1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙА. М. МищенкоЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕУчебное пособиеНовосибирск2003ПредисловиеВ Новосибирском государственном университете студентам 1-го курсафакультета Информационных технологий читается курс “Электротехникаи электроника”. В лекциях по основам электротехники пять наиболееважных тем: общая характеристика электрических цепей; электрическиецепи синусоидального переменного тока; методы расчета электрическихцепей; резонансные цепи и фильтры на их основе; переходные процессы.Каждой теме соответствует параграф, который содержит краткоеизложение теории, приведены примеры аналитических расчетов.Отсутствие у первокурсников достаточных знаний в областидифференциальных уравнений и теории функций комплексногопеременного значительно усложнило изложение материала.

Поэтомуструктура пособия имеет два уровня. Первый базируется на знакомстве сметодами расчетов цепей постоянного тока и понятиями производной,интеграла и комплексного числа. Второй уровень предполагает знаниеметодов решения обыкновенных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами и начала теории функции комплексногопеременного (теории вычетов).

Части, отвечающие второму уровню,помечены звездочкой. Поэтому пособие полезно и для студентовФизического и Геолого-геофизического факультетов.АвторвыражаютогромнуюпризнательностьпрофессоруВ.И. Нифонтову – инициатору и вдохновителю данного курса. Авторвыражают благодарность профессору М.М. Карлинеру за согласиепрочитать рукопись. Сделанные им ценные замечания и обсуждениематериала привело к более прозрачному изложению. Автор такжепризнателен Д.Ч.

Киму за обсуждение материала и техническую помощьпри подготовке рукописи.2§ 1. Общий способ описания электрических цепейВ данном курсе рассматриваются только линейные электрические цепи,в которых сопротивления, индуктивности и ёмкости не зависят от величини направлений токов и напряжений. В этих цепях напряжение и ток вкаждомэлементесвязанылинейным(алгебраическимилидифференциальным) уравнением первого порядка.Электрическая цепь состоит из активных и пассивных элементов.Активные элементы являются источниками электрической энергии; к нимотносятся источник напряжения e(t) и источник тока i0(t).

Пассивныеэлементы – это сопротивление R, индуктивность L и ёмкость C.Графическим изображением электрической цепи является электрическаясхема. Она показывает способ соединения элементов электрической цепи.При описании электрической схемы пользуются понятиями ветвь, узел,контур. Ветвь – один или несколько последовательно соединенныхэлементов. Узел – место соединения трех или большего числа ветвей.Контур – это замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.Электрический ток i(t) = dq/dt, где q – переносимый заряд.

Направлениетока соответствует движению положительных зарядов и характеризуетсязнаком. Направление тока в схеме выбирается произвольно и обычно указывается стрелкой. Положительный знак тока, полученный при расчете,означает правильность выбранного направления. В противном случае реальный ток направлен противоположно. Разность электрических потенциалов на концах элемента равно напряжению на элементе (например, uR –напряжение на резисторе R) , а разность электрических потенциалов наконцах ветви – напряжению ветви.

Знак напряжения выбирают понаправлению тока и на схеме указывают стрелкой. В положительномнаправлении потенциал узлов убывает. Положительное направлениенапряжения на ветви отображается порядком расположения индексов.Запись напряжения ukn соответствует разности потенциалов узлов k и n,причём потенциал узла k выше потенциала узла n.

Напряжение,отсчитываемое в обратном направлении, имеет противоположный знакukn = – unk. В случае, когда напряжение на схеме приводится от одногоузла, потенциал которого принимают за нуль, узловое напряжение илипотенциал узла (uk) имеет один индекс, соответствующий номеру узла (k).1.1.

Закон Ома для элементов электрической цепиВ общем случае под законом Ома понимается связь междунапряжением и током для отдельных элементов или ветвей электрическойцепи, хотя исторически он был экспериментально установлен Омом лишьдля случая сопротивления – резистора. Закон Ома для резистора имеет видu (t ) = R ⋅ i (t ) ,(1.1.1)3где u(t) и i(t) – мгновенные значения напряжения и тока. Коэффициентпропорциональности между током и напряжением R являетсяхарактеристикой резистора и называется сопротивлением.

