Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 11

Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинеарными векторами, ей параллельными, — начальной то гной и направляющими векторами плоскости. Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, ес- М ли мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат. Пусть дана прямая.

Обозначим че- ев рез го и а соответственно радиус-вектор ее начальной точки ЛХо и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку ЛХ с радиус-вектором г (рис. 18). Рис. 18 Вектор МоЛХ = г — го, начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда ЛХ также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки ЛХ найдется такое число 1, что (3) г — го —— 1а.

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу (3) в качество 1г вектор г в этой формуле определит некоторую точку па прямой. Уравнение (3) называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина 1г принимающая любые вещественные значения, называется параметром. Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис. Рассмотрим прямую в пространстве.

Пусть (х, у, ~) и (хо, до, хо) —- координаты точек ЛХ и ЛХо, соответственно, а вектор а имеет компоненты (аг,аз,аз). Тогда, раскладывая по базису обе части уравне- 48 Гл. ХХ. Прямые линии и плоскости Рис. 19 г — гΠ—— 1~Р+ 12Ц. (6) Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости.

Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров 11 и 12. Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения 81 и 12, уравнение (6) определит некоторую точку плоскости. Пусть (х,у,з) и (хо,до,зо) координаты точек ЛХ и ЛХО соответственно, а векторы р и с1 имеют компоненты (р1,р2,рз) и (ц1, у>, цз). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения (6), мы получим параметрические уравнения плоскости х — хО 11р1 + 12Д1> д УО 11р2 + 12Д2> 2 — ~0 = 11рз + ХзсХз. (7) Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра 1, соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат.

Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, это ее координаты в этой системе. 3. Прямая линия на плоскости. Параметрическое уравнение прямой утверждает, что точка ЛХ лежит на прямой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки ЛХО коллинеарна направляющему вектору а. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора ЛХ(х,д)„ЛХО(хо,до), а(а1, а2). Тогда условие ния (3), мы получим хΠ— а1~ д УΠ— а2~~ 2 ~0 — аз~.

(4) Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично, хО: а~ ~, д уО: а2~. (5) Уравнения (4) или (5) называются параметрическими уравнениями прямой. Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через р и с1 ее направляющие векторы, а через го — радиус-вектор ее начальной точки ЛХО. Пусть точка ЛХ с радиус-вектором г произвольная точка пространства (рис.

19). Вектор ЛХОЛХ = г — го, начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец ЛХ также лежит на плоскости. Так как р и с1 не коллинеарны, в этом и только этом случае г — гО может быть по ним разложен. Поэтому, если точка ЛХ лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа 11 и 12, что 9'2.

Уравнения прямых и гглоскостей 49 коллинеарности может быть записано в виде равенства х — хо у — уо аг а2 (8) Поэтому имеет место Предложение 1. В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой Мо(хо, до) и направляющим вектором а(аг, а2) может быть записано в виде (8). Уравнение (8) линейное.

Действительно, после преобразования оно принимает вид а2х — а1У+ (а1до — а2хо) = О, т. е. Ах+ Вд + С = Ог где А = аг, В = — аг и С = а1до — а2хв. С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена Ах + Ву + С, А + В2 ф О, найдутся такаЯ точка Мв(хо,до) и такой вектоР а(аг, .а2), что х — хо у — уо а1 а2 (9) 1/2) д = кх+Ь, (и) где й = — А/В, а Ь = — С/В. Мы видим, что й о равно отношению компонент направляющего вектора: й = а2/аг (рис.

20). мая у= — ж+1/2 О и р е д е л е н и е. Отношение компонент направляющего вектора а2/а1 называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью 4 Д.В. Беклемишев Действительно, выберем числа хо и уо так, чтобы Ахо + Вуо + С = О. В качестве таких чисел мо"кно взять, например, хо= . о= — АС вЂ” ВС о ~в+В> Уо ~2+В,.

( ) 10 Если С = — Ахо — Вуо, то Ах+ Ву + С = А(х — хо) + В(д — до), т. е. выполнено равенство (9) при а2 — — А, аг — — — В. Итак, мы получили П р е д л о ж е н и е 2. Вектор с координатами ( — В, А) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением (2) в общей декартовой системе координат, а точку (10) за начальную точку. С л е д с т в и е. Если система координат декартова прямоугольная, то вектор п(А, В) перпендикулярен прямой с уравнением (1). Действительно, в этом случае (а, п) = — — ВА + АВ =- О. Заметим, что из предложений 1 и 2 вытекает теорема 2.

Пусть в уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент В отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде Гл. 11. Прямые линии и плоскости 50 абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез (рис. 21). Положив х = О в уравнении (11), получаем д = б.

Это означает, что свободный член уравнения о является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат. Если же в уравнении прямой В = О и ее уравнение нельзя представить в виде (11), то о обязательно А ф О. В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид х = хо, где хо — — — С/А абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс. 4. Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка ЛХ лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки ЛХо компланарна направляющим векторам р и с1. Эту компланарность можно выразить и равенством (г — го,р,Ч) = О. (12) Вектор и = ~р,с11 ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение (12) в виде (г — го,и) = О. (13) Уравнения (12) и (13) называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки.

Например, положив в (13) .0 = — (го,и), получим (г, и) + О = О. (14) Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные (13) и (14), (г — го,и) = О или (г,и) +С = О. Первое из них выражает тот факт, что вектор г — го перпендикулярен ненулевому вектору и, перпендикулярному направляющему вектору а, и потому коллинеарен а. Предложение 3. Пусть х,д,г компоненты вектора г в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение (г — го, и) при и ф О записывается линейным многочленом Ах + + Вд+ Сг+.О (А~ + Вз + С~ ~ О). Обратно, для любого линейного многочлена найдутся.

такие векторы го и и ф О, что в заданной общей декартовой системе координат Ах + Вд + Сг + В = (г — го, и). Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора г по базису в данное скалярное произведение: (хе1+ де~+ гез — го, и), ~2.

Уравнения прямых и плоскостей 51 раскроем скобки и получим многочлен Ах+ Ву+ Сг+ Р, в кото- ром Р = — (го, и) и А = (е1.,п), В = (е2.,п), С = (ез,п). (15) А, В и С одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор п не может быть ортогонален всем векторам базиса. Для доказательства обратного утверждения найдем сначала век- тор п из равенств (15), считая А, В и С заданными. Из предложе- ния 10 ~ 4 гл. 1 следует, что п — ' + ' + А[ее, ее] В[ед, е1] С[е1, ег] (16) (е1, е, ез) (е1, ег, ее) (е1, ее, ез) Вектор го должен удовлетворять условию Р = — (го, п).