Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 7

Обобщим это определение. Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух векторах так, что две его сме кпые стороны являются векторами с общим началом. Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскости параллелограмм считается положительно или отрицательно ориентированным, смотря по тому, как ориентирована определяющая его пара векторов. На ориентированной плоскости принято считать площадь ориен- тированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентирован положительно, и равна той же площади со знаком минус, если отрицательно.

Мы будем обозначать площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, через Я~(а, Ь). Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векторах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являются векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориентированным, если эти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрицательна смотря по тому, какую тройку образуют векторы, на которых он построен. В ориентированном пространстве объем ориентированного параллелепипеда число со знаком: объем положительно ориентированного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного — — - отрицательным.

При выбранной нами правой ориентации пространства положительными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, построенных на правых тройках векторов. Гл. Х. Венпгорная алгебра 4. Смешанное произведение. Если пространство ориентировано, мы можем ввести Определение. Смешанным произведением векторов а, Ь и с (в данном порядке) называется число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны, и равное нулю, если компланарны. Смешанное произведение векторов а, Ь и с обозначается (а, Ь, с).

При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов а, Ь и с мы получаем, сравнивая ориентации троек векторов (см. рис. 14), (а,Ь,с) = (с,а,Ь) = (Ь,с,а) = — (Ь,а,с) = — (с,Ь,а) = — (а,с,Ь). (7) Следующее предложение устанавливает связь между скалярным произведением и смешанным произведением. Предложение 3. Каковы бы ни были векторы Ь и с, найдется единственный (не зависящий от а) вектор й такой, что при лгобом а выполнено равенство (а, Ь, с) = (а., с1).

(8) Д о к а з а т е л ь с т в о Докажем сначала существование вектора с$, а потом установим, что такой вектор возможен только один. Пусть векторы Ь и с коллинеарны. Тогда при любом а векторы а, Ь и с компланарны и (а,Ь,с) = О. Поэтому мы можем положить с1 = О. Рассмотрим неколлинеарные векторы Ь и с и предположим сначала, что а, Ь и с не компланарны. Построим на них ориентированный параллелепипед и при- Н мем за его основание параллелограмм, построенный на Ь и с (рис. 15).

Введем ориентацию на прямой ОН, перпендикулярной осно- О ванию. Мы зададим ее с помощью вектора п длины 1, составляющего с Ь и с правую тройку и, Ь, с. (Тройка Ь, с, и также правая.) (а,п) скалярная проекция вектора а ка а, Ь,с левая на и. По модулю она равна высоте параллелепипеда ОН, а знак ее определяется ориентацией тройки а, Ь, с. Действительно, (а,п) > О тогда и только тогда, когда концы векторов а и п лежат в одном полупространстве, т. е. тройка а,Ь,с правая так же, как п,Ь,с. Таким образом, (а,п) положительно для правой тройки а, Ь,с и отрицательно для левой. Пусть положительное число 5 площадь основания параллелепипеда. Тогда произведение (а.,п)Я по модулю равно объему параллелепипеда, а знак его совпадает со знаком (а,п).

Это значит, что (а, Ь,с) = 5(а,п). Полученное равенство совпадает с (8), если с1 = Яп. (9) ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения З1 Подчеркнем, что векторное произведение, как и смешанное, определено только для ориентированного пространства. Разумеется, необходим также выбор единицы измерения длин. Векторное произведение векторов Ь и с обозначают (Ь,с~ или Ь х с. Используя это обозначение, мы можем записать формулу (8) в виде (а, Ь, с) = (а, ~Ь., с)).

(10) Благодаря этому равенству смешанное произведение и получило свое название. П р и м е р 1. Пусть е1, ез, ез правый ортонормированный базис. Тогда при выбранной нами правой ориентации пространства ~е2,ез1 = е1, ~ез,е11 = ез, ~е1,ез1= ез. (11) Если К1, К2, Кз — левый ортонормированный базис, то %, 1'з1 = -~'1, ~1'з, Ч = -1'2, [1'1, 61 = -1'з. П р е д л о ж е н и е 4. Векторное умножение антикоммутативно, т. в. для любых векторов ~Ь, с~ = — (с, Ь~. Действительно, если (а, Ь, с) = (а, Й), то (а, с, Ь) = — (а, с1) = (а, ( — с1)). Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применяя предложе- Осталось рассмотреть случай, когда Ь и с не коллинеарны, а а, Ь и с компланарны. В этом случае а лежит в плоскости векторов Ь и с и, следовательно, ортогонален вектору с1, вычисленному по формуле (9).

Поскольку (а, Ь., с) = 0 и (а, п) = О, вектор (9) удовлетворяет равенству (8) и в этом случае. Итак, мы нашли вектор, который удовлетворяет (8) при любом а и определяется только по Ь и с. Допустим, что для фиксированных Ь и с нашлось два вектора с$1 и с12 таких, что для любого а выполнено (а, Ь,с) = (а,с11) и (а,Ь,с) = = (а, с12). Отсюда следует, что (а, с11) = (а,с1з) или (а, с11 — сиз) = О.

Поэтому вектор с1~ — с12 ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору. Это доказывает, что вектор с1, определяемый формулой (8)., может быть только один. Предложение полностью доказано. Опишем еще раз, как вектор с1 определяется по Ь и с. 1.

Если Ь и с коллинеарны, то с1 = О. 2. Если Ь и с не коллинеарны, то: а) (с1! = Я = ~Ь~~с~ ь1пд, где ~р угол между Ь и с; б) вектор с1 ортогонален векторам Ь и с; в) тройка векторов Ь, с, с1 имеет положительную ориентацию. При нашем выборе ориентации пространства это правая тройка.

О п р е д е л е н и е. Вектор с1, определенный перечисленными выше условиями, или, что то же, формулой (8), называется векторным произведением векторов Ь и с. 32 Гл. Х. Векпгорная алгебра ние 2 к скалярному произведению (Лаг + гга2, [Ь, с]), мы получим (Лаг + иа2, Ь, с) = Л(а1, Ь, с) + и(а2, Ь, с).

(12) Из равенств (7) следуют аналогичные тождества для остальных сомножителей. Например, для второго сомножителя (а, ЛЬ1+,иЬ2, с) = Л(а, Ь1, с) + и(а, Ь2, с). (1З) Действительно, мы можем переставить интересующий нас сомножитель на первое место, раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку. Предложение 5. Для любых векторов Ь1, Ьз и с и любых чисел Л и гг имеет место равенство [ЛЬ1 + иЬ2, с] = Л[Ь1, с] + Р[Ь2, с] В самом деле, правой части формулы (13) можно придать вид (а, Л[Ь1, с]) + (а, р[Ь2, с]). Поэтому по предложению 2 получаем (а, [ЛЬ1+ рЬ2,с]) = (а, Л[Ь1, с] +,и[Ь2,с]).

Так как это верно для любого вектора а, мы можем, выбрав ортонормированный базис е1, е2, ез, подставить на место а последовательно каждый вектор этого базиса. В силу предложения 1 мы получим равенство всех компонент векторов [ЛЬ1 + рЬ2, с] и Л[Ь1, с] + и[Ь2, с], а отсюда и равенство векторов, которое нам нужно было доказать. Линейность векторного произведения по второму сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности. 5. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей.

Если заданы разложения векторов а и Ь по векторам некоторого базиса е1, е2, ез, то мы можем раскрыть скобки: [а, Ь] = [(аге1 + о2е2 + азез), (Д е1 + Д2е2 + Дзез)] = — (Сг1/~2 г-г2/~1) [Е1 Е2] + (г-г2дЗ Сгз/~2) [Е2 ЕЗ] + + (113Д1 — с11~3) [ез, е1]. (14) Здесь использовалась антикоммутативность векторного умножения и то, что векторное произведение двух одинаковых сомножителей нулевой вектор. В примере 1 были сосчитаны попарные векторные произведения векторов ортонормированного базиса.

Поэтому из формулы (14) следует Теорем а 2. В положительно ориентированном ортонормированном базисе векторное произведение выражается через компоненты сомножителей формулой [а, Ь] = (а2~дз — сгз®е1 + (азД вЂ” а1®е2 + (сг1Д2 — а2Я)ез. (15) Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы следует поставить знак минус. ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения (а, Ь, с) = у1 (а2~3з — аз® (е1, ~е2, ез]) + +.у2(озА — а~ дз)(е2, ~ез, ей + уз(а1 ~2 — а2А)(ез, ~е1, е21). (Слагаемые, содержащие смешанные произведения с одинаковыми со- множителями, мы не выписываем, так как они равны нулю.) Отсюда, учитывая равенства (7) и приводя подобные члены, получаем нуж- ный нам результат. 6. Детерминанты второго и третьего порядков.

Найденные нами формулы достаточно громоздки. Для их более компактной записи употребляются детерминанты (или определители) второго и третьего порядков. Рассмотрим четыре числа а1, а2, Д,,32. Из них можно составить таблицу, называемую матрицей второго порядка: С11 02 А д2 Число а1Д2 — а2Д называется детерминантом этой матрицы или де- терминантам второго порядка и обозначается С11 с12 д1 /~2 Теперь выражение векторного произведения в правом ортонормированном базисе перепишется так: С11 02 111 112 02 лЗ А дз Из с11 дз А ~а,Ь) = Е1+ Е2+ ез. Из компонент трех векторов можно составить таблицу — матрицу 3 Д.В. Беклемишев Избежать постоянной заботы об ориентации базисов можно двумя способами.