1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 9

Для этого, во-первых, отсоединим источник тока I00 илипросто разорвем эту ветвь, так как внутреннее сопротивление идеальногоисточника тока бесконечно. Во-вторых, удалим из цепи идеальныйисточник E2, места его присоединения соединим (для краткости будемIE1Z1Z3E1Z2Z3Z1Z2Z4Рис.

3.3.1IE2Z4E2Рис. 3.3.2говорить, что источник ЭДС замыкаем), так как его внутреннеесопротивление равно нулю. Получившаяся схема приведена на рис. 3.3.1.Эффективное сопротивление, присоединенное к источнику E1, равноZ ef 1 = Z1 +(Z3 + Z 4 )Z 2.Z 2 + Z3 + Z 4(3.3.2)Ток через сопротивление Z1 равен50I Z1 =E1.Z ef 1(3.3.3)UE − Z1I1.= 1Z3 + Z 4Z3 + Z 4(3.3.4)ТогдаI E1 =Следующий этап: расчет тока I E 2 , вызванного источником Е2. Онпроводится по схеме, получаемой отсоединением источника тока изамыканием источника Е1 (рис.

3.3.2). Эффективное сопротивление,присоединенное к источнику E2, равноZ ef 2 = Z 3 + Z 4 +Z1Z 2.Z1 + Z 2(3.3.5)Поэтому ток I E 2 с учетом полярности равенI E2 = −E2.Z ef 2Последний(3.3.6)токI I 00рас-считываетсяпосхеме,приведеннойнарис. 3.3.3.Напряжение на сопротивлении Z4равноU = I I 00 Z ef 3 ,гдеэффективное сопротивление Zef3,подсоединенное к идеальномуисточнику тока.

Величину этогосопротивлениянайдемпоформулеII0Z1Z3Z2Z4I00Рис. 3.3.3.1 = 1 + 1,Z ef 3 Z 4 Z 3 + Z 5(3.3.7)в которой Z 5 = Z1Z 2 ( Z1 + Z 2 ) . Рассчитав U, искомый ток равенI I 00 =U.Z3 + Z5(3.3.8)Наконец, подставив все найденные значения токов в уравнение (3.3.1),получаем искомый ток через сопротивление Z3.Преимущество данного метода в наглядности – промежуточныеалгебраические вычисления, присутствующие в предыдущих методах,заменяются преобразованием схемы.513.4. Метод эквивалентного источникаЭтот метод основан на теореме об эквивалентном источнике(активном двухполюснике).Теорема Тевенена и Нортона. Любая сколь угодно сложная линейнаясхема, которая может соединяться с другими схемами только посредствомдвух узлов, эквивалентна генератору с задающим напряжением, равнымнапряжению холостого хода и внутренним сопротивлением, равнымвходному сопротивлению схемы, или генератору с задающим током,равным току короткого замыкания, и внутренней проводимостью, равнойвходной проводимости схемы.3.4.1.

Теорема об эквивалентном источнике напряженияРассмотрим сначала вариант с источником напряжения. Утверждается,что ток в любой ветви mn линейной электрической цепи не изменится,если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменитьэквивалентным источником напряжения. Этот источник напряжения имеетисточник ЭДС с ЭДС, равным напряжению на узлах m, n при разомкнутойветви mn (напряжение холостого хода – Umn) и внутреннее сопротивлениеравное входному сопротивлению Z0 пассивной цепи со стороны узлов m, nпри разомкнутой ветви mn.Справедливость теоремы вытекает из принципа суперпозиции,согласно которому ток в ветви mn можно рассчитывать как сумму токов вцепях, представляющих последовательную замену исходной цеписхемами, изображенными на рис. 3.4.1.

Квадратом изображена цепь, ккоторой подсоединена ветвь mn. Буква А в квадрате обозначает, что в цепиимеются активные элементы (источники напряжения и тока), а буква Ппоказывает, что цепь состоит только из пассивных элементов.Включим последовательно в ветвь mn навстречу друг другу дваодинаковых источника ЭДС. Это включение согласно закону Ома неизменит ток в ветви mn. Полученную схему представим в видесуперпозиции двух схем (центральная часть рисунка). Первая схемасостоит из исходной цепи и ветви mn с включенной в ней дополнительнойЭДС.

Вторая – из исходной цепи с выключенными внутреннимиисточниками и ветви mn с включенной в ней другой дополнительной ЭДС.Выключение источников в исходной цепи осуществляется по правилам52расчета методом суперпозиции,iiАmZmn=АnmZmnUmnmiZmn+UmnmПnZmnniАUmnni=0АUmnmUmn+nПmUmnZmnnРис 3.4.1т. е. вместо источников оставляют их внутренние сопротивления. Ток вветви mn будет равен сумме токов этих двух схем. Выберем теперьдополнительную ЭДС такой, чтобы ток в ветви mn в первой схеме сталравен нулю.

Это можно осуществить при дополнительной ЭДС, равнойнапряжению холостого хода на зажимах mn с обратным знаком (–Umn).Тогда дополнительная ЭДС во второй схеме будет равна Umn. Такой выбордополнительной ЭДС приводит к тому, что первая схема эквивалентнаразрыву, а ток во второй схеме будет равен току ветви mn в исходнойсхеме (схематично это отражено в нижней части рисунка). Теоремадоказана. Таким образом, ток в ветви mn может быть рассчитан по простойсхеме, состоящей из источника напряжения имеющего ЭДС, равную Umn, ивнутреннее сопротивление Z0, равное сопротивлению пассивнойэлектрической цепи со стороны ветви mn, т. е.I mn =U mn,Z mn + Z 0(3.4.1)где Zmn -сопротивление ветви mn.53Расчеты данным методом можно проводить одновременно для двух иболее ветвей сложной активной цепи.Пример 3.4.1.

