1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 7

− Z 2 n  I 2  ...  =  ............................  ...  .    E   − Z − Z ... Z  I 2nnn  n  n   1n(3.1.5 а)Ниже мы укажем, как выбираются такие независимые контуры. Привыборе независимыхконтуров, частично состоящих из неперекрывающихся контуров, а частично из перекрывающихся, симметрияотносительно главной диагонали также останется. Однако теперь общиесопротивления, входящие в перекрывающиеся контуры входят в систему(3.1.5) с положительным знаком. Отметим, что, хотя система (3.1.5)вытекает из системы (3.1.3) при использовании математическихпреобразований, получать её все же проще непосредственной записьюканонических уравнений Кирхгофа для контурных токов.Общее решение системы (3.1.5) может быть получено, например,методом Крамера:Z11...Z1k −1E1Z1k +1...Z1nIk =Z 21...Z 2 k −1E2 Z 2 k +1...Z 2 nZ11Z12 ...Z1k ...Z1n:Z 21Z 22 ...Z 2 k ...Z 2 n.....................................

............................Z n1...Z nk −1En Z nk +1...Z nn=1∆n∑E ∆iik, (3.1.6)i =1Z n1Z n 2 ...Z nk ...Z nnгде ∆ – определитель системы, ∆ik – алгебраические дополнения элементовZik, в которых k соответствует номеру столбца, исключаемого изопределителя системы.Для записи систем (3.1.3), (3.1.5) необходимо уметь находить в цепивсе независимые контуры. Основываясь на принципе, что независимыеконтуры отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью, развиты двапростых способа их нахождения.Первый способ.

Выбирают систему ветвей (дерево схемы), котораясодержит все узлы, но не содержит ни одного замкнутого контура. Всенезависимые контуры получают поочередным присоединением к данномудереву новых ветвей.Второй способ. Выбирают произвольный замкнутый контур. Всенезависимые контуры получают последовательным размыканием(отсоединением) одной ветви в предыдущем контуре и нахождением воставшейся цепи нового замкнутого контура.В теории графов доказывается, что найденное таким способомколичество независимых контуров равно в точности p - q + 1.

Первыйспособ более предпочтителен, так как при использовании его независимыеконтуры не перекрываются и получаемая система канонических уравнений40не только симметрична относительно главной диагонали, но в ней всеобщие сопротивления вошли с отрицательным знаком. Это даетдополнительный контроль правильности составления системы уравнений.Во многих случаях для сравнительно простых схем независимые контурымогут быть найдены без применения общих методов, а лишь на основанииизвестного их числа.Пример 3.1.1.

Запишем в качестве примера уравнения Кирхгофа дляконтурных токов для цепи приведенной на рис. 3.1.2. для двух случаев: 1)случай не перекрывающихся контуров, 2) случай смешанных контуров(часть перекрываются, а часть нет).Первыйслучай.Найдемнезависимые не перекрывающиесяконтуры первым способом.

Деревомсхемы являются ветви cодержащиесопротивления Z2 и Z5 и выходящиеиз нижнего узла. Подсоединениеветви с сопротивлением Z1 образуетпервый контур, подсоединение ветвис сопротивлением Z3 – второйРис. 3.1.2контур, а присоединение ветви ссопротивлением Z4 – третий контур. Все контурные токи положимтекущими по часовой стрелке.

Тогда каноническая система уравненийимеет вид: E1 = ( Z1 + Z 2 ) I1 − Z 2 I 2 + 0 I 3− E2 = − Z 2 I1 + ( Z 2 + Z 3 + Z 5 ) I 2 − Z 5 I 3 ,E − E = 0I − Z I + (Z + Z ) I315 245 3 2(3.1.7)а ее матричный – вид0  I1  E1   ( Z1 + Z 2 ) − Z 2   − E2  =  − Z 2 ( Z 2 + Z 3 + Z 5 ) − Z 4  I 2 E − E   0( Z 4 + Z 5 )  I 3 − Z43 2(3.1.7 а)Видно, что матрица сопротивлений имеет симметрию относительноглавной диагонали и что сопротивления, принадлежащие разнымконтурам, входят со знаком минус.Второй случай. Найдем независимые контуры вторым способом. Вкачестве исходного контура возьмем контур состоящий из ветвей систочниками ЭДС Е1 и Е2 и ветви с сопротивлением Z3. Разомкнем ветвь сЕ1 и возьмем в качестве второго контура замкнутый контур из ветвей,содержащих сопротивления Z2, Z3 и Z5.