Присогласованном выборе направлений напряжения и тока величина R > 0.Величины u, i, R измеряются соответственно в вольтах (В), амперах (А),омах (Ом).Мощность p(t), поступающая в сопротивление, рассеивается в нем ввиде тепла. Величина мощностиpR (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = R ⋅ i 2 (t ) = G ⋅ u 2 (t ) ,(1.1.2)где G = 1/R – проводимость, измеряемая в сименсах (сим).Для индуктивности (идеальной катушки индуктивности) связь междунапряжением и током определяется законом Фарадеяu L (t ) = −eL (t ) =didΦ=L ,dtdt(1.1.3)где eL(t) – электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции, вызваннаяизменением полного магнитного потока (потокосцепления) Ф = Li(t),пронизывающего индуктивную катушку, L – индуктивность катушки.Величина L измеряется в генри (Гн). Интегрируя выражение (1.1.3),получаемi (t ) =1u L dtL∫(1.1.4)или же, полагая, что в начальный момент времени (t = 0) ток равен i(0),получаемti (t ) = i (0) +1u L dt .L0∫(1.1.5)Мгновенная мощностьpL (t ) = u L (t ) ⋅ i (t ) = L ⋅ i (t )di d  Li 2 = dt dt  2 (1.1.6)определяет скорость изменения энергии магнитного поля, накопленной вкатушке индуктивности.Для емкости (идеального конденсатора) связь между напряжением итоком возникает из самого определения емкости C как отношения q/uC, гдеq – накопленный заряд, а uC(t) – падение напряжения на этом элементецепи.

Учитывая, что в цепи, присоединенной последовательно к емкости,ток возникает в результате изменения заряда на емкости, получаем4i (t ) =dqdu=C C .dtdt(1.1.7)Интегрируя выражение (1.7), получаемuC (t ) =1idtC∫(1.1.8)или, полагая, что в начальный момент времени (t = 0) напряжение наемкости равно uC(0), получаемtuC (t ) = uC (0) +1idt .C0∫(1.1.9)Мгновенная мощностьpC (t ) = uC (t ) ⋅ i (t ) = C ⋅ uC (t )duC d  CuC2= dtdt  2(1.1.10)определяет скорость изменения энергии, накопленной в конденсаторе.Пример1.1.1. Делитель напряжения на сопротивлениях (резисторах).На рис. 1.1.1 приведена цепь, состоящая из двух последовательносоединенных сопротивлений R1 и R2.

Напряжение на нижней клемме цепипринято за нуль и u1, u2 измерены от этойu1(t)точкицепи.Стрелкамиобозначенонаправление тока. Напряжение на делителеR1равно сумме напряжений на каждомu2(t)сопротивлении u1 (t ) = u R1 (t ) + u R2 (t ) . ЭтоR2правилосправедливодлялюбых0последовательно соединенных элементов,поскольку основывается на физическомРис. 1.1.1смыслевведенияпотенциалаэлектрического поля как работы по перемещению единичного заряда. Есливвести эффективное сопротивление R0 всей цепи и учесть, равенство токоввпоследовательносоединенныхэлементах,тоu1 (t ) = R0i (t ) = R1i (t ) + R2i (t ) = ( R1 + R2 )i (t ) и R0 = R1 + R2 . Это естьизвестное правило, что при последовательном соединении резисторовобщее сопротивление равно сумме всех сопротивлений.Тогда согласно закону Омаi (t ) =u1 (t ) − u2 (t ) u2 (t ) − 0=R1R2(1.1.11)Из соотношения (1.11) получаем напряжение на резисторе R25u R 2 (t ) = u 2 (t ) =R2u1 (t ) ,R1 + R2(1.1.12)т.