Рассчитаем ток в сопротивлении Z3 методомэквивалентного генератора в схеме, изображенной на рис. 3.1.3.U112U212Z1Z2Z1Z2Z4I00E1Z4E20Рис. 3.4.2.Рис. 3.4.3.Найдем внутреннее сопротивление вводимого эквивалентногоисточника напряжения Z0 по схеме, приведенной на рис. 3.4.2. Эта схемаполучена из исходной схемы удалением сопротивления Z3 и исключениемисточников: источник тока отсоединяется, источник напряжениязамыкается. Величина сопротивления цепи между точками 1 и 2 равнаZ0 = Z4 +Z1Z 2.Z1 + Z 2(3.4.2)Напряжение холостого хода рассчитывается по схеме, изображенной нарис. 3.4.3. Потенциалы U1 и U2, возникающие в местах отсоединениясопротивления Z3, рассчитываются по формуламU1 = Z 2E1, U 2 = E2 + Z 4 I 00 .Z1 + Z 2Z3(3.4.3)Рассчитав U1 и U2, напряжение холостогохода находят как1[Z2 E1 − (Z1 + Z2 )E2Z1 + Z2(3.4.4)− Z4 (Z1 + Z2 )I00 ].U xx = U1 − U2 =Z0UxxРис.

3.4.4.Окончательнаяэквивалентнаяизображена на рис. 3.4.4. Из этойнепосредственно следуетI z3 =схемасхемыU xx.Z3 + Z054(3.4.5)Расчет с помощью эквивалентного генератора наиболее удобен длябыстрой оценки токов в ветвях.3.4.2. Теорема об эквивалентном источнике токаЭта теорема утверждает, что ток в любой ветви mn линейнойэлектрической цепи не изменяется, если электрическую цепь, к которойподключена ветвь, заменить эквивалентным источником тока; ток этогоисточника должен быть равен току, проходящему между узлами m и n,замкнутыми накоротко, а внутренняя проводимость источника должнаравняться входной проводимости пассивной электрической цепи состороны узлов m и n при разомкнутой ветви mn.Справедливостьтеоремыосновываетсянаэквивалентномпреобразовании источника напряжения в источник тока.

В соответствии стеоремой об эквивалентном источнике напряжения приведем исходнуюсхему к простой, состоящей из источника напряжения, имеющего ЭДС,равную напряжению холостого хода Umn, и внутреннее сопротивление Z0.Данный источник напряжения преобразуем в эквивалентный источниктока сI 0 mn =U mn= Y0U mn .Z0(3.4.6.)Этот ток равен току, проходящему через короткозамкнутые узлы mn,поэтому ток через ветвь mn можно рассчитать какI mn =YmnZ 0 Z mnZ01I 0 mn ,I 0 mnI 0 mn ==Y0 + YmnZ 0 + Z mnZ mn Z 0 + Z mn(3.4.7)где Ymn = 1/Zmn, Y0 = 1/Z0.Расчеты данным методом можно проводить одновременно для двух инескольких ветвей сложной активной схемы.55§ 4.

Резонанс в электрической цепиИзменение частоты источника или параметров схемы может приводитьк появлению резонансных явлений, когда величины токов или напряженийдостигают экстремальных значений. Резонансные явления играют важнуюроль в работе электрических цепей. На их основе работают системыпередачи и приема информации, узкополосные фильтры и т.

п. Цепи,содержащие емкостные и индуктивные сопротивления и работающие вобластирезонанса,называютсярезонанснымицепямииликолебательными контурами. Принято разделять колебательные контуры надватипа:последовательныйколебательныйипараллельныйколебательный контур. Такое разделение условно связано со способомподключения резонансной цепи к источнику электрической энергии. Еслипосле соединения источника с цепью ветви с емкостью и индуктивностьюобразуют с источником замкнутый контур, то данная цепь называетсяпоследовательным колебательным контуром. Если источник приподсоединении к цепи оказывается параллельно подключенным к ветви семкостью и к ветви с индуктивностью, то такая цепь называетсяпараллельным колебательным контуром.

Ниже рассматриваютсярезонансные явления в пассивных цепях на примере простейшихпоследовательных и параллельных контуров. В таких контурах наиболееярко проявляются физические процессы, лежащие в основе резонансныхявлений и позволяющие использовать их в качестве узкополосныхфильтров и согласующих элементов между источником и нагрузкой. Дляописания работы колебательного контура используются параметры:резонанснаячастотаконтура,собственнаячастотаконтура,характеристическое (волновое) сопротивление контура, добротность и др.Определим эти параметры как методом комплексных амплитуд, так ипрямым анализом дифференциальных уравнений (физический способ).4.1.Последовательныйнапряженийколебательныйконтур.Резонанс4.1.1.

Метод комплексных амплитуд определения параметровконтураМетод комплексных амплитуд определения параметров контураоснован на расчете его комплексного сопротивления. Рассмотрим простуюцепь из последовательно соединенной индуктивности, емкости и сопротивления. Подключим эту цепь к идеальному источнику синусоидальногонапряжения E (t ) = Em sin(ωt + ψ ) (рис. 4.1.1).