Презентация 15. Поверхности в пространстве (Лекции в виде презентаций)

6. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫИ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ6.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВАПусть A – квадратная матрица n -го порядка.Ненулевой столбец x1  x =    , удовлетворяющий условиюx  nA⋅ x = λ ⋅ x ,(6.1)называется собственным вектором матрицы A .Число λ в равенстве (6.1) называется собственным значением матрицы A . Говорят, чтособственный вектор x соответствует (принадлежит) собственному значению λ .Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.Определение (6.1) можно записать в виде( A − λE ) ⋅ x = o ,где E – единичная матрица n -го порядка.

Таким образом, условие (6.1) представляет собой однороднуюсистему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1 , x2 ,…, xn : (a11 − λ ) x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0 , a x + (a − λ ) x +  + a x = 0 , 21 12222n n an1 x1 + an 2 x2 +  + (ann − λ ) xn = 0 .(6.2)Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения ( x ≠ o ) однородной системы, тоопределитель матрицы системы должен быть равен нулю:a11 − λa12a21a22 − λdet ( A − λE ) =an1an 2a1na2 n=0. ann − λВ противном случае по правилу Крамера система имеет единственное тривиальное решение.(6.3)1Задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравненияa11 − λdet ( A − λE ) =a21an1a1na22 − λ a2 na12an 2=0, ann − λкоторое называется характеристическим уравнением матрицы A .Корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (6.3)) и толькоони являются собственными значениями матрицы.По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет n в общем случаекомплексных корней (с учетом их кратностей).Собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратнойматрицы.Собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), асобственные векторы – неоднозначно.Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей)называют ее спектром.Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарноразличные (все корни характеристического уравнения простые).2Свойства собственных векторовПусть A – квадратная матрица n -го порядка.1.

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям,линейно независимы.2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одномусобственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому жесобственному значению.3. Пусть ( A − λE )+ – присоединенная матрица для характеристической матрицы( A − λE ) . Если λ 0 – собственное значение матрицы A , то любой ненулевой столбец матрицы( A − λ 0 E )+ является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ 0 .4. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейнонезависимую систему собственных векторов, нужно для всех различных собственныхзначений λ1 ,…, λ k записать одну за другой системы линейно независимых собственныхвекторов, в частности одну за другой фундаментальные системы решений однородныхсистем(A − λ1 E )⋅ x = o ,(A − λ 2 E )⋅ x = o ,…, (A − λ k E )⋅ x = o .3Алгоритм нахождения собственных векторов и собственныхзначений матрицыДля нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицыA n -го порядка надо выполнить следующие действия.1.

Составить характеристический многочлен матрицы∆ A (λ ) = det ( A − λE ) .2. Найти все различные корни λ1 ,…, λ k характеристического уравнения ∆ A (λ ) = 0 ;кратности n1 , n2 ,…, nk ( n1 + n2 + ... + nk = n ) корней определять не нужно.3. Для корня λ = λ1 найти фундаментальную систему ϕ1 , ϕ 2 ,…, ϕ n− r ( r = rg ( A − λ1 E ) )решений однородной системы уравнений(A − λ1 E )⋅ x = o .Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один изспособов нахождения фундаментальной матрицы.4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы A , отвечающиесобственному значению λ1 :s1 = C1 ⋅ ϕ1 ,s2 = C 2 ⋅ ϕ 2 ,…,sn − r = Cn − r ⋅ ϕ n − r ,(6.4)где С1 , C2 ,…, Cn − r – отличные от нуля произвольные постоянные.

