

1

г = 1 Ом, вЛ = 20 Ом, — = 21 Ом, можно вычислить векторы наСв

пряжений па формулам (4) — (6):

и, =11=(в

и = 1.20 = 20 В,

и =121=21В

Постоянная интегрирования в выражении для вс равна нулю, так «ак приложенное к цепи напряжение в = в(Г] не содержит постоянной составляющей Из формул (5) и (6) следует, что при дифференцировании и интегрировании синусоидаяьных функций, осушествляемьгх элементами цепи Х и С, получают синусоидальные функции той же частоты Но элементы 2 и С вносят дополни-

Распознанный текст из изображения:

У

П,

д)

'с

!сч

и представить соотношение (3) межЛу сииусоидальными функциями на векторной диаграмме, построенной в масштабе. Так как ток является общим для всех элементов последовательной цепи, изображающий вектор тока 1 удобно принять за бззовый и относительно его, руководствуясь формулами (3) — (6), осуществить построения всех других изображаю-

й<

н (г) = У„аш(ан — ф') = ! зш(еы — 45').

ших векторов, приняв масштаб

О,! В)мм. Фазовые углы всех векторов будут отсчитываться относиРнс. 4

тельно вектора тока

Следует отменив, что в рассматриваемом примере накалы|ый фазовый угол тока равен нулю, поэтому вектор тока на плоскости может быть направлен как удобно. Волн угол не равен нулю, то сначала произвольно выбирают прямоугольную систему координат м в ней размещанп изображающий вектор тока 1 и относительно него строят векторную диаграмму, а фазовые углы всех векторов теперь отсчитывают от координатных осей Для рассматриваемого примера посгроение осуществляегся в следующем порядке (рис. 4). Сначала на плоскости откладывают для удобства в горизонтальном направлении вектор тока 1, затем, как зто следует из уравнения (3), суммируют трн вектора (7, Усы У в такой последовательности: из точки О откладывают вектор У» с учетом его опережжощей на 0,5я фазы /см. формулу (5)/, затем— У,, совпадающий по фазе с током )см. формулу (4У, далее — Ум с учетом его отстающей на 0,5н фазы )см. формулу (6)~. Замыкает векторную сумму вектор приложенного напряжения У„, отстающий па фазе от тока 1 на угол ~р. Теперь из векторной лиаграммы можно найти (с учетом масштаба) У и р. Они равны У = ! В, н= 45 .Завершают расчегпостроением функции

Распознанный текст из изображения:

Для сложных электрических цепей геометрическое решение часто оказывается чрезмерно трудоемким — пользуясь нм, трудно записывать уравнения цепи в общем виде н анализировать их. Перейдем теперь к аналитическому методу и представим гармоническую функцию через экспоненту с мнимым аргументом (формулы Эйлера), тогда все расчеты должны проводиться с помощью алгебры комплексных чисел. Известно, что аналитически комплексное число н сопряженное ему можно представить в алгебраической, тригонометрической н показательной форме:

а=а, газ =А(соауг /з(пу) =Асл;

(7)

а=а, — а, =А(сову — /япу)=Ае л,

(8)

где а, — действительная и мнимая части комплексных чисев; А, у — нх модуль н аргумент.

Согласно (7) и (8), значения функций синуса и косинуса являются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа, нлн геометрически — проекциями вектора на действительную н мнимую осн. Если взять разность н сумму (7) н (8), псшучим известные формулы.

вшу )гп[ (ел [ (Аеэг Ае-л) .

л

2

л

сову = Ре[Аел) = — (Аел + Ае л).

2

(9)

(10)

Ае" =У ех""Ю =-У е'"ела =() е"',

(11)

Первый множнтель и этой формуле У =О„ел называется комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды являегся амплитуда синусондальной функции, а аргументом — начальная фаза, таким образом, комплексная амплитуда включает в ссб» оба параметра синусоиды: амплитуду и начальную фазу. Модуль второго множителя — экспоненты еял = сов вГ + у пп ыс — ра-

Для синусондапьной функции времени и(Г)=У згп(шсги), амплитуда А=И, аргумент у=мста, поэтому комплексная ве~гнчина в (9)

Распознанный текст из изображения:

и =14зш(сост 45'), () =14е'м;

1=5з(п(ыг — 30'), 2 =5е ™ .

Запись мгновенных значений синусаидальной функции по задан-

ной комплексной амплитуде также производится элементарно

1 = 100е 'и, тогда ~(г) = 100ыл,'озг — 60').