Отсоединим ветвь ссопротивлением Z3, оставшийся последний контур будет третьим.41Дальнейшее размыкание (отсоединение) ветвей приведет к отсутствиюзамкнутых контуров. Пусть все токи имеют направление по часовойстрелке. Тогда каноническая система уравнения Кирхгофа имеет вид E1 − E2 = ( Z1 + Z 3 + Z 5 ) I1 + Z1I 2 − Z 5 I 3, E1 = Z1I1 + ( Z1 + Z 2 ) I 2 + 0 I 3E − E = −Z I + 0I + (Z + Z ) I35 1245 3 2(3.1.8)или в матричном видеZ1− Z 5  I1  E1 − E2   ( Z1 + Z 3 + Z 5 )  Z1( Z1 + Z 2 )0 I 2  . E1  = E − E   − Z0( Z 4 + Z 5 )  I 3 35 2(3.1.8 а)Видно, что матрица сопротивлений имеет симметрию относительноглавной диагонали. Однако знаки общих сопротивлений зависят от того,являются контуры перекрывающимися или нет.

При не перекрывающихсяконтурах знак минус, а при перекрывающихся контурах знак плюс.При составлении системы уравнений Кирхгофа для контурных токовпредполагалось, что во всех контурах имеются только источникинапряжения. При наличии в схеме источников тока их заменяютэквивалентными источниками напряжения или берут в качествеконтурных токов токи идеальных источников тока.

В последнем случаечисло уравнений (ранг системы) уменьшается на количество известных(заданных) контурныхZ1Z3токов.Пример3.1.2.Найдем токи в ветвяхI2схемы, изображеннойI00I1Z2нарис. 3.1.3.Она E1Z4состоитиздвухI3идеальных источниковнапряжения E1, E2;идеального источникаE2тока I00 и комплексныхРис. 3.1.4сопротивлений Z1, Z2,Рис. 3.1.3.Z3, Z4.

Схема имеет пять ветвей и три узла. Число независимых контуровравно трем. Однако в силу того, что в схеме имеется идеальный источниктока, для нахождения контурных токов достаточно найти два независимыхконтура не содержащих идеальный источник тока. Тогда как в контуре,содержащем источник тока, контурный ток приравнять току источника.Будем искать независимые контуры вторым способом. В качестве первого42возьмем контур, состоящий из источника тока E1 и комплексныхсопротивлений Z1 и Z2. Уберем ветвь с Z1. Тогда следующим (вторым)контуром можно взять любой другой замкнутый контур.

Возьмем,например, контур, состоящий из сопротивлений Z2, Z3 и источника тока. Вэтом случае получить следующий (третий) независимый контур можнолишь размыканием ветви, содержащей идеальный источник тока. Этотконтур будет состоять из источника напряжения E2 и сопротивлений Z2, Z3,Z4. Неизвестными контурными токами являются токи I1 и I3 для первого итретьего контура. Во втором контуре контурный ток I2 = I00, и направлениеего совпадает с направлением тока источника тока.

Направления токов I1 иI3 выберем по часовой стрелке. В итоге, уравнения для контурных токовимеют вид E1 =Z1I1 +Z2(I1 −I00−I3) =(Z1 +Z2)I1 −Z2I00−Z2I3,(3.1.9)−E2 =−Z2(I1 −I00−I3)+Z3(I3 +I00)−Z4I3 =−Z2I1 +(Z2 +Z3)I00+(Z2 +Z3 +Z4)I3.Решение этой системы приводит к выражениям для контурных токовI1 =( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) E1 − Z 2 E2 + Z 2 Z 4 I 00,( Z1 + Z 2 )( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) − Z 22Z E − ( Z1 + Z 2 ) E2 − ( Z1Z 2 + Z1Z 3 + Z 2 Z 3 ) I 00.I3 = 2 1( Z1 + Z 2 )( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) − Z 22(3.1.10)Реальные токи в сопротивлениях получают из соотношенийI Z1 = I1 , I Z 2 = I1 − I 3 − I 00 ,I Z 3 = I 3 + I 00 , I Z 4 = I 3.(3.1.11)Дальнейшие алгебраические вычисления опустим.3.2. Метод узловых потенциалов (напряжений)Метод узловых напряжений основан на явном использовании законатоков Кирхгофа.