Совокупность всехсобственных векторов, отвечающих собственному значению λ1 , образуют ненулевыестолбцы вида s = C1 ⋅ ϕ1 + C2 ⋅ ϕ 2 + ... + Cn − r ⋅ ϕ n − r . Здесь и далее собственные векторы матрицыбудем обозначать буквой s .4Повторить п.3, 4 для остальных собственных значений λ 2 ,…, λ k .Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:1 − 2 ,A = 38 Матрица A : 1. Составляем характеристический многочлен матрицы:∆ A (λ ) =1− λ − 2= (1 − λ )(8 − λ ) + 6 = λ2 − 9λ + 8 + 6 = λ2 − 9λ + 14 .38−λ2. Решаем характеристическое уравнение:λ2 − 9λ + 14 = 031 .⇒Для простого корня(A − λ1 E )⋅ x = o :λ1 = 2 , λ 2 = 7 (простой спектр матрицы).λ1 = 21 − 2 − 2   x1   0  ⋅   =  38−2  x2   0 составляем однородную систему уравнений⇔ − 1 − 2   x1   0  ⋅   =   .36  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду: − 1 − 2 0 1 2 0  1 2 0~.~6 0   3 6 0   0 0 0 3Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.Выражаем базисную переменную x1 через свободную переменную: x1 = −2x2 .

Полагаяx2 = 1 , получаем решение − 2ϕ1 =   . 1 λ1 = 2 :41 . Записываем собственные векторы, соответствующие собственномуs1 = C1 ⋅ ϕ1 , где С1 – отличная от нуля произвольная постоянная.значению532 .Для простого корня(A − λ 2 E )⋅ x = o :λ2 = 71 − 7 − 2   x1   0  ⋅   =  38−7  x2   0 составляем однородную систему уравнений⇔ − 6 − 2   x1   0  ⋅   =   .31  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду:11 0  1 − 6 − 2 0  30   1 13 0 3~ ~  ~  0 0 0 .310620−−620−−   Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.13Выражаем базисную переменную x1 через свободную переменную: x1 = − x2 .Полагая x2 = 1 , получаем решение− 1 ϕ2 =  3  . 1 4 2 .

Записываемλ 2 = 7 : s2 = C2 ⋅ ϕ 2 , где С2собственные векторы, соответствующие собственному значению– отличная от нуля произвольная постоянная.6 1 1 1B =  1 1 1 1 1 1Матрица B : 1. Составляем характеристический многочлен матрицы:1− λ11∆ B (λ ) = B − λE = 1 1 − λ1 = (1 − λ )3 + 2 − 3(1 − λ ) = −λ3 + 3λ2 .11 1− λ2. Решаем характеристическое уравнение: − λ3 + 3λ2 = 0 ⇒ λ1 = 3 , λ 2 = λ 3 = 0 (спектр).31 Для простого корня λ1 = 3 составляем однородную систему уравнений (B − λ1 E )⋅ x = o :1   x1   0 1 − 3 1     1 1 − 3 1  ⋅  x2  =  0 1 1 − 3   x3   0  1или − 2 x1 + x2 + x3 = 0 , x1 − 2 x2 + x3 = 0 , x + x − 2x = 0 .3 1 2Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду(ведущие элементы выделены полужирным курсивом):1 0  11 − 2 0− 2 1 (B − λ1E o ) =  1 − 2 1 0  ~  − 2 1 1 0  ~ 11 − 2 0   1 − 2 1 0 1 1 − 2 0 1 1 − 2 0 1 0 −1 0  ~  0 3 − 3 0 ~  0 1 −1 0 ~  0 1 −1 0 .0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Ранг матрицы системы равен 2 ( r = 2 ), число неизвестных n = 3 , следовательно, фундаментальнаясистема решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.x = x ,Выражаем базисные переменные x1 , x2 через свободную x3 :  1 3 x 2 = x3 ,и, полагая x3 = 1 , получаем решение41 .

Все1 ϕ = 1 .1 собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 = 3 , вычисляем поформуле s = C1 ⋅ ϕ , где С1 – отличная от нуля произвольная постоянная.732 . Для двойного корня λ 2 = λ 3 = 0 имеем однородную систему B ⋅ x = o . Решаем ее методомГаусса:1 1 1 0   1 1 1 0  ( B o ) = 1 1 1 0  ~  0 0 0 0  .1 1 1 0   0 0 0 0  Ранг матрицы системы равен единице ( r = 1 ), следовательно, фундаментальная система решенийсостоит из двух решений ( n − r = 2 ).