1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 4

Однако, еслипредставить источник тока в видеR4R3последовательносоединенныхдвуходинаковых источников тока, то схемаРис. 1.5.2допускаетпоследовательныеэквивалентныепреобразованияприведенные на рис. 1.5.3.I0I0R1R2R5R4R3а)I0I0R1R1R2R5R5R4R3б)R2E1R4R3E2в)19Рис. 1.5.2Эквивалентность преобразования схемы, приведенной на рис. 1.5.2 а, ксхеме, приведенной на рис. 1.5.2 б, обеспечивается выполнением законатоков Кирхгофа для узла соединения сопротивлений R1 и R4. Поэтому токив сопротивлениях R1, R4 и R5 не меняются, а, следовательно, не меняются ипотенциалы в узлах.

Переход к схеме, приведенной на рис. 1.5.2 восуществляется обычным преобразованием источников тока вэквивалентные источники напряженияс E1 = I 0 R1 и E2 = I 0 R4 .Дальнейшие вычисленияПроводятся обычным способом. Расставляются направления токов изаписывается система уравненийi4 + i5 − i1 = 0, E1 = R1i1 + R2i2 + R5i5 ,E = R i − R i + R i .4 45 533 2(1.5.10)Решив эту систему, находят токи во всех сопротивлениях в схемеприведенной на рис. 1.5.2 в. Эти токи соответствуют токам в исходнойсхеме только для сопротивлений R2, R3 и R5.

В сопротивлениях R1 и R4 токинеобходимо найти по исходной схеме, используя закон тока Кирхгофа ивычисленные токи в R2, R3 и R5, т. е. i1 = i2 − I 0 и i3 = i4 + I 0 .20§ 2. Электрические цепи синусоидального тока2.1. Общие положенияВ линейных электрических цепях синусоидальные токи и напряженияпри всех преобразованиях остаются синусоидальными. Именно поэтомуэтот частный случай особенно важен как в теории электрических цепей,так и на практике. Теория синусоидальных токов лежит в основе методаспектрального анализа, позволяющего исследовать цепи с произвольнойформой сигнала. На практике силовая аппаратура и бытовая техника дляпитания в основном используют синусоидальное напряжение.При рассмотрении цепей переменного тока предполагается выполнениеусловий квазистационарности, состоящих в том, что время τраспространения элекромагнитной волны по всей цепи много меньшепериода наивысшей гармоники тока T.

Для радиотехнических цепей,длина которых не более метра, величина τ меньше 0,3 10-8 с. и токи можносчитать квазистационарными вплоть до частот f = 1/T порядка 100 МГц.При этих частотах электрические поля в цепи можно считать статическимии для расчетов мгновенных значений тока и напряжения использоватьзакон Ома.В рассматриваемых цепях напряжения и токи источников являютсясинусоидальными функциями времени, которые можно записать в видеek (t ) = Ek sin(ωk t + ψ k ) ;(2.1.1)in (t ) = I n sin(ωnt + ψ n ) ,(2.1.2)где Ek и In – амплитудные значения ЭДС и тока источников k и n;ω k ,n = 2πf k ,n и ψ k ,n - соответственно частоты и начальные фазыисточников.Используя запись синуса в комплексной форме, ЭДС и ток этихисточников запишем в виде (в электротехнике мнимая единицаобозначается буквой j)ek (t ) = Im[Ek e j (ω k t +ψ k ) ] = Im(Ek e jψ k e jω k t ) = Im[E& k e jω k t ] ;in (t ) = Im[I n ejψ kj (ω n t +ψ n )] = Im[I n ejψ nejω n t] = Im[I&n ejω n t],(2.1.3)(2.1.4)jψ nи I&n = I n e– комплексные амплитудные значениягде E& k = Ek eЭДС и тока источников k и n.

Действительные амплитуды ЭДС и токаявляютсямодулямикомплексныхамплитудEk = E& k = E& k E& k* = Ek e jψ k Ek e − jψ kи аналогично I n =I&n I&n* = I&n ,где знак “*”означает комплексное сопряжение.21В последующих параграфах, для упрощения записи, точка надкомплексной амплитудой будет опускаться там, где ее нельзя спутать сдействительной амплитудой.На практике измерительные приборы обычно регистрируютсреднеквадратичные (действующие) значения напряжений и токов запериод их изменений.

