1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 6

Векторные диаграммыПри расчетах электрических цепей удобно использовать векторныедиаграммы, где на комплексной плоскости комплексному напряжению илитоку соответствует радиус-вектор. Длина вектора пропорциональнадействующему или амплитудному значению, а угол поворота отвещественной оси (оси абсцисс) равен мгновенному значению фазыωt + ψ . Изменение фазы со временем на векторной диаграммесоответствует вращению векторов против часовой стрелки. Проекциивекторов на мнимую ось соответствуют мгновенным значениям тока илинапряжения.

Так как вращение векторов происходит с одинаковой угловойчастотой ω, то относительное расположение нескольких векторов,соответствующих токам и напряжениям в схеме, сохраняется в любоймомент времени. Чаще всего интерес представляют именно относительныефазы напряжений и токов. Поэтому векторную диаграмму строят всистеме отсчета, вращающейся с частотой ω .34Нарис.

2.4.1приведенатакаявекторнаядиаграммацеписUULICURΨ1UL - U CΨIIΨ1IC - ILΨURIRILUCРис. 2.4.2Рис. 2.4.1последовательно соединенными R, L, C и заданным током I = I m ejψ.Напряжение на сопротивлении находится в фазе с током, а наиндуктивности и емкости соответственно опережает или отстает наπ2.Поэтому векторы UR и I коллинеарные, а UL, и UC перпендикулярнывектору I. Полное падение напряжения на цепи находится по правиламсложения векторовU m = U R2 + (U L − U C ) 2 = I m R 2 + (ωL −1 2) ,ωC(2.4.1)а разность фаз между полным напряжением и током определяется угломмежду векторами U и Icos(ψ 1 − ψ ) =UR=UmR1 2)R + (ωL −ωC.(2.4.2)2На рис.

2.4.2 приведена векторная диаграмма цепи с параллельнымсоединением R, L, C. Напряжение на цепи U = U m ejψ. Принциппостроения диаграммы такой же, что и на рис.2.4.1. Полный ток в цепинаходится сложением векторов токов IR, IL, ICI m = Um11+ (ωC − )2 ,2ωLR(2.4.3)а разность фаз между напряжением и током равна углу междувекторами U и I35cos(ψ1 −ψ ) =1R11+ (ωC − )22ωLR.(2.4.4)Использование векторных диаграмм в ряде случаев оказывается болееэффективно, чем применение стандартных методов, основанных накомплексной алгебре.36§ 3. Методы расчета электрических цепейРасчет электрических цепей предполагает нахождение во всех ветвяхтоков и напряжений по заданным параметрам активных и пассивныхэлементов.

Приведенные методы расчета относятся к синусоидальным ипостоянным источникам тока и напряжения. Линейность элементов цепипозволяет обобщить рассматриваемые методы на случай источника спроизвольной формой сигнала, представляя его в виде суммы гармоник.Искомые токи и напряжения будут являться суммой токов и напряжений,рассчитанных для гармоник. В случае работы нескольких источниковискомые напряжения и токи являются суперпозицией напряжений и токов,рассчитанных для каждого источника в отдельности, когда другиеисточники удалены из электрической цепи. Удаление источникапроизводят либо замыканием идеального источника напряжения, либоотсоединением идеального источника тока. Элементы схемы,изображающие внутреннее сопротивление или проводимость источника,остаются включенными в схему.Для случая постоянных источников напряжения и тока общая системауравнений (1.5.1), составленная на основании законов Ома и Кирхгофа.Была приведена в § 1.

Для случая синусоидальных источников энергии в(1.5.1) достаточно заменить активные сопротивления (R) комплексными(Z). Трудоемкость решения таких систем, в аналитическом виде тембольше, чем выше ранг системы. Поэтому в электротехнике разработаныметоды, позволяющие на основе физических свойств цепи упроститьнеобходимые расчеты.В этом параграфе рассмотрим подробно наиболее важные методырасчета цепей: метод контурных токов, метод узловых напряжений,метод суперпозиции, а также эффективный метод для случая, когданеобходимо знать ток или падение напряжения только для одной ветви:метод эквивалентного источника.3.1.

Метод контурных токовМетод контурных токов основан на отказе от прямого вычислениятоков ветвей из уравнений Кирхгофа. В этом методе в качественеизвестных вводятся новые промежуточные контурные токи. Нарис. 3.1.1 выделена часть цепи с тремя близлежащими контурами.Контурные токи изображены изогнутыми стрелками. Удобно выбратьодно направление для всех контурных токов, например по часовойстрелке, как на рис. 3.1.1. Контурный ток входит и тут же выходит излюбого узла. Поэтому закон токов Кирхгофа для контурных токовудовлетворяется автоматически и достаточно записать p – q + 1 уравнений37на основании закона напряжений Кирхгофа. Физические токи являютсясуперпозицией контурных токов, протекающих по конкретной ветви илиэлементу цепи. Например, так ток в ветви состоящей из сопротивления Zk2определяется контурными токами Ik+1 иIk.

Пусть он течет в сторону контурноготока Ik, тогда его определяют, какI Z = I k − I k +1 .Сматематическойk2стороны это является удобным выборомзамены переменных, который возможенв силу линейности уравнений Кирхгофа(независимости сопротивления, емкостиииндуктивностиотвеличиныпротекающего тока). Однако найтиРис. 3.1.1такую математическую замену непросто,тогдакакфизическиерассуждения наглядно решают эту проблему.Запишем уравнение Кирхгофа для выделенного k-го контура нарис. 3.1.1 с использованием контурных токовEk = Z k1 ( I k − I k −1 ) + Z k 2 ( I k − I k +1 ) + ( Z k 3 + Z k 4 ) I k .(3.1.1)Это уравнение удобно преобразовать к каноническому видуEk = ( Z k1 + Z k 2 + Z k 3 + Z k 4 ) I k − Z k1 I k −1 − Z k 2 I k +1 .(3.1.2)Особенность этого уравнения заключается в том, что оно состоит изслагаемых, характерных для всех уравнений, записываемых на основаниизакона напряжений Кирхгофа для контурных токов.

В таких уравненияхвсегда присутствует слагаемое, определяющее падение напряжения навсех элементах контура, вызванное прохождением собственногоконтурного тока (первое слагаемое в уравнении (3.1.2)) и слагаемые,связанные с падением напряжения на элементах, по которым протекаютеще и другие контурные токи (второе и третье слагаемое в уравнении(3.1.2)). Эти элементы одновременно входят как в выделенный контур, таки в другие контуры. В уравнения Кирхгофа эти последние слагаемыевходят со знаком минус (см.

уравнение (3.1.2)) при условии, чтонезависимые контуры не перекрываются (как на рис. 3.1.1) и контурныетоки выбраны текущими в одном направлении.В общем случае уравнения Кирхгофа можно записывать двумяспособами.Первый способ основан на физическом принципе замены реальныхтоков в обычном уравнении Кирхгофа на суперпозицию из контурныхтоков, так как это было сделано при написании уравнения (3.1.1). В этомслучае, падение напряжения на пассивном элементе равно произведению38комплексного сопротивления на сумму контурных токов, проходящихчерез данный элемент.

ТогдаSE∑Eis =iSZ∑ Z ⋅ (∑ I ) ,isiss ∈ (1, p − q + 1) .(3.1.3)В уравнении (3.1.3) суммирование проводится по всем ЭДС (SE) и повсем комплексным сопротивлениям (SZ), входящим в контур.Сумма ( I ) s представляет собой сумму контурных токов, проходящих∑через элемент Zis. ЭДС Eis и контурные токи I берут со знаком “+” или “–”в зависимости от того, совпадают или не совпадают их направления свыбранным направлением обхода контура. При n независимых контуровполучают систему уравнений из n независимых уравнений вида (3.1.3)ранга n.

В рассматриваемом случае n = р – q + 1. Алгебраическимипреобразованиями полученная система приводиться к каноническомувиду.Второй способ основан на прямой записи уравнений Кирхгофа дляконтура в каноническом виде (см. уравнение (3.1.2)). Им обычнопользуются при наличии практики в расчетах цепей. Система такихлинейно независимых уравнений с рангом n имеет вид E1 = Z11I1 + Z12 I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Z1n I nE = Z I + Z I + ⋅ ⋅ ⋅ + Z I 221 222 22n n................................................. En = Z n1I1 + Z n 2 I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Z nn I n(3.1.4)или в матричном виде E1   Z11Z12 ...Z1n  I1     E2   Z 21Z 22 ...Z 2 n  I 2  ...  =  ...................

 ...  .    E   Z Z ...Z  I  n   n1 n 2 nn  n (3.1.5)В системах (3.1.4) и (3.1.5) Ei – контурная ЭДС (алгебраическая суммаЭДС, входящих в i-тый контур); Zii – собственное сопротивление i- гоконтура (сумма сопротивлений, входящих в i- й контур); Zik –сопротивление, входящее в контуры i и k. При отсутствии общегосопротивления у контуров в системе (3.1.5) записывают нулевой член.Если направление для всех контурных токов выбрано одинаковое, то прине перекрывающихся независимых контурах все Zik при i ≠ k входят всистему с отрицательным знаком, причем в силу Zik = Zki определительсистемы симметричен относительно главной диагонали:39 E1   Z11 − Z12 ... − Z1n  I1     E2   − Z12 Z 22 ...