1611690367-23e4a5ec3796b14cfbfe27c1a613f586 (Мищенко Лекции), страница 2

1.2.1, в,г). В этом направлении происходит перемещение положительного зарядадля тех моментов времени, когда ток i0(t) положителен. Внутри квадратикав переменных источниках изображается “~”, а в постоянных – “=”.Реальный источник тока, естественно, обладает конечной мощностью. Унего напряжение на выходе при отключенной нагрузке (режим холостогохода) имеет конечное значение. Поэтому реальный источник тока насхемах можно представить цепью из идеального источника тока,соединенного параллельно с пассивным элементом.Идеальные источники тока и напряжения в общем случае можносоединить тремя способами, приведенными на рис.

1.2.2, 1.2.3 и 1.2.4.б)а)i01(t)i02(t)e2(t)e1(t)Рис.1.2.2а)б)e(t)e(t)i0(t)i0(t)Рис.1.2.3а)e1(t)б)e2(t)i01(t)i02(t)Рис.1.2.48Первый способ соединения (см. рис. 1.2.2) является недопустимым. Вэтом случае при параллельном соединение идеальных источников E1 и E2(см. рис. 1.2.2, а), когда E1 ≠ E2 , в источниках возникает бесконечнобольшой ток при неопределенной величине результирующей ЭДС.

Припоследовательном соединении источников тока i01 и i02 (см. рис. 1.2.2, б)неопределенна результирующая величина тока, при этом на каждом изисточнике будет развиваться бесконечное напряжение.Второй способ соединения (см. рис. 1.2.3) не имеет смысла, так какпри параллельном соединении источника тока и источника ЭДС длявнешней цепи такой источник будет являться источником ЭДС E1 (см.рис. 1.2.3, а), а при последовательном соединении источника тока иисточника ЭДС (см. рис.1.2.3, б) основную роль будет играть источниктока i02 .Третий способ соединения (см.

рис.1.2.4, а, б) является правильным иосновным. Здесь последовательно соединенные источники напряжения ипараллельно соединенные источники тока суммарно действуют навнешнюю цепь.1.3. Законы КирхгофаВсе расчеты электрических цепей основаны на использовании законовКирхгофа.Первый закон Кирхгофа, который для краткости будем называтьзаконом токов Кирхгофа, утверждает, что алгебраическая сумма токов влюбом узле электрической цепи равна нулю:∑ i (t ) = 0 .(1.3.1)nnЗнак тока, втекающего в узел, принимают положительным, а знаквытекающего – отрицательным. Физический смысл закона связан ссохранением заряда при протекании его по электрическим цепям и сотсутствием в узле накопления и утечки заряда во внешнюю среду.Второй закон Кирхгофа, который для краткости будем называтьзаконом напряжений Кирхгофа, утверждает, что алгебраическая суммаЭДС e(t) в любом замкнутом контуре электрической цепи равнаалгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементахu0 n (t ) данного контура:∑ e (t ) = ∑ unn0 n (t )(1.3.2)nОбход контура проводят в произвольном направлении, знаки en(t) иu0 n (t ) , совпадающие с направлением обхода, берут положительными, анесовпадающими – отрицательными.9Физический смысл закона связан с потенциальностью электрическогополя и вытекает из закона Ома для ветви, состоящей из последовательносоединенного источника ЭДС с пассивным элементом.

Пусть, например,j – я ветвь соединяет i – й и k – й узлы и состоит из источника ЭДС e j (t ) ипроизвольного пассивного элемента, причем ЭДС соединена с i – м узлом.Тогда падение напряжения на пассивном элементе этой ветви будет равноu0 j (t ) = (ui (t ) ± e j (t )) − uk (t ) ,(1.3.3)где ui (t ) и uk (t ) – потенциалы узлов i и k.

