1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 3

При этом вкачестве внешней цепи будем рассматривать ветвь с сопротивлением R2,для этого на схеме выделим для наглядности узлы, относительно которыхпроизводится эквивалентное преобразование.e(t)R2R1Рис. 1.4.3i0(t)i1(t)R1R2i0(t)Рис. 1.4.4На рис. 1.4.4 приведены результаты такого преобразования. Введенныйидеальный источник тока дает ток i1 (t ) = e(t ) R1 и его полярностьсовпадает с полярностью источника ЭДС (он создает ток по направлению,совпадающему с током который бы создавал во внешней цепи источникЭДС). Переместим вдоль схемы источник тока i0 так, чтобы он был рядомс источником тока i1 (рис. 1.4.5).Это возможно, поскольку это всеголишьперестановкаветвейR1R2i1(t)i0(t)относительно двух выделенныхузлов.Узлы,соединенныеэлементом(проводом),неРис.

1.4.5имеющимсопротивления,считаются одним узлом, так как имеют одинаковый потенциал. Двапараллельно включенных источника тока заменим одним источником.Полярность его выберем как у i1. Тогда i2 (t ) = i1 (t ) − i0 (t ) и схема имеетпростой вид (рис. 1.4.6). Дальнейшие вычисления можно проводить двумяспособами. По первому способу находим сначала общее сопротивлениедвух резисторов, руководствуясь правилом для параллельных соединений1 R 0 = 1 R1 + 1 R2 и R0 = R1R2 ( R1 + R2 ) . Затем находим напряжение наэтом сопротивлении u (t ) = R0i2 (t ) . Это же напряжение будет и насопротивлениях R1 и R2.

Отсюда находим ток через сопротивление R214iR2 (t ) =u (t )R1e (t )=[− i0 (0)] . Аналогичным образом найти ток вR2R1 + R2 R1сопротивлении R1 нельзя. Это связано с тем, что это сопротивлениеявляется внутренним сопротивлением источника напряжения, а приэквивалентной замене на источник тока обеспечивается неизменность токаи напряжения для внешней нагрузки.

Поэтому надо вернуться к исходнойсхеме, изображенной на рис. 1.4.3, для которой теперь известно падениенапряжения на сопротивлении R2 . По этой схеме ток в R1 найдем позакону ОмаiR1 (t ) =R1e(t ) − u (t ) e(t )e(t )=−+i0 (t ) =R1R1 R1 + R2 R1 + R2(1.4.5)R1R=[ 22 e(t ) + i0 (t )]R1 + R2 R1R1i2(t)R1Рис. 1.4.6R2e(t)R2Рис. 1.4.7По второму способу в схеме на рис. 1.4.6 можно сделать относительносопротивления R2 обратный переход от источника тока с внутреннимсопротивлением R1 к эквивалентному источнику напряжения с ЭДСe1 (t ) = R1i2 (t ) . Тогда схема еще больше упростится (см. рис. 1.4.7). Ток вэтой схеме равен току через сопротивление R2 в исходной схемеiR2 = e1 (t ) ( R1 + R2 ) .

Дальнейшие вычисления как по первому способу.Преимущество расчетов с использованием взаимных эквивалентныхзамен источников напряжения на источники тока и наоборот связано снаглядностью и упрощением алгебраических вычислений, что важно приразличных оценках.1.5. Расчет токов ветвей на основании законов Ома и КирхгофаРасчет электрических цепей предполагает нахождение во всех ветвяхтоков и напряжений по заданным параметрам активных и пассивныхэлементов.

Полная система уравнений для расчета, как токов, так ипотенциалов записывается на основании закона токов Кирхгофа и законаОма для ветви. Количество линейно независимых уравнений в системедолжно равняться общему количеству неизвестных токов и неизвестных15потенциалов узлов. При наличии в цепи p ветвей и q узлов количествонеизвестных равно p + (q − 1) , так как потенциал одного узла можновсегда приравнять нулю. Количество уравнений (1.3.4), записываемых позакону Ома для ветви равно количеству ветвей и они будут линейнонезависимы. Оставшееся q – 1 уравнение записывается на основаниизакона токов Кирхгофа для произвольного q – 1 узла. Эти уравнения такжебудут линейно независимыми. Действительно, если записать всеуравнения по первому закону Кирхгофа для каждого узла, то ток каждойветви войдет в одно уравнение со знаком “+” и в одно уравнение со знаком“–”, так как в один узел он втекает, а из другого – вытекает.

Поэтомуполная система из таких уравнений для всех узлов оказывается линейнозависимая: любое уравнение получается из суммы всех остальных послеумножения ее на –1. Исключение же одного уравнения устраняет этузависимость. Таким образом полная система уравнений для расчета цепейимеет вид: r ikm (t ) = 0 , ku (t ) − u (t ) = u (t ) m e (t ),k0jj i∑m ∈ (1, q − 1),(1.5.1)n = p.Суммирование токов в первой группе уравнений проводится по всемветвям (k), входящим в узел (m). Знак тока берется положительным, еслион втекает в узел, и отрицательным, если он вытекает.

Выбор знака приЭДС во второй группе уравнений проводиться также как и при написанииуравнения (1.3.4). Выражение для падения напряжения на пассивномэлементе берется в зависимости от того, является ли он резистором,емкостью или катушкой индуктивности. Ранг системы уравнений (1.5.1)равен p + q – 1 . Эта система уравнений значительно упрощается приисключении во второй группе уравнений (взаимной подстановкой) q – 1неизвестного потенциала узла и тем самым уменьшения их количества доp - q + 1 уравнения.

Отметим, что получаемые такой подстановкойуравнения связывают некоторые суммы ЭДС источников с падениемнапряжения на пассивных элементах, т. е. получаются уравнениявыражающие закон напряжений Кирхгофа. Поэтому для исключения такихдлинных математических преобразований удобно сразу записыватьсистему уравнений на основании двух законов Кирхгофа. Ранг такойсистемы будет равен p, т, е количеству неизвестных токов:16 r ikm (t ) = 0 , k SESZ e (t ) = u ,0 ksksk k∑∑∑m ∈ (1, q − 1),(1.5.2)s ∈ (1, p − q + 1).Суммирование ЭДС проводится по всем идеальным источникамнапряжений, входящих в выбранный контур s, а суммирование паденийнапряжений на пассивных элементах ведут по периметру этого контура.Знак ЭДС берут положительным, если он возрастает по направлениюобхода контура, и отрицательным, если убывает.

Полученная системауравнений состоит из интегро-дифференциальных уравнений, решениекоторых будет обсуждено в § 5 для случая переходных процессов, а в § 3 и4 – для случая синусоидальных источников энергии. В этом параграфеограничимся случаем цепей постоянного тока. Тогда система (1.5.2)преобразуется к виду rI km = 0 , k SESZ E =Rks I ks , k ksk∑∑∑m ∈ (1, q − 1),(1.5.3)s ∈ (1, p − q + 1).Способы решения системы (1.5.3), состоящей из линейныхалгебраических уравнений, рассматриваются в курсе линейной алгебры.Отметим лишь, что трудоемкость решения таких систем в аналитическомвиде тем больше, чем выше ранг системы.

Поэтому в электротехникеразработаны методы, позволяющие на основе физических свойств цепиупростить необходимые расчеты. Эти методы рассмотрены в § 3.Для записи системы (1.5.2) или (1.5.3) необходимо уметь находить вцепи все независимые контуры. Основной принцип нахождениянезависимых контуров базируется на том, что независимые контурыдолжны отличаться друг от друга хотя бы одной ветвью. В § 3 приведеныдва способа их нахождения, сильно облегчающих задачу в случае сложныхсхем. В этом параграфе ограничимся лишь замечанием, что длясравнительно простых схем независимые контуры могут быть найдены безприменения общих методов, а лишь на основании известного их числа.17Пример 1.5.1.

Пользуясь законами Кирхгофа, найдем токи во всехветвях схемы, изображенной наE1рис. 1.5.1. Схема имеет пять ветвейi3и три узла. Обозначим токи пономерамсопротивлений,аE2последнему,текущемупоR3R2источнику ЭДС E2 присвоим пятый R1номер. Направление токов выберемi4 i5i2так, как указано на рисунке.Поэтому по закону токов Кирхгофаi1R4можно записать два независимыхуравнения. Выберем верхний иРис. 1.5.1левый нижний узел.

Тогда дляверхнего узла i1 − i2 − i3 − i5 = 0 , а для нижнего узла i2 + i4 − i1 = 0 .Теперь найдем независимые контуры и запишем для них уравнения позакону напряжений Кирхгофа. Таких контуров должно быть три (5 – (3 –1) = 3). Возьмем в качестве их следующие контуры: контур 1 состоит изветвей с сопротивлениями R1 и R2; контур 2 образуется ветвями ссопротивлениями R2 и R4 и ветвью с источником E2; контур 3 – из ветвей сE2 и R3. Уравнения запишем, совершая обход всех контуров по часовойстрелке. Тогда полная система уравнений: E1 = R1i1 + R2i2− E2 = − R2i2 + R4i4 E2 = R3i3 0 = i −i −i −i1235 0 = −i1 + i2 + i4(1.5.5)Решение этой системы уравнений можно проводить последовательнойподстановкой, а можно и с применением правила Крамера, записав ее вматричной форме E1   R1 R2 0  − E2   0 − R2 0 E = 0 0 R3 2  0   1 −1 −1  0   −1 1 00  i1  R4 0  i2 0 0  i3  0 − 1  i4  1 0  i5 0(1.5.6)Тогда общее решение системы (1.5.6):18ik =1∆n∑E ∆iik,(1.5.7)i =1где ∆ – определитель системы, ∆ik – алгебраические дополненияэлементов.

Проведя математические преобразования, получаемi1 =E1 ( R2 + R4 ) − E2 R2E1R4 + E2 R1, i2 =,R1R2 + R1R4 + R2 R4R1R2 + R1R4 + R2 R4(1.5.8)i3 =E2 ( R2 + R1 )E2, i4 = −R1R2 + R1R4 + R2 R4R3(1.5.9)При написании системы (1.5.1) необходимо все источники токазаменить эквивалентными источниками напряжения. При этом следуетпомнить, что токи и напряжения на внутренних элементах источниковнадо рассчитывать по исходной схеме. Однако возможны ситуации, когдаидеальный источник тока является ветвью в цепи и его невозможно сразузаменить на эквивалентный источник напряжения.

Эти ситуациирассмотрены в § 3 при обсуждении общих методов расчета цепей. Тем неменее и в таких ситуациях можно осуществить эквивалентныепреобразования цепи позволяющие использовать уравнения Кирхгофа.Рассмотрим это на примере схемы приведенной на рис. 1.5.2.Пример 1.5.2. Найти все токи вветвях схемы приведенной на рис. 1.5.2,R2R1используя законы Кирхгофа.R5В этой схеме невозможно прямо вветвизаменитьисточниктокаI0источником напряжения.