Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005)

УДК 51.4 ББК 22.151 Б42 В учебнике излагается основной материал, входящий в объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные преобразования, системы линейных уравнений, линейные пространства, евклидовы и унитарные пространства, аффинные пространства, тензорная алгебра. Настоящее издание существенно переработано. В основном изменения направлены на улучшение изложения, но сделано много добавлений, из которых наиболее существенное -- теорема Жордана.

Добавлены задачи и упражнения, снабженные ответами и указаниями. Произведен также ряд сокращений. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Табл. 2. Ил. 55. Библиогр. 23 назв. ® ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 ® Д. В. Беклемишев, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 1ЯВХ 5-9221-0304-0 Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр.

— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.— 304 с. — !ЯВИ 5-9221-0304-0. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 17 21 40 31 32 ~3 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторы 1. Предварительные замечания (9). 2. Определение вектора (9). 3. О дру- гом определении вектора (10). 4. Линейные операции (11). 5. Линейная зависимость векторов (13).

6. Базис (16). Системы координат . 1. Декартова система координат (17). 2. Деление отрезка в заданном отношении (18). 3. Декартова прямоугольная система координат (19). 4. Полярная система координат (19). 5. Цилиндрические и сферические координаты (20). Замена базиса и системы координат .. 1. Изменение базиса (21). 2.

Изменение системы координат (22). 3. За- мена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости (22). Скалярное, смешанное и векторное произведения........... 24 1. Скалярное произведение (24). 2. Ориентация прямой, плоскости и пространства (27). 3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда (29).

4. Смешанное произведение (30). 5. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей (32). 6. Детерминанты второго и третьего порядков (33). 7. Условия коллинеарности и компланарности (35). 8. Площадь параллелограмма (36). 9. Двойное векторное произведение (37). 10. Биортогональный базис (37). 11. О векторных величинах (38). ГЛАВА 11. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ Общее понятие об уравнениях . 1. Определения (40). 2. Алгебраические линии и поверхности (42). 3.

Уравнения, не содержащие одной из координат (44). 4. Однородные уравнения. Конусы (45). Уравнения прямых и плоскостей 1. Поверхности и линии первого порядка (46). 2. Параметрические урав- нения прямой и плоскости (47). 3. Прямая линия на плоскости (48). 4. Векторные уравнения плоскости и прямой (50). 5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости (52).

6. Уравнения прямой в про- странстве (54). Основные задачи о прямых и плоскостях Оглавление 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (56). 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки (56). 3. Параллельность прямой и плоскости (56). 4. Полупространство (57). 5. Расстояние от точки до плоскости (58). 6. Расстояние от точки до прямой (58). 7. Расстояние между скрещивающимися прямыми (59). 8.

Вычисление углов (60). 9. Некоторые задачи на построение (60). 10. Пучок прямых (62). 11. О геометрическом смысле порядка алгебраической линии (63). ГЛАВА Ш. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3 1. Исследование уравнения второго порядка 3 2. Эллипс, гипербола и парабола 1.

Эллипс (69). 2. Гипербола (73). 3. Парабола (76) 65 69 '3 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 79 1. Пересечение линии второго порядка и прямой (79). 2. Тип линии (80). 3. Диаметр линии второго порядка (80). 4. Центр линии второго порядка (81). 5. Сопряженные направления (84). 6. Главные направления (85). 7. Касательная к линии второго порядка (85).

8. Особые точки (86). 3 4. Поверхности второго порядка 1. Поверхности вращения (88). 2. Эллипсоид (89). 3. Конус второго порядка (90). 4. Однополостный гиперболоид (90). 5. Двуполостный гиперболоид (91). 6. Эллиптический параболоид (92). 7. Гиперболический параболоид (92).

ГЛАВА 1У. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ 3 1. Отображения и преобразования 1. Определение (95). 2. Примеры (95). 3. Произведение отображений (96). 4. Координатная запись отображений (98). '3 2. Линейные преобразования 99 1. Ортогональные преобразования (99). 2. Определение линейных преобразований (100). 3. Произведение линейных преобразований (102), 4. Образ вектора при линейном преобразовании (103). 3 3. Аффинные преобразования 106 1. Образ прямой линии (106).

2. Изменение площадей при аффинном преобразовании (107). 3. Образы линий второго порядка (109). 4. Разложение ортогонального преобразования (110). 5. Разложение аффинного преобразования (111). ГЛАВА У. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Определение (114). 2. Транспонирование матриц (115). 3. Некоторые виды матриц (116).

4. Сложение и умножение на число (116). 5. Линейная зависимость матриц (117). 3 2. Умножение матриц 120 1. Символ " (120). 2. Определение и примеры (121). 3. Свойства умножения матриц (123). 4. Элементарные преобразования. Элементарные матрицы (!25