1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 8

Еслиузлы не связаны между собой, то в этом месте в матрице проводимостейставиться ноль.Общее решение систем (3.2.5) можно получить методом Крамера1Uk =∆q −1∑I0 i ∆ ik,(3.2.6)i =1где ∆ – определитель системы, ∆ik – алгебраическое дополнение кэлементу Yik.Метод узловых напряжений при аналитических расчетах имеетпреимущество перед методом контурных токов, тогда когда ранг системы(3.2.5) меньше ранга системы (3.2.5), т. е. когда справедливо неравенствоq - 1 < p - q + 1 или 2(q - 1) < p .

Однако при численных расчетах данныеметоды равнозначны.45Пример 3.2.1. В качестве примера проведем расчет той же самойсхемы (см. рис. 3.1.3), которая использовалась для демонстрации методаконтурных токов.Эта схема послеZ3U2U1эквивалентнойзаменыисточниковнаZ4I02 напряженияZ2Z1I01I00источникитокаI 01 =0E1E, I 02 = 2Z1Z4изображенанарис. 3.2.2.Нижний узел соединения сопротивлений Z1, Z2 и Z4 примем за базовый, вкотором потенциал равен нулю.

Потенциалы верхних узлов, в которыхсоединяются сопротивления Z1, Z2, Z3 и сопротивления Z3, Z4, обозначимсоответственно U1 и U2. Схема имеет три узла. Поэтому системаканонических уравнений, записываемая на основании закона токовКирхгофа, имеет два уравнения с двумя неизвестными U1 и U2:Рис. 3.2.21111 I 01 = ( Z + Z + Z )U1 − Z U 2 ,1233111 I 02 − I 00 = ( + )U 2 − U1.Z3 Z 4Z3(3.2.7)Решая эту систему, получаем напряжения между выделенными узламии базисным узлом:U1 =Z1Z 2 [ I 01 ( Z 3 + Z 4 ) + Z 4 ( I 02 − I 00 )],( Z1 + Z 2 )( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) − Z 22(3.2.8)U2 =Z 4 Z1[ I 01Z 4 + I 00 ( Z1Z 2 + Z1Z 3 + Z 2 Z 3 )].Z 22 − ( Z1 + Z 2 )( Z 2 + Z 3 + Z 4 )(3.2.9)Найденные напряжения будут соответствовать аналогичным напряжениями в исходной схеме.

Однако, при определении токов необходимо помнитьотносительно каких узлов проводилась эквивалентная замена источниковнапряжения на источники тока. В рассматриваемом случае, только токи всопротивлениях Z2 и Z3 будут равны в исходной схеме и в схемеизображенной на рис. 3.2.2. Это связано с тем, что эквивалентностьзамены источника напряжения на источник тока и наоборот понимается поотношению к внешней цепи (см.

§ 1). Поэтому, для исключения ошибок,46определение токов, протекающих в сопротивлениях, проводят наосновании закона Ома согласно исходной, непреобразованной схеме.Токи в сопротивлении Z1 и Z4 рассчитываются какI Z1 =E1 − U1U − E2, IZ4 = 2.Z4Z1(3.2.10)Проверьте самостоятельно, что получаемые выражение для этих токовсовпадает с выражениями, полученными методом контурных токов.Токи в сопротивлениях Z2 и Z3 получаем какIZ2 =U1 − 0U −U2, I Z3 = 1.Z2Z3(3.2.11)При прямом использовании закона Ома для определения токов вветвяхисходной схемы рис. 3.1.5 система уравнений имеет вид(обозначение потенциалов в узлах прежнее) E1 − U1 0 − U1 U 2 − U1++=0 ZZ2Z31.U 1 − U 2 + E 2 − U 2 − I = 000 Z 2Z4(3.2.12)Первое уравнение записано для верхнего левого узла, второе – дляверхнего правого узла.

Для упрощения написания уравнений все токи,записываемые по закону Ома, считались втекающими (знак токаавтоматически приводиться в соответствие со знаками потенциаловзаконом Ома). Во втором слагаемом первого уравнения для наглядностиявно записано нулевое значение потенциала нижнего узла. Отметим, чтопри таком написании системы не потребовалось преобразованийисточников напряжения в источники тока. Проведя математическиепреобразования, легко убедиться, что данная система сводится кканоническому виду (3.2.7).При записи систем (3.2.3), (3.2.5) полагалось, что все источникинапряжения в схеме имеют внутреннее сопротивление, а если ониидеальны, то последовательно с ними стоят сопротивления, которыеможно принять за их внутренние сопротивления. В случае, когда ветвицепи образуют идеальные источники напряжения – источники ЭДС, расчетцепи методом узловых потенциалов требует специального подхода.Трудность прямолинейного использования закона Ома (проводимость этойветви бесконечна) для записи тока в таких источниках ЭДС легкообходится.

Для этого поступают следующим образом. В схемах,содержащих одну такую ветвь, за базисный узел берут один из узлов этойветви. Тогда узловое напряжение другого узла равно ЭДС источника и для47него не требуется записи уравнения, в которое входит слагаемое сбесконечной проводимостью. Для определения неизвестных узловыхпотенциалов (их количество равно q - 2) достаточно записать q - 2уравнения для оставшихся узлов.