е. происходит уменьшение напряжения поданного на цепь (u1(t)) вR2 (R1 + R2 ) раза или еще говорят, что напряжение u1(t) делится междудвумя резисторами на напряжение u R1 (напряжение на резисторе R1) и нанапряжение u R2 : u R1 u R2 = R1 R2 Поэтому данная цепь называетсяРисю 1.5делителем напряжения.

В частном случае R1 >> R2 такое деление будетпропорционально отношению сопротивлений R2 R1 и легко вычисляется,а делая R2 переменным получаем простейшее устройство длярегулирования напряжения.Пример 1.1.2. Делитель напряжения наu1(t)емкостях.Рассмотрим теперь цепь, состоящую изC1u2(t)двух последовательно соединенных емкостей(рис. 1.1.2). Используя закон Ома (1.1.8) иучитывая, что напряжение на цепи равноC2сумме падений напряжений на каждойемкости, получаемtРис.1.1.211u1 (t ) = uC1 + uC 2 = ( + ) idt . (1.1.13)C1C2∫0Отсюда интеграл тока в цепи, равный положительному заряду наt∫каждом конденсаторе, q = idt =0C1C2u1 (t ) . Тогда напряжение наC1 + C2емкости С2tuC 2 (t ) =C11idt =u1 (t ) .C2 0C1 + C2∫(1.1.14)При выводе выражения (1.1.14) предполагалось, что в начальныймомент при подаче напряжения на емкостях не было заряда.

Видно,напряжение на делителе разделилось между емкостями обратнопропорционально их величинам uC1 uC 2 = C2 C1 . При C1 << C2получаем удобный для расчета коэффициент деления C2 C1 .6Есливвестиtu1 (t ) =эффективнуюt111idt = ( + ) idt , тоC0 0C1 C2 0∫∫емкостьC0,как111=+. Отсюда следуетC0 C1 C2правило: обратное значение эффективной емкости цепи состоящей изпоследовательно соединенных емкостей равно сумме обратных значенийемкостей.1.2. Источник напряжения и источник токаВ общем случае переменноебaнапряжение (ЭДС – электродвижущаясила источника) на выходе идеальногоисточника напряжения будемe(t)Eобозначать е(t), а переменный ток навыходе идеального источника токаi0(t). В случае синусоидальноговгсигнала e(t) и i0(t) заменяютсякомплексными амплитудами E и I0 , ав частном случае постоянного сигналаi0(t)I0комплексные амплитуды имеют лишьвещественные значения.Идеальный источник напряженияобеспечивает на своем выходе напряРис.

1.2.1.жение, не зависящее от проходящегочерез него тока. Поэтому идеальный источник напряжения можетразвивать бесконечную мощность. Действительно, при подключении кнемусопротивленияразвиваемаямощностьбудетравнаe(t )i (t ) = e 2 (t ) R . Видно, что при R → 0 мощность неограниченнорастет. Для краткости идеальный источник напряжения будем называтьисточником ЭДС. В электрических схемах идеальный источникнапряжения обычно обозначается кружком со знаками “+” и “-”, которыеуказывают положительное направление e(t) или полярность постоянногоисточника (рис.

1.2.1, а,б). В этом направлении происходит возрастаниенапряжения на источнике в те моменты времени, когда e(t) положительно.Внутри кружка в переменных источниках изображается “~”, а впостоянных – “=”. Реальный источник, естественно, обладает конечноймощностью. В нем ток короткого замыкания ограничен внутреннимсопротивлением. На схемах такой источник (источник напряженияограниченной мощности) можно представить цепью из последовательносоединенного источника ЭДС и пассивного элемента.Идеальный источник тока обеспечивает в цепи ток i0(t) не зависимо отвеличины напряжения на его выходе. Поэтому он может развивать7бесконечнуюмощность.Действительно,подсоединяяегокRi02 (t )сопротивлению, он будет развивать мощность u (t )i0 (t ) =и приR → ∞ она неограниченно растет. На электрических схемах идеальныйисточник тока будем обозначать квадратиком со стрелкой, котораяуказывает направление тока i0(t) или полярность источника (рис.