Например, действующее напряжениеTU1 2UD =u dt = mT 02∫TU1(1 − cos 2ωt )dt = m ,T 02∫(2.1.5)где Um – амплитудное значение напряжения. В дальнейшем заглавныебуквы с индексом m будут соответствовать амплитудным значениямвеличин.Мгновенная мощность p(t), равная произведению тока на напряжение:p (t ) = U m sin(ωt + ψ ) I m sin(ωt + ψ 1 ) =1= U m I m [cos(ψ − ψ 1 ) − cos(2ωt + ψ + ψ 1 )].2(2.1.6)Средняя мощность за период1P=TT∫ pdt =0U m Imcos(ψ −ψ 1 ) =2 2(2.1.7)1= U m I m cos(ψ −ψ 1 ) = U D I D cos ϕ ,2где ϕ – разность фаз между напряжением и током. Мощности p(t) и Pпредставляют собой мгновенное значение мощности и мощность,среднюю за период, как в отдельном элементе цепи, так и в участке (ветви)цепи в зависимости от того, соответствуют ток и напряжение отдельномуэлементу или участку цепи.

Для удобства записи мощности величины ЭДСи токи источников в цепях синусоидального тока выражают черездействующие значения.2.2. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме. ПринципсуперпозицииРасчеты электрических цепей эффективно проводят с применениемфункций комплексных переменных. Напряжения и токи выражаются черезкомплексные амплитуды аналогично из выражений (2.1.1), (2.1.2):u (t ) = U m sin(ωt + ψ ) = Im[U m e jψ e jωt ] = Im[U&e jωt ] ;(2.2.1)i (t ) = I m sin(ωt + ψ 1 ) = Im[I m e jψ 1 e jωt ] = Im[I&e jωt ] ,(2.2.2)22jψгде U& = U m e jψ , I& = I m e 1 – комплексные амплитуды, а Um, Im –действительные амплитуды напряжения и тока (модули комплексныхамплитуд), ψ и ψ1 – фазы напряжения и тока (аргументы комплексныхамплитуд).

Переход от комплексных значений тока и напряжения креальным значениям осуществляется взятием мнимой части.Запишем закон Ома для резистора (1.1.1) через комплексные функции:u R (t ) = Im[U& R e jωt ] = R Im[I&e jωt ] = Im[R ⋅ I&e jωt ] .(2.2.3)Откуда получаем для резистора закон Ома в комплексной формеU& R = RI& .(2.2.4)Отметим, что ток в резисторе и напряжение на нем имеют одну и ту жефазу. Говорят, что они находятся в фазе.

Действительные амплитудынапряжения и тока связаны выражением U R = U& R = RI& = R I& = RI .Отметим, что оно справедливо и для действующих значений тока инапряжения.Для индуктивности из выражений (2.2.1), (2.2.2) и закона Ома (1.1.4)получаемdduL (t ) = Im[U& Le jωt ] = L {Im[I&e jωt ]} = Im[L {I&e jωt }] = Im[jωLI&e jωt ] . (2.2.5)dtdtПри записи выражения (2.2.5) воспользовались возможностьюперестановки операций взятия мнимой части и дифференцирования.Действительноdd{Im[I&e jωt ]} = {I m sin(ωt + ψ )} = I mω cos(ωt + ψ ) . Сdtdtдругойстороныπjπd & j ωt{Ie }] = Im[ jωI&e jωt ] = Im[e 2 ωI&e jωt ] = ωI m sin(ωt + ψ + ) =dt2= ωI m cos(ωt + ψ ) , где использовано представление мнимой единицы вIm[jπвиде e 2 .

Таким образом, согласно выражению (2.2.5), имеем дляиндуктивности закон Ома в комплексной форме имеет видU& L = jωLI& .(2.2.6)Видно, что фаза напряжения на π/2 больше фазы тока. Говорят, чтонапряжение на индуктивности опережает ток по фазе на π/2. Амплитудынапряжения и тока или их действующие значения на индуктивностисвязаны формулой U L = ωLI . По аналогии с резистором сопротивлениеиндуктивности представляют комплексным сопротивлением23Z L = jω L .(2.2.7)Это сопротивление является чисто мнимым и линейно зависит от частоты.Для случая емкости аналогично с использованием закона Ома (1.1.7)получаем11 & jωt1 &uC (t ) = Im[U& C e jωt ] =Im[I&e jωt ]dt = Im[Ie dt ] = Im[I ] . (2.2.8)CCjωC∫∫ОткудаUC =1I.jω C(2.2.9)При записи выражения (2.2.8) воспользовались справедливостьюперестановки операций взятия мнимой части и интегрирования.