В методе комплексных амплитуд используют важное свойство зкспоненциальной функции, состоящее в том, что производная и интеграл от нее «аляются также экспоненциальным функциями, причем операция дифференцирования эквиваиентна умножению функции на)ы, а интегрирование †делен наро:

— (е'"') = /ае' ', )е"'ог = — е'"' . (12)

Й /оз

На основании изложенных правил можно составить комплексные алгебраические уравнения, соответствующие любым линей. ным дифференциальным уравнениям электрической цепи, записанным согласно законам Кирхгафа для гармонических функций Рассмотрим неоднородное дифференциальное )равнение (3) из примера:

и'1 , 1

Š— тйт -)и(г=Н ып(он — а) пг

(13)

Найдем установившийся синусоидальный ток а цепи, используя представление тока и напряжения в виде разности двух сопряженных экспонент (9). Первому слагаемому — напряжению Н е'"'

аен единице, его аргумент линейно нарастает во времени с угловой скоростью ы Геометрически экспонента будет изображаться единичным вектором, вращающимся с постоянной скоростью ы против хода часовой стрелки При г = О фиксируется начальное положение единичного вектора, которое совпадает с комплексной амплшудой, что обычно и используют при построении векторных диаграмм. Запись комплексной амплитуды па заданной синусоидальной функции получается очень простой, как легко убедиться из примера:

Распознанный текст из изображения:

булез соответствовать слагаемое тока Т„ел'. Подставим эти вели-

чины в уравнение (13) с учетом 112) н получим

уыЕ! ем'т-г)„е. э егм =гуашь — ьг)1 е' 4П е'"'. П4) /шт /юс

При подстановке в уравнение ПЗ) сопряженных слагаемых напряжения и тока, как легко проверить, получим равенство, сопряхсенное и, следовательно, эквивалентное равенству (14). Поэтому в формуле 19) сопряженное слагаемое можно отбросить, достаточно рассматривать действие только первого слагаемою. Решение уравнения П4) относительно искомой комплексной амплитуды тока приведет к соотношению

—, де г=г- Умйе . Пб) 1)

г ' лоб

Т

1

гьушХэ

уюС

1). = КТ„, Т. = ПТ..

Запишем теперь законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кнрхгофа — равновесие мгновенных значений таков ветвей ц в узле электрической цепи, при замене токов их комплексными амплитудами получает вид

1аягебраическая сумма комплексных амплитуд токов в узле равна

нулю).

10

Каэффициегп пропорционзльности Л между комплексными амплитудами тока и напра» ения зависит от элементов цепи и частаты и называется комплексньгм сопротивлением, но не является изображением синусоидальной функции времени

Таким образом, решение дифференциальных уравнений сволчтся к решению алгебраических уравнений. В этом и заключается главная особенность комплексного метода.

Введение комплексных сопротивлений и проводимостей как коэффициентов пропорциональности между комплексными амплитудами напряженна и тока позволяет перейти к закону Ома в комолексной форме для установившихся синусоидальных режимов.

Распознанный текст из изображения:

Второй закон Кирхгофа о равновесии мгновенных значений

напряжений иг в замкнутом контуре при замене напряжений нх

комплексными амплитудами приобретает вид

(алгебраическая сумма комплексных напряжений в контуре равна нулю).

При пользовании комплексными числами по-прежнему важны выбор и разметка положительных направлений

При анализе электрических цепей встречакпся нелинейные операции, например, произведение двух гармонических функций, как в случае вычисления мощности в цепи электрического тока, когдар=и1, а н =П азп(мгьб), 1йу э(п(м1та).

Произведение комплексных амплитуд ()„) не отражает баланса мощностей, хотя модуль этого произведения правильно определяет значение полной ьющности, на действительная н мнимая части не соответствуют активной и реактивной мощностям. Поэтому при расчете мощности комплексным методом вместо комплексного тока используют сопряженную ему величину, и тогда нужная расчетная формула

5=() 1=С.Теда ы йб[саз()) — и);- /эзп( — а)] =Рт)Д.

и

П= —,

где 5, Р, йэ — соответственно полная, активная и реактивная мощ-

ности.

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫШОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

К п. 1.1. Для заданной цепи следует указать неизвестные гскч и напряжения для мгновенных значений, затем записать уравнения связи этих токов и напряжений по законам Кирхгофа (см. домашнее задание кцепи постоянного токая). рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, изображенную иа рис 5 Обозначим все неизвестные токи в ветвях и запишем нужные уравнения

Распознанный текст из изображения:

23

гг Ь33

3)33, г)33 и=!» -31„— '-ьг! -«Ц — ';

яз 3 3 э! '

! г.. 3133 0 = 3 В+ — )",йг-;В -1„— '

с, ' 30

Этим уравнениям соответствуют комплексные алгебраические уравнения Рис. 5

13 13 313! У =Ог, ь згс1„)1, э(г,уыб,)1гы

()6)

! (гг ь . )13 6гг ь )ы~)13 '

103 В этих уравнениях все комплексные амплгпуды уменьшены в Г2 рвз, ге. 1, =1 ! Г2; 1, =1 1'ч32; 13 — — 1„)3 Г2; У =У )3 Г2.