В отличие от метода контурных токов основныминеизвестными считают узловые потенциалы. В уравнениях записанных наосновании закона токов Кирхгофа токи в ветвях определяются черезпотенциалы на концах ветвей. На рис. 3.2.1 а изображена часть цепи спятью ближайшими узлами. Запишем закон тока Кирхгофа для k-го узла,используя закон Ома для ветвей. При этом удобно полагать, что токивтекают в узел. Тогда:U k +2 − U k U k +3 − U k U k +1 − (U k − Ek )++− I 0 k −1 = 0 .Z k +1Z k +2Zk(3.2.1)Рис.

3.2.143I0kI0k-1I0k-1баОтметим, что закон Ома связывает направление тока в сопротивлении сразностью потенциалов, поэтому можно не задумываться о направлениитоков в узлах и для каждого узла, записывая уравнение Кирхгофа, считатьтоки в сопротивлениях втекающими.Выражение (3.3.1) удобно преобразовать к каноническому видуEk111111)Uk − Uk +1 −− I0k−1 = ( ++Uk +2 −Uk +3 . (3.2.2)ZkZk Zk+1 Zk +2ZkZk +1Zk +2Это уравнение проще получить, заменив источник напряжения в k-й ветви(сопротивление ветви Zk рассматривается как внутреннее сопротивлениеисточника ЭДС – Ek) на источник тока: J 0 k = Ek Z k (см.

рис. 3.2.1 б).Тогда левая часть канонического уравнения является суммой токовисточников тока присоединенных к выделенному узлу. Втекающие токиберутся со знаком “+”, а вытекающие – со знаком “–”. Правая частьсостоит из слагаемых, где обязательно есть член, являющийсяпроизведением суммы проводимостей ветвей, входящих в выделенныйузел (первый член в уравнении (3.2.2)), и его потенциала. Другие членыявляются произведением проводимости ветви и потенциала узла,связанного этой ветвью с выделенным узлом. Причем последние членыберутся со знаком “–”.В общем случае для получения системы уравнений можно следоватьдвумя путями.Первый путь – это прямое использование закона Ома и закона токовКирхгофа для определения токов ветвей. Получаемая система линейнонезависимых уравнений ранга q-1 состоит из уравнений видаSI∑kI ks =SY∑Yks (U s− U ks )s ∈ (1, q − 1) ,(3.2.3)k44где суммирование ведется по всем источникам тока (SI) соединенным сузлом s и по всем токам в ветвях (SY) входящих в узел.

Ток источниковберется со знаком “+”, если он втекает в узел и со знаком “–”, есливытекает. Yks – проводимость ветви, соединяющей узел s с узлом k,имеющим потенциал Uks. При этом не обязательно источники напряженияпреобразовывать в источники тока.Второй путь – это сразу записывать канонические уравнения для q - 1узлов,предварительнозамениввсеисточникинапряженияэквивалентными источниками тока: I 01 = Y11U1 − Y12U 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − Y1, q −1U q −1 , I 02 = −Y21U1 + Y22U 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − Y2, q −1U q −1 ,....................................................................I 0, q −1 = −Yq −1,1U1 − Yq −1, 2U 2 − ⋅ ⋅ ⋅ + Yq −1, q −1U q −1(3.2.4)или в матричном виде I 01   Y11 − Y12 ........... − Y1,q −1 U1  Y22 ........... − Y2,q −1 U 2  I 02   − Y21 ...  = ...

  ........................................... I 0,q −1   − Y  q −1,1 − Yq −1, 2 ... − Yq −1,q −1 U q −1 (3.2.5)В выражениях (3.2.4), (3.2.5.) I0i являются алгебраической суммойтоков источников тока, присоединенных к узлу i (знак "+" берется длявтекающих токов, а знак "-" – для вытекающих). Отметим, что Yki = Yik иполучаемая система симметрична относительно главной диагонали.