1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 5

е.V = U& C =1( Rω C ) + 12E& .(2.2.23)Если же модуль ЭДС источника соответствует амплитудному значению( E& = Em ),тоV = U& C =Em.( Rω C ) 2 + 1 21Обычнодляцепейсинусоидального тока в целях для удобства значения ЭДС и токиисточников выражают через действующие величины, опуская нижнийиндекс. Мгновенное напряжение на емкости можно измеритьосциллографом. Оно получается из комплексной амплитуды умножениемна e jωt и взятием мнимой части:uC (t ) = Im(U& C e jωt ) =1( RωC ) + 12Em sin(ωt −ψ −π2).(2.2.24)Аналогично находится напряжение на резисторе:26u R (t ) = Im(U& R e jωt ) =Rω C( Rω C ) 2 + 1Em sin(ωt − ψ ) .(2.2.25)Отметим важную особенность данной цепи. При малых частотах( ω << 1 RC ) напряжение на емкости примерно равно ЭДС источника, апри больших ( ω >> 1 RC ) стремится к нулю.

Наоборот напряжение нарезисторе с уменьшением частоты ( ω << 1 RC ) стремится к нулю, а сувеличением частоты ( ω >> 1 RC ) – к ЭДС источника. Это являетсяпрямым следствием частотной зависимости сопротивления емкости. Прималых частотах сопротивление емкости значительно превосходитсопротивление резистора (при ω = 0 сопротивление емкости Z C = ∞ , чтосоответствует разрыву цепи) и, как в случае простого делителянапряжения на резисторах, основное падение напряжения происходит наемкости. При больших частотах сопротивление емкости становитьсяменьше сопротивления резистора и основное падение напряженияпроисходит на резисторе.Разность фаз между током и ЭДС стремится к нулю в областибольших частот и стремится к – π/2 при малых частотах. Поэтомунапряжение на сопротивлении полностью повторяет временнуюзависимость ЭДС при больших частотах, тогда как напряжение на емкости– при малых частотах.

Этим свойством RC цепочек пользуются дляфильтрации сигнала. При устранении низкочастотных помех сигналснимают с резистора, а при устранении высокочастотных помех сигналснимают с емкости. Подробнее это рассмотрено в § 4.При записи уравнения (2.2.20) предполагается, что все источники ЭДСработают на одной частоте. При наличии в контуре источников с разнойчастотой в силу линейности цепи пользуются принципом суперпозиции.Согласно этому принципу каждый источник не зависимо от остальныхсоздает в элементах цепи свой ток и свое напряжение на них так, чтореальный ток в элементе или напряжение на нем является алгебраическойсуммой (суперпозицией) этих токов, а реальное напряжение на элементеявляется алгебраической суммой (суперпозицией) этих напряжений.Пример 2.2.3. Рассчитаем токи в контуре, состоящем изпоследовательносоединенныхдвухисточниковЭДС:e1 (t ) = E1 sin(ω1t + ψ 1 ) , e2 (t ) = E2 sin(ω2t + ψ 2 ) и пассивных элементовR, L, C.

Уравнение по закону напряжений Кирхгофа в интегродифференциальном виде естьe1 (t ) + e2 (t ) = Ri(t ) + Ldi(t ) 1+i (t )dt .dtC∫(2.2.26)27Представим ток суммой двух токов: i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) и будем полагать,что введенные токи i1 (t ) и i2 (t ) удовлетворяют уравнениямdi1 (t ) 1+i1 (t )dt ;dtCdi (t ) 1e2 (t ) = Ri2 (t ) + L 2 +i2 (t )dt .dtCe1 (t ) = Ri1 (t ) + L∫(2.2.27)∫(2.2.28)Тогда суммируя уравнения (2.2.27) и (2.2.28) получаемe1 (t ) + e2 (t ) = Ri1 (t ) + Ldi1 (t ) 1di (t ) 1i1 (t )dt + Ri2 (t ) + L 2 ++i2 (t )dt .dtCdtC∫∫Это выражение получается и прямой подстановкой суммы токов вуравнение (2.2.26).

Таким образом, реальный ток можно представлятьсуперпозицией токов созданных, каждым источником в отдельностинезависимо друг от друга. Причем зависимость ЭДС от времени можетбыть произвольной. В рассматриваемом случае синусоидальныхнапряжений токи i1 (t ) и i2 (t ) легко находятся методом комплексныхамплитуд. Для этого уравнения Кирхгофа (2.2.27) и (2.2.28) запишем вкомплексной форме:E&1 = ( R + jω1L +E& 2 = ( R + jω2 L +1jω 1 C) I&1 = Z (ω1 ) I&1 ;1jω 2 C(2.2.29)) I&2 = Z (ω2 ) I&2 ,(2.2.30)jψjψгде E&1 = E1e 1 , E& 2 = E2 e 2 . Отсюдаi1 (t ) = Im[i2 (t ) = Im[гдеE1e jψ1e jω1t ] =jϕ1Z (ω1 ) eE11 2R + (ω1L −)ω1CE2e jψ 2e jω2t ] =Z (ω2 ) e jϕ2tg(ϕ1 ) =ω1L + 1 ω1CRsin(ω1t +ψ 1 − ϕ1 ) ; (2.2.31)2,E21 2R + (ω2 L −)ω2Csin(ω2t +ψ 2 − ϕ2 ) , (2.2.32)2tg (ϕ 2 ) =ω 2 L + 1 ω 2CR– выражения дляопределения аргументов комплексного сопротивления цепи на двухчастотах.28Рис.

2.2.2Пример 2.2.4. Рассмотрим широко используемую в электронике цепьизпоследовательносоединенногорезистора и конденсатора. Пусть эта цепьподключена к источнику напряжения,имеющему постоянную составляющую ипеременную – синусоидальную. Нарис. 2.2.2. изображена такая цепь ссинусоидальным источником напряжения скомплекснойамплитудойE1 исисточником постоянного напряжения сЭДС равной E2.

Будем полагать, чтовключение источников произошло достаточно давно, и цепь пришла вквазиравновесное (стационарное) состояние. Линейность электрическойцепи (R и C не зависят от протекающего тока) позволяет воспользоватьсяпринципом суперпозиции i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) , где токи i1 (t ) и i2 (t )определяются соответственно источниками ЭДС E1 и E2.

Для нахождениятока i1 (t) воспользуемся формулой (2.2.31). Тогда имеемi1 (t ) =E1ωC( RωC ) 2 + 1где ψ = arctg (1Rω Csin(ωt + ψ ) ,(2.2.33)) . Для нахождения тока i2 (t )можно такжеформально воспользоваться выражением (2.2.32), сделав в нем предельныйпереход ω2 → 0 .

Такой формализм приводит к естественному значениюi2 (t ) = 0 , которое означает, что постоянный ток не проходит череземкость.Таким образом, напряжение на резисторе определяется толькосинусоидальным током, вызванным ЭДС E1 и при заданной частотевыборомвеличиныконденсатора( C >> 1ωR )можетдоведенопрактически до величины E1. Этим свойством RC цепочек широкопользуются в электронике для отделения переменного сигнала отпостоянной составляющей.Напряжение на емкости кроме переменной составляющейu1 (t ) =πE1sin(ωt +ψ − ) = −cos(ωt +ψ ) (2.2.34)2(RωC)2 + 1(RωC)2 + 1E1имеет постоянное напряжение u2 = E2 .

Это стационарное напряжение наемкости возникает при подключении цепи к источнику напряжения, и оно29препятствует протеканию постоянного тока, обеспечивая нулевоенапряжение на резисторе. Подробно о поведении цепей при переходе отодного стационарного состояния к другому рассмотрено в § 5.Полная система уравнений для расчета токов в ветвях для случая цепейсинусоидальных источников получается также как и в случае цепейпостоянного тока.

Поэтому ее легко записать на основе системыуравнений (1.5.1) путем замены токов и ЭДС на соответствующиекомплексные амплитуды, а сопротивления Rks на комплексныесопротивления пассивных элементов Zks r &I km = 0 , k SESZ E& =Z ks I&ks , k ksk∑∑∑m ∈ (1, q − 1),.(2.2.35)s ∈ (1, p − q + 1).В этой системе уравнений также предполагается, что источники ЭДСработают на одной и той же частоте. Поэтому при работе в схемеисточники с разной частотой, необходимо воспользоваться принципомсуперпозиции.

Тогда расчет проводится раздельно для каждой группыисточников с одинаковой частотой. Остальные источники изэлектрической цепи удаляются. Удаление источника производятзамыканием идеального источника напряжения, тогда как элементысхемы, изображающие внутреннее сопротивление источника, остаютсявключенными в схему. Реальные токи находят суперпозициейрассчитанных токов.При наличии в цепи источников тока, с ними поступают, так же какуказано в § 1 для цепей постоянного тока.

Дополнительные способырасчета цепей с источниками тока рассмотрены в § 3.2.3. Комплексная мощностьИспользование комплексной формы записи токов и напряженийпозволяет проводить усреднение по времени с помощью простойоперации: взятия модуля. Например, действующее значение напряженияU m2U& m e jψ U& m e −iψ1U&e iωtU& ∗e − jωt===Um222211ZI&Z ∗ I&∗ =Z I&m , гдеили с использованием закона Ома: U D =22получают как U D =Z – модуль комплексного сопротивления. Двойка в знаменателе нужналишь при определении напряжений (или токов) через амплитудныезначения. Это позволяет определить полную мощность S для участка цепи30через произведениесопряженного тока:комплексногонапряженияикомплексно-111S = U ⋅ I ∗ = U m e jψ ⋅ I me − jψ 1 = U m I m e j (ψ −ψ 1 ) =22211= U m I m cos(ψ −ψ 1 ) + j U m I m sin(ψ −ψ 1 ) =22= U D I D cos(ψ − ψ 1 ) + jU D I D sin(ψ − ψ 1 ) .(2.3.1)Действительная часть (P) полной мощности (S) является активноймощностью, рассеиваемой в данном участке цепи, а мнимая (Q) –реактивной мощностью.

Последняя строчка записана с использованиемвместо амплитудных значений напряжения и тока их действующиезначения. Эта простая запись получила наибольшее распространение втехнике.Выпишем ряд часто используемых выражений:1Re( S ) = P = U m I m cos(ψ −ψ 1 ) = U D I D cos(ψ −ψ 1 ) ;21Im(S ) = Q = U m I m sin(ψ −ψ 1 ) = U D I D sin(ψ −ψ 1 ) ;2111S = U& ⋅ I&∗ = Z ⋅ I& ⋅ I&∗ = Z ⋅ I m2 = Z ⋅ I D2 ;222111S = U& ⋅ I&∗ = U& ⋅ U& ∗ ⋅ Y ∗ = U m2 ⋅ Y ∗ = U D2 ⋅ Y ∗ ;222P2S 2 P2Q SQZ= 2 = 2 +j 2 = 2 = 2 +j 2 ;Im ImIm ID IDIDY=PQ2S ∗ 2 P2Q S ∗=−= 2 = 2 −j 2 .j222Um UmUm UD UDUD(2.3.2)(2.3.3)(2.3.4 а)(2.3.4 б)(2.3.5)(2.3.6)Полная мощность, развиваемая идеальным источником напряжения:S E = E& I&* .(2.3.7)Полная мощность, развиваемая идеальным источником тока:S I = I&0U& * .(2.3.8)Направление тока в источнике напряжения соответствует переносуположительного заряда сторонними силами, т. е.

перемещению от минусак плюсу. Другими словами, это то направления тока, которое возникает внагрузке при подсоединении ее к источнику. Напряжение на источнике31тока определяется нагрузкой. Оно отсчитывается от узла, из которого токвтекает в источник тока. При Re( S ) > 0 источник поставляет во внешнююцепь энергию, а при Re( S ) < 0 потребляет.

В последнем случае источникуже не генератор, вырабатывающий электричество, а мотор, вращаемыйвнешним генератором. Для реальных источников необходимо учитыватьпотери на внутренних сопротивлениях. Поэтому в источнике тока дажепри отсоединенной нагрузке идет рассеивание энергии. Для определенияполной мощности поставляемой (развиваемой источником) во внешнююцепь необходимо пользоваться общим выражением (3.1), где ток инапряжение соответствуют значениям на клеммах источника.Пример 2.3.1. Найдем мощность, поставляемую источником, в схемепредставленнойнарис. 2.3.1имощность,выделяемуюнасопротивлении R2.Сопротивление нагрузкиZ = R1 + Z C +Z L R2ωLR2 ( R2 − jωL)1= R1 − j+j=Z L + R2ωC(ωL) 2 + R22ωLR221(ωL) 2 R2= R1 − j+j+= R' ЭФ + jX ,ωC(ωL) 2 + R22 (ωL) 2 + R22RЭФ = R1 +где(ωL) 2 R2–(ωL) 2 + R22эффективноесопротивлениеX =−(2.3.9)активноенагрузки,ωLR221+–ωC (ωL) 2 + R22Рис.

2.3.1эффективное мнимое сопротивлениенагрузки, которое можно рассматривать кок последовательное соединениеемкости с эффективной индуктивностьюLЭФ =LR22.(ωL) 2 + R22Ток, развиваемый источником, естьE&X111I& = = E& jψ = E exp(j(ϕ −ψ)) = Eexp(j(ϕ − arctg )) , (2.3.10)2ZZRЭФZeRЭФ+ X2где для общности введена фаза источника (φ). Тогда потребляемаянагрузкой мощность, равная мощности, развиваемой источником, есть(ЭДС источника считаем действующей)32E& *1P = Re(E&I&* ) = Re(E& e jψ ) = Re(E2exp(jψ )) =2ZRЭФ + X 2= E212+X2RЭФcos(ψ ) = E 2RЭФ,+X2(2.3.11)2RЭФгде использовано выражение cosψ =RЭФ2RЭФ +X2.

Эту же формулуможно получить, используя выражение для напряжения на нагрузкеU& = ZI& . ТогдаP = Re(U&I&) = Re( ZI 2 ) = RЭФ I 2 = RЭФE2.2RЭФ+ X2(2.3.11 а)Видно, что рассеиваемая мощность минимальна при частотах, близкихк нулю. В пределе постоянной ЭДС ток через нагрузку не течет ипотребления энергии нет. Максимальное потребление энергии в единицувремени происходит при частоте, на которой реактивная составляющаясопротивленияравнанулю.Этачастотаестьω=R22= ω0R22CL − L21− ρ2R22,гдеω0 = 1LC ,ρ= LC.Отсюда максимальная потребляемая мощностьP=E2E2=.RЭФ R1 + ρ R2(2.3.12)Для определения рассеиваемой мощности на сопротивлении R2необходимо найти протекающий через него ток.

Для этого найдемнапряжение в верхнем узле (нижний узел заземлен):Z RjωLR2 &jωLR2U& = L 2 I& =I=I& .22 jφZ L + R2jωL + R2(ωL) + R2 e(2.3.13)Тогда, используя выражение (2.3.4б), находим искомую рассеиваемуюмощность:P2 =U2E2(ωL) 2 R2 2(ωL) 2 R2I.==2R2 (ωL) 2 + R22(ωL) 2 + R22 RЭФ+ X2(2.3.14)Покажем, что полная рассеиваемая мощность есть сумма мощностейрассеиваемыми резисторами. Мощность, выделяемая на сопротивлении R2,33уже найдена. Найдем теперь мощность, которая рассеивается насопротивлении R1:P1 = R1I 2 =R1E 2.2RЭФ+ X2(2.3.15)Тогда имеемP = P1 + P2 = ( R1 +R(ωL) 2 R2) I 2 = RЭФ I 2 = E 2 2 ЭФ 2 .22(ωL) + R2RЭФ + XТаким образом, найти полную мощность, рассевающуюся в нагрузкеможно двумя способами: 1) найти потребляемый ток, взять от него модульи квадрат его умножить на активное сопротивление нагрузки; 2) найтимощности, рассеиваемые на каждом резисторе нагрузки и ихпросуммировать.2.4.