Теперь необходимо вьгчислить все комплексные сопротивления ветвей, когда заданы параметры элементов ветвей. Пусть г = = )О м, г, = 50 м, г, = 50 м, Хг =ы1„= 60 и, Х„=ы13 =50 м, Хс = !) огС = 5 Ом, тогда их комплексные сопротивления равны 2 =1ыЕ,=61, 23 =1ы2 =51, У =)3)ыьг= — 51, и03)=Збч2згпыг, 1) = 36 В.

Решив совместно систему алгебраических уравнений 0)6) относительно токов 1о 1,1,, найдем.

1, =3(1 — 1)А, 1, = — 31А, 1, =ЗА. Напряжение на ветви с током 3, в комплексной форме

!), =1 бг — зХ, ) =3 (5 — 5!)=0!5 — )51)В.

К и. !.2. Баланс активной и реактивной мощности можно выразить уравнением баланса комплексной мощности: сумма всей по-

32

Распознанный текст из изображения:

трсблясмой мощности 15, -';5, ...), где 5„— мощность, потребляе-

мая калогой ветвью, равна всей подволимой 15„т5„+...), где 5, мощность, подводимая каждым генератором, т.е. ~Ум = 2 5,.

Балана комплексной мощности можне также предатавить в анде равенства

(17)

если положить, что направление токов в любом источнике принимается совпадающим с направлением его ЭДС. Если заменить 2 его составляющими, то получим выражение для активной и реактивной мощностей е правой части уравнения 117), которые должны быть равными соответствующим частям комплексной мощности в левай части.

Определим в рассматриваемом примере комплексную мощность источника

5 =Я, =36(3+31) =108г108У=РьЯ,

тле Р, Д вЂ” соответственно активная и реактивная мощности, отдаваемые источником, а затем комплексные мощности, потребляемые каждой ветвью.

5, =7;2, =(3 )2)~(1тбр)=18+108д

5, =7,'г, =3'15 52) =45+457;

5, =7,2, =3 гб — 52) =43 — 437 .

В итоге 2 Р„=Р ьР +Рз =108 Вт, 2 Е„=108+45 — 45=108 ВАР Условия баланса выполняются.

К п. 1.3. Распределение пстенщгала в цепи можно представить на комплексной плоскости, сопоставляя точки цепи с определенными точками на плоскость. Векторная диаграмма, при которой каждой точке цепи соответствует определенная тачка на плоскости, называется топографической. Длл построения топографической векторвой диаграммы поступаем тмс на основании проведенного расчета строим векторы токов 1о 2„7з; векторы составляющих напряжения на отдельных участках цепи отложены на диаграмме в том же порядке, в какам на схеме следуют состветсгвующие зле-

Распознанный текст из изображения:

менты цепи. Начало координат отмечено точкой а(е„=й). Комплексный потенциал точки Ь определяем согласно закону Ома.

р,= р,- У =ф„+1ыЬ,1,.

Численное значение второго слагаемого У, равно У„ = 1за~ = 35 = )5 В . Откладываем этот вектор в выбранном масштабе от точки а в направлении 11з, т.е. в направлении, опрелеляемом поворотом вектора тока 1з на угол 90' против хода часовой стрелки (рис. 6). Конец построенного вектора У, определяет точку Ь топографической диаграммы. Точно так же определяем потенциал точки с: ф,бфьь(l, =ф +1згз. Численное значение второго слагаемого У,ь равно У,ь =1зг, =3 5 =)5 В. Отюэадываеи этот вектор в направлении 1 ст точки Ь к искомой точке с. Их векторная сумма равна У . Далее в фвзе с 1, построим вектор 1,г, и перпендикулярно к нему в сторону опережения вектор 1Хь,1, . Их сумма дает векюр У . Сумма векторов У и У, равна вектору приложенного напряжения У (второй закон Кирхгофа). ,я ,л Рнс. 6 К и. 1.4. Вольтметр измеряет разность потенциалов между точками а и с Эта разность в комплексной форме равна

У, = 1,(г, — 1Хс, ) =15 — 151' . Модуль этого комплексною числа равен показанию вольтметра Показания ваттметра равно

Р=У1, созгр=5 3тГ2 соз45', где р — угол сдвига между У и 1,.

Распознанный текст из изображения:

о

о

р о

о

о

8

~8 8=8

!

,88888р

Я Я о

Д

Ю

.Ф а е

и

Ю В

Н

Ю

и

о Я Ы

й с

о

с

~~~3 Я о о о

и- ъЪ

о я л

~7

Распознанный текст из изображения:

2

й

Е о

а Й

'9

В В ~о

~в

4

4

О

й

О о д д

о о е

и

а о о

Х

~Ь ~в~ ~о~

Ч~н й

Распознанный текст из изображения:

~~$

з о

й

2

7

!

О"

.Я Е

о

а

ъ о

о о о о

4

~~~$$ДДддд

о о о о о о

оЯДЯЯ $ ЯЯ

4