В схемах с несколькими ветвями,состоящими из идеальных источников ЭДС, явно вводят неизвестные токив источниках ЭДС (I0i). Естественно, что эти токи не могут бытьбесконечными, так как они задаются суммой токов в ветвях,присоединенных к одному из узлов источника. Такой подход позволяетформально записать систему уравнений, основанных на законе токовКирхгофа. Общего увеличения количества неизвестных не происходит, таккак разница узловых напряжений на концах каждой такой ветви равнаЭДС (Еn) источника этой ветви ( U i + U k = En ).

Решение полученнойсистемы сильно упрощается, если заметить, что введенные токи входят сразными знаками в уравнения для узлов, к которым присоединенисточник. Поэтому попарное сложение этих уравнений устраняетвведенные токи и понижает ранг системы на количество ветвей,состоящих из одних идеальных источников напряжения.Пример 3.2.2. Найдем токи в ветвях схемы, приведенной на рис. 3.2.4.Параметры схемы: E1 = j В, E2 = 1 В, E3 = -j В, Z1 = -j Ом, Z2 = 1 Ом,Z3 = 1 Ом, Z4 = 1 Ом, Z5 = j Ом. Вэтой схеме две ветви состоят изисточников ЭДС (E1 и E3) исвязывают разные узлы.

Поэтому,если один узел с любой из этихветвей взять за базисный, то в4 другой ветви ток должен бытьновой переменной. Пусть базиснымузлом будет крайний правый. Нарис. 3.2.4 он обозначен цифрой 4.Тогда ток в ветви с E1 обозначим I01.Рис. 3.2.4Будем считать, что его направлениесовпадает с направлением ЭДС.

Заземлим базисный узел (положимпотенциал равным нулю). Тогда потенциал узла 2 определяется идеальнымисточником напряжения Eз: U 2 = E3 = − j В . Если положить потенциалузла 3 равным Uз = ϕ , то потенциал узла 2 будет больше потенциала узла 2на величину ЭДС источника E1: U1 = Uз + E1 = ϕ + j. Таким образом, общееколичество неизвестных осталась равным q – 1 = 3. Составим системууравнений токов Кирхгофа, используя узлы 1 и 3.

При этом не будемиспользовать канонический вид записи, а будем явно выражать токи вветвях через закон Ома. Тогда, полагая для простоты, что токи втекают вузлы, получаем48U 2 − U 1 0 − U 1++ I 01 = 0, ZZ31 U 2 − U 3 + 0 − U 3 − I = 0.01 Z 4Z5(3.2.13)Эту систему можно преобразовать к каноническому виду, записькоторой можно было провести непосредственно, если источник ЭДС E1мысленно заменить источником тока I01:(Y1 + Y3 )U1 − Y1U 2 = I 01 ,.(Y4 + Y5 )U 3 − Y4U 2 = − I 01 .(3.2.14)Системы (3.2.13) и (3.2.14) не имеют вида полной системыотносительно всех узлов, так как значение потенциала узла 2 уже известно.Отличительная особенность этих систем заключается в том, что, несмотряна наличие двух уравнений при трех неизвестных, они допускаютоднозначное определение напряжений U1 и U3. Это связано с характеромвхождения неизвестного тока в источнике E1 в уравнения: в одноуравнение он входит со знаком “–”, а в другое – со знаком “+”.

Приопределенном навыке расчетов схем этим можно пользоваться присоставлении систем уравнений на узловые потенциалы. Сформулируемправило: для узлов связанных ветвью из источника ЭДС вместо двухуравнений, записывается одно – сумма токов втекающих в эту ветвьравна сумме токов из нее вытекающих. В данном случае I 4 + I 5 = I1 + I 3 .Подставляя в системы (3.2.13) или (3.2.14) численные значения,используя знание потенциала в узле 2 и связь между потенциалами в узлах1 и 3, получаем уравнение( j + 1)(ϕ + j ) − j (− j ) = (1 − j )ϕ − 1( − j ) .(3.2.15)Откуда U 3 = ϕ = 1 − j , U1 = 1 . Зная все потенциалы, по закону Оманаходятся все токи в ветвях.

Например, ток в Z3:5I3 =j πU3 − 0 1− j== −1− j = 2e 4 .Z3j(3.2.16)Направление тока I3 выбрано от узла 3 к узлу 4.3.3. Метод суперпозиции (наложения)Физический смысл метода наложения основан на линейностипассивных элементов и внутренних сопротивлений активных элементов.Метод реализуется как для токов, так и для узловых потенциалов. Впервом случае токи в ветвях или контурах рассчитывают как49алгебраическую сумму токов, возникающих от каждого источника вотдельности. Во втором случае узловые напряжения любого узла находяталгебраическим сложением узловых напряжений, созданных на этом узлекаждым источником.Реализацию метода осуществляют последовательным расчетом токовили узловых напряжений с одним источником или с целой группойисточников, имеющихся в цепи.

Окончательный расчет завершаюталгебраическим сложением полученных решений. Исключаемые врасчетах источники заменяют их внутренним сопротивлением.Пример 3.3.1. Методом суперпозиции найдем токи в ветвях цепи,приведенной на рис. 3.1.3. При этом ограничимся расчетом тока всопротивлении Z3. остальные токи найдите самостоятельно. Ток в Z3запишем как сумму токов возникающих вследствие действия каждогоисточникаI Z 3 = I E1 + I E 2 + I I 00 .(3.3.1)Расчет начнем с определения тока I E1 , вызываемого источникомнапряжения Е1.