Покажитесамостоятельно справедливость такой перестановки. Видно, что дляемкости фаза напряжения на π/2 меньше фазы тока. Говорят, чтонапряжение на индуктивности отстает от тока по фазе на π/2. Амплитудынапряжения и тока или их действующие значения связаны формулойU L = I ωC . Тогда сопротивление емкостиZC = − j1.ωC(2.2.10)Это сопротивление так же является чисто мнимым, но в отличие отсопротивления индуктивности имеет обратно пропорциональнуюзависимость от частоты.Пример 2.2.1.

Последовательное и параллельное соединениепассивных элементов R, L и C.При последовательном соединении элементов по ним протекает одини тот же ток, а общее падение напряжения равно сумме напряжений накаждом элементе, т. е. u (t ) = u R (t ) + u L (t ) + uC (t ) . Поэтому, используявыражения (2.2.1), (2.2.3), (2.2.5) и (2.2.8), получаем1 &U& = U& R + U& L + U& C = ( R + jωL +) I = ZI& ,jω C(2.2.11)где введено общее сопротивление цепи Z = Z R + Z L + Z C .При параллельном соединении элементов обеспечивается равенствонапряжений на каждом элементе, тогда как общий ток является суммойтоков в каждом из них.

Тогда, переходя к комплексным амплитудам ииспользуя законы Ома для элементов R, L и C, получаем11I& = I&R + I&L + I&C = ( ++ jωC )U& = YU& ,R j ωL(2.2.12)24гдевведенаобщаяпроводимостьцепиY = 1 R + 1 Z L + 1 ZC == YR + YL + YC .В общем случае для произвольного комплексного сопротивления Zзапись закона Ома в комплексной форме совпадает по виду с записьюзакона Ома для постоянного тока:U& = Z ⋅ I& .(2.2.13)При расчетах схем в зависимости от ситуации используется различнаязапись комплексного сопротивления и проводимостиZ = R + jX = Z e jψ = R 2 + X 2 (cosψ + j sinψ ) ;R − jXRX1= g + jy = 2= 2+ j (− 2);22ZR +XR +XR + X211Y== (cosψ + j sin( −ψ )) ,jψZZeY=(2.2.14)(2.2.15 а)(2.2.15 б)где ψ – аргумент комплексного сопротивления; R – вещественная частькомплексного сопротивления, ее называют активным сопротивлением; X –мнимая часть комплексного сопротивления, ее называют реактивнымсопротивлением; аналогично, g – активная проводимость; y – реактивнаяпроводимость.

Выпишем формулы для нахождения аргументаX;Rtgψ =cosψ =sinψ =(2.2.16)RR2 + X 2X2R + X2;(2.2.17).(2.2.18)Законы Кирхгофа в комплексной форме записываются простымилинейными уравнениями. Так закон токов Кирхгофа (1.3.1) для узла цепиесть∑ I&n=0,(2.2.19)nгде суммирование ведется по всем ветвям, образующим узел. Законнапряжений Кирхгофа (1.3.2) преобразуется к виду∑ E& = ∑U&nnn,(2.2.20)n25где суммирование ведется по всем источникам ЭДС и пассивнымэлементам, входящим в выделенный замкнутый контур.Пример 2.2.2. Найдем напряжения на емкости и сопротивлении всхеме, приведенной на рис.

2.2.1. Ток в цепи из закона напряженийКирхгофаI& =E&R+ 1=j ωCE&R2 + 1e − jψ ,(ωC )(2.2.21)2ψ = arctg (−где1RωC)–аргументкомплексногосопротивленияцепи.Величина ψ определяет разность фазмежду током и ЭДС. Тогда комплексноенапряжение на емкостиU& C = ZC I& =Рис. 2.2.11(RωC)2 + 1E&eπ− j ( +ψ )2.(2.2.22)Напряжение, измеряемое вольтметром (V), будет равно модулю этогонапряжения, если полагать, что модуль ЭДС источника соответствуетдействующему значению ( E& = E D ) т.