Знак “+” при ЭДСсоответствует направлению ЭДС от i – о узла к k –у, а знак “–” – наоборотот k –о к i – у. Записывая уравнение (1.3.3) какui (t ) − uk (t ) = u0 j (t ) m e j (t ) .(1.3.4)получаем закон Ома для j – й ветви. Для произвольного замкнутогоконтура эти уравнения образуют систему, в которой узловые потенциалывходят попарно с противоположным знаком. Поэтому, суммируя их,получаем равенство (1.3.2).L2u2Умножим равенство (1.3.2) наu1заряд. Тогда оно означает, чтоC3работа внешних сил в контуре по e 1 (t)переносу зарядов равна работеu 3 +e 2 (t)u 1 -e 1 (t)электрического поля.R1Пример1.3.1.Проиллюстрируемполучениеe 2 (t)закона напряжений Кирхгофа напростом контуре, приведенномu4u3e 3 (t)на рис.

1.3.1. Запишем системууравнений согласно закону ОмаРис.1.3.1для каждой ветви контура,обходя его по часовой стрелке,u1 − u2 = u L2 ,u 2 − u3 = uC3 + e2 (t ),u 3 − u 4 = e3 (t ),u − u = u − e (t ),R11 4 1где u L2 , u C 3 = u2 − (u + e2 (t ))(1.3.5)иu R1 = u4 − (u1 − e1 (t ))–падениенапряжения на пассивных элементах L2 , C3 и R1 .

Суммируя уравнения всистеме, получаем закон напряжений Кирхгофа для выделенного в цепиконтура100 = u L2 + uC 3 + u R1 + e2 (t ) + e3 (t ) − e1 (t ) .(1.3.6а)e1 (t ) − e2 (t ) − e3 (t ) = u L2 + uC3 + u R1 .(1.3.6б)илиПример 1.3.2. Интегрирование и дифференцирование на LC – цепочке.Рассмотрим цепь, (рис.1.3.1) состоящую из сопротивления R,индуктивности L и источника напряжения e(t).

Данная цепь можетиспользоваться в качестве дифференцирующей и (или) интегрирующейцепочки, хотя обычно для этих целей используют цепочки изсопротивления и емкости. Цепочку с емкостью рассмотритесамостоятельно. Запишем уравнение Кирхгофа для этой цепи:e(t ) = Ri (t ) + u L = Ri (t ) + Ldi.dt(1.3.7)Если в уравнении (1.3.7) основную рольиграет второе слагаемое, то ток в цепи будетпропорционален интегралу от ЭДС источника:RLi (t ) =e(t)1e(t )dt . Физическая причина этогоL∫связана с тем, что резкие изменения ЭДС,вызывая ответное изменение тока, приводят кпоявлению больших ЭДС самоиндукции.Рис. 1.3.2Характерное время изменения ЭДС источника∆t не должно превышать отношения L R .

Поэтому при ∆t < L R ,измеряя напряжение на сопротивлении, получаем интеграл от напряженияприложенного к цепочке u R =1τ∫ e(t )dt ,где τ = L C . При обратномусловии ∆t > τ , т. е. при более плавном изменении ЭДС источника,основную роль в уравнении (1.3.7) играет первое слагаемое и ток в цепиi (t ) = e(t ) R . Поэтому, измеряя напряжение на индуктивности получаемпроизводную от напряжения, приложенного к цепочке u L = τde(t ).dtРассмотрим случай линейного от времени изменения ЭДС источника:решениеуравнения(1.3.7)e(t ) = a ⋅ t .Аналитическоеattaτ ati (t ) = exp(− ) −+ .RR Rτ11Первый случай ( ∆t < τ ).

При t < τ экспонента раскладывается в ряд1exp(− t ) ≈ 1 − t + ( t ) 2 . Тогда напряжение на сопротивленииττ 2 τu R ≈ (a 2τ )t 2 и цепочка в этих условиях будет интегрирующей.Второй случай ( ∆t > τ ). Тогда ( exp(− t ) << 1 ) и цепочка будетτдифференцирующей. Напряжение на индуктивности u L (t ) = aτ .1.4.Условияэквивалентностипредставленияреальныхисточников схемами источников напряжения и тока ограниченноймощностиПрирасчетахэлектрическихцепейэффективно используют взаимную замену схемR1 i(t)представленияреальныхисточниковэлектрической энергии схемами источниковнапряжения и тока ограниченной мощности.Справедливостьэтогоосновываетсянаe(t)u(t)эквивалентности схем источников напряжения итока ограниченной мощности. Схемы считаютсяэквивалентными, если замена одной на другую неРис. 1.4.1изменяет напряжения, токи и мощности вовнешней электрической цепи, присоединяемой кисточникам.

В этом смысле также считают эквивалентными самиисточники напряжения и тока ограниченной мощности. Условияэквивалентности рассмотрим для простого случая, когда пассивныйвнутренний элемент источников является резистором с сопротивлением R1(рис. 4.1.1). Случаи, когда пассивный внутренний элемент являетсяиндуктивностью или емкостью, предлагается рассмотреть самостоятельно.Пусть этот источник нагружен на внешнюю цепь так, что на его клеммахобразовалось напряжение u (t ) и через него потек ток i (t ) . Тогдауравнение Кирхгофаe(t ) = R1i + u (t )(1.4.1)В частности, при нулевом сопротивлении нагрузки (режим короткогозамыкания) внутреннее сопротивление ограничит ток.

Ток короткогозамыкания будет равен iкз (t ) = e(t ) R1 . В случае бесконечногосопротивления нагрузки (режим холостого хода) ток равен нулю, анапряжение на клеммах источника равно ЭДС ( u xx (t ) = e(t ) ).12i(t)i1(t)i0(t) R2 u(t)Заменим теперь эту схему представленияR iреального источника на схему источникаu(t)тока ограниченной мощности e(t)с внутреннейпроводимостью g = 1 R2 (рис. 1.4.2). Токво внешней цепи и напряжение на ней недолжны изменяться от такой замены. Позакону токов Кирхгофа ток во внешней цепиРис.

1.4.2.1i (t ) = i0 (t ) − i1 (t ) = i0 (t ) −u (t )R2(1.4.2)Токи во внешней цепи не должны зависеть от представленийисточников схемами, представленными на рис. 1.4.1 и 1.4.2. Поэтому,подставляя ток из уравнения (1.4.1) в уравнение (1.4.2), получаемu (t )e(t ) u (t )−= i0 (t ) −R2R1R1(1.4.3)Откуда следует, что выполнение равенства (1.4.3) при любыхзначениях напряжений на внешней цепи возможно лишь когдаR1 = R2 = R , e(t ) = Ri0 (t ) .(1.4.4)Эти равенства являются условиями эквивалентности представленияреальных источников схемами, приведенными на рис. 1.4.1 и рис.

1.4.2. Вчастном случае короткого замыкания напряжение на источнике будетравно нулю, а ток короткого замыкания iкз (t ) = e(t ) R1 = i0 (t ) . В другомчастном случае холостого хода (клеммы источника разомкнуты, и ток вовнешнююцепьнетечет)напряжениехолостогоходаu xx (t ) = Ri0 (t ) = e(t ) .Выполнение условий (1.4.3) обеспечивает не только одинаковоенапряжение и ток во внешней цепи, но и одинаковую потребляемую в неймощность, тогда как формально рассчитанные мощности на пассивныхвнутренних элементах в различных схемах представления источника неравны. Это обстоятельство необходимо помнить во время расчетов схемпри использовании эквивалентных замен источников тока на источникинапряжений и наоборот.На практике реальные источники в зависимости от соотношения междувнутренним и внешним сопротивлением удобнее представить либоисточником напряжения, если внутреннее сопротивление меньшевнешнего, либо источником тока, если, наоборот, внутреннеесопротивление больше внешнего.Случай, когда пассивные внутренние элементы могут состоять изпроизвольной комбинации емкостей, индуктивностей и резисторов,рассмотрите для цепей синусоидального тока после прочтения § 2.13Пример 1.4.1.

Используем условия эквивалентности источниковнапряжения и тока, для определения токов в ветвях схемы, приведенной нарис. 1.4.3. Схема состоит из двух узлов, которые соединяют трипараллельных ветви. Левая ветвь состоит их источника ЭДС исопротивления, а правая из источника тока. Так как пассивные элементысостоят из резисторов, решение не будет зависеть от вида функций e(t) иi0(t). Расчет удобно начать с преобразования левой ветви в источник тока,считая сопротивление R1 внутренним сопротивлением.