1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 10

Получился замкнутыйконтур, поэтому цепь называют последовательным колебательнымконтуром. Найдем ток в контуре методом комплексных амплитуд изалгебраического уравнения56Eme jψ = Z( jω)I = (R + jωL +11)I = Z e jψ0 I = R2 + (ωL− )2 e jψ0 Ime jψ1 , (4.1.1)ωCjωCгде ψ 0 – аргумент комплексного сопротивленияtgψ 0 =ω L − 1/ ωCRR,(4.1.2)ψ 1 – фаза тока.LКомплексная амплитуда тока равнаEE==Z R(1 + j 1 (ωL − 1 ))RωCEm exp( jψ )==ω ω0R(1 + jQ( − ))I=ECω0Рис. 4.1.1=EmREmR1ω ω0 21+ Q ()−ω0 ωωexp( j (ψ − ψ 0 )) =2121+ Q x2(4.1.3)exp( jψ 1 ) = I m e jψ 1 ,гдеIm =EmR11 + Q2 x2,(4.1.4)амплитуда тока.

Мгновенный ток – i(t ) = I m sin(ωt +ψ1 ) . Сдвиг фаз (илиразность фаз) между током и напряжением обусловлен комплекснымсопротивлением контура. В данных обозначениях он записывается какtg (ψ 1 − ψ ) = −ω L − 1/ ω CR= −Qx .(4.1.5)В равенстве (4.1.3) введены следующие параметры:ω0 = 1LC(4.1.6 а)– собственная частота контура;Q = L/C R = ρ / R(4.1.6 б)57– добротность последовательного контура;ρ = L/C(4.1.5 в)– волновое сопротивление контура;x=(ω ω0− )ω0 ω(4.1.6 г)– относительная расстройка.При ω = ω0 амплитуда тока имеет максимальное резонансное значениеI mo = Em / R , поэтому эту частоту еще называют резонансной. Нарис. 4.1.2 приведены резонансные кривые тока для Q = 150 – пунктирнаялиния, Q = 50 – сплошная тонкая, Q = 20 – жирная линия.I---I010.80.60.40.20.9511.051.1f---_f0Рис.4.1.2.При увеличении добротности контура частотная характеристика токасужается (см.

рис. 4.1.2.). По ширине частотной зависимости Imопределяют полосу пропускания контура 2∆ω = 2(ω − ω 0 ) . Условилисьсчитать, что она определяется шириной спектра на уровне 1 2 ≅ 0,707от максимального (резонансного) значения. В области ω0 относительнуюрасстройку можно рассчитывать как x ≈ 2∆ω ω 0 . Если спектр амплитудытока достаточно узкий, такой, что в этой области частот он спадает доуказанных значений, то полосу пропускания контура, можно связать сдобротностью контура простым выражением2 ∆ωω0=1.Q(4.1.7)В радиотехнике обычно имеют дело с контурами большой добротности≥ 102, поэтому эта формула часто используется для взаимного определенияполосы пропускания и добротности.

Согласно выражению (4.1.6 б)2∆ω / ω 0 = R / ρ . Откуда следует, что увеличениеполучаемсопротивления контура расширяет полосу пропускания контура.58При резонансной частоте ω = ω0 разность фаз ψ 0 = ψ 1 − ψ междутоком и приложенным к контуру напряжением равна нулю. Обычноговорят, что ток и напряжение в цепи находятся в фазе. Это условие врадиотехнике используется для определения резонансных частотпоследовательного колебательного контура.

Математически оносоответствует требованию равенства нулю реактивной части полногокомплексногосопротивленияконтураIm Z ( jω0 ) = 0 .ДлярассматриваемогоконтуракомплексноесопротивлениеравноZ = R + jωL + 1 jωC . Поэтому, это условие будет выполняться, когдаω 0 L = 1 ω 0C , т. е. при ω0 = 1 LC.Отсюда, согласно уравнению (4.1.1),сразуполучаетсярезонанснаяамплитуда тока I mo = Em R . При этойчастоте напряжение на емкостиРис. 4.1.3U C = I mo jω0C = − jEm Qи на индуктивностиU L = jω0 LI mo = jEmQ .Видно, что они равны и находятся впротивофазе (имеют разные знаки).Поэтомуорезонансевпоследовательном контуре принятоговоритькакорезонансенапряжений.Навекторнойдиаграмме (рис.

4.1.3) наглядновидно отсутствие разности фазмежду током и напряжением, таккак векторы тока и напряженияколлинеарные, а сдвиг по фаземежду ними 1800.Нарис. 4.1.4показаныамплитудно-частотныехарактеристики(АЧХ)напряжениянаконденсаторе – тонкая сплошная линия, на емкости – жирная линия, наиндуктивности – пунктирная линия. Параметры контура: L = 0,25 мГн,С = 1 мкФ, R = 6,8 Ом, Q = 2,5, E = 1 B. Напряжения на емкости ииндуктивности при ω = ω0, хотя и в Q раз больше приложенногонапряжения, тем не менее, они не максимальны. Максимальная амплитуданапряжения на емкости достигается при ωC = ω0 1 − 1 2Q 2 , а наиндуктивности – при ω L = ω01 − 1 2Q 2 . Частоты ωC и ωL также можно59считать резонансными частотами.

Однако в радиотехнике их не считаютрезонансными, так как они не удовлетворяют условию Im Z ( jω0 ) = 0 .Это связано с тем, что из-за использования в радиотехнике контуров сбольшой добротностью вообще не возникает потребности в выделенииданных частот, так как практически нет различы между ωC и ωL или ω0.Например, при Q = 100 частоты ωC и ωL отличаются от ω0 всего на≈ 2 ⋅10 −3 % . С уменьшением добротности максимумы в спектрах UC и ULразмываются до полного исчезновения. На рис. 4.1.5 приведенычастотныехарактеристикинапряженийнаемкостиииндуктивности для трех значенийдобротности Q = 1, 2.5 и 5.

Отметим,что мощность, вводимая в контур, а,следовательно, и рассеиваемая в5UKC C 4ER15Рис. 4.1.60.511.5------ Q = 2.52Q=12f--f0CQ=53------ Q = 2.52LUKL L 4Q=531R1Q=10.511.52f--f0Рис. 4.1.5.нем, максимальна при максимальном токе, т. е. при ω = ω0.Внутреннее сопротивление источника напряжения складывается ссопротивлением ненагруженного контура.

Поэтому последовательныерезонансные контуры обычно используют с источниками напряжения, длякоторых активное сопротивление много меньше активного сопротивленияконтура. Это позволяет избегать расширения полосы пропускания контура.Пример 4.1.1. Для схемы приведенной на рис. 4.1.6 найдемрезонансную частоту, добротность контура и полосу пропускания.

Приусловии ρ / R1 << 1 , где ρ = L / C – волновое сопротивление. В этойсхеме идеальный источник напряжения E питает колебательный контур,состоящий из сопротивления R, индуктивности и емкости с потерями, представленными параллельно включенным резистором R1. В контуреисточник напряжения, емкость и индуктивность, несмотря насопротивление R1, образуют последовательный контур и, следовательно,цепьявляетсяпоследовательнымколебательнымконтуром.60Проанализируем резонансные явления в контуре методом комплексныхамплитуд. Комплексное сопротивление контураZ ( jω ) = R + jω L +R1=1 + jωCR1R1ωL + ωCR1 (ω 2CL − 1)=R++=j1 + (ωCR1 ) 21 + (ωCR1 ) 22(4.1.8)R1ωL + ω 3C 2 R1 LωCR1−j+.j221 + (ωCR1 )1 + (ωCR1 )1 + (ωCR1 ) 22=R+2Первые два слагаемых в уравнении (4.1.8) можно рассматривать какэффективное сопротивление контура, а два последних – каксоответственно сопротивления эффективной индуктивности и емкости.Возникновение резонанса будет происходить при частотеω=1Lρ21−=ω1−,022CR1R1LC(4.1.9)обеспечивающей выполнение условия Im Z ( jω ) = 0 .

При этой частотеток и ЭДС источника находятся в фазе и величина тока максимальна.Отметим, что колебания в контуре возникают лишь при условииρ / R1 < 1, когда резонансная частота вещественна. Невыполнениеэтого условия исключает возникновение колебаний (см. эту задачуниже, в 4.1.2). При ρ / R1 << 1 резонансная частота ω ≈ ω0, акомплексное сопротивление в окрестности ω0:Z ( jω ) ≈ R + R1ρ22R1+ jω L +1,jω C(4.1.10)т. е. оно соответствует простому последовательному контуру сэффективным сопротивлением Rэф = R + R1 ρ 2 / R12и с такими жеемкостью и индуктивностью, как в исходном контуре. Поэтомудобротность контура легко находится какQ≈ρRэф=ρ.2R + R1 ρ 2 / R1(4.1.11)Наличие шунтирующего емкость сопротивления R1 сказывается темменьше, чем лучше выполняется неравенство ρ / R1 << 1.

Отметим,что это решение корректно при наличии большой добротности неменее ≈ 102.614.1.2*. Физический способ определения параметров контураФизический способ определения параметров контура основан нарассмотрении колебательных процессов в контуре. Найдем собственныеколебания тока в простом последовательном контуре. Такие колебаниябудут возникать, если, например, зарядить емкость, а затем выходыконтура замкнуть. Иначе говоря, в начальный момент времени (t = 0)напряжение на конденсаторе равно uc(0), а весь контур состоит из цепи споследовательным соединением емкости, индуктивности и сопротивления.По закону напряжений Кирхгофаtdi1L + Ri +idt + uc (0) = 0 .dtC0∫(4.1.12)Дифференцируя (4.1.12), получаем уравнениеd 2i R di1++i = 0,2L dt LCdt(4.1.13)описывающее изменение тока со временем.

Уравнение (4.1.12) являетсяобычным однородным дифференциальным уравнением, описывающимзатухающие колебания. Решение этого уравнения ищут в видеi (t ) = I1e p1t + I 2 e p2t ,(4.1.14)RR21 , – корни характеристического уравнения±−22LLC4LR1p2 + p +=0,(4.1.15)LCLгде p1, 2 = −а I1, I2 – константы, определяемые из начальных условий. Врассматриваемом случае в первый момент t = 0 ток равен нулю i (0) = 0 .Физику этого начального условия рассмотрим подробно в § 5. Тогда изуравнения (4.1.12) получаем начальное условие на производную от тока:u ( 0)di=− cПри отсутствии диссипации энергии (R = 0) колебания токаdtLне затухают и имеют частоту ω0 = 1 LC , которая называетсясобственной частотой контура.

Наоборот, при значительной диссипацииэнергии за период собственных колебаний (R/2L > ω0) ток в контуре несовершает никаких колебаний, а лишь экспоненциально затухает. Такоезатухание колебаний называют апериодическим. В промежуточном случаеслабого затухания (R/2L < ω0) величина тока экспоненциально падает,совершая при этом периодические колебания62i (t ) = I m exp(−δt ) cos(ω1t + ϕ ) .(4.1.16)Здесь δ = R/2L, ω1 = ω02 − δ 2 , а Im и ϕ – постоянные интегрирования,определяемые из начальных условий. В рассматриваемом случаеI m = uc (0) ω1L , а ϕ = π / 2 . На рис.4.1.7 приведен график расчета токадля случая R=1 Ом, δ = 0,2.Рис.

4.1.7В электронике особую важность представляют колебания со слабымзатуханием (R/2L << ω0). Для описания их и контуров, в которых ониреализуются, используют следующие характеристики.1. Декремент затухания δ = R/2L. Обратная величина от декрементасоответствует времени τ = 1/δ, за которое амплитуда колебанийуменьшится в e раз.2. Логарифмический декремент затуханияδ l = lnгде T = T0i (t )= δ ⋅T ,i (t + T )(4.1.17)1 − (δ ω 0 ) 2 – период затухающих колебаний, T0 = 2π ω 0 –период собственных колебаний. Физический смысл логарифмическогодекремента вытекает из определения количества колебаний N,совершенных за время падения амплитуды колебаний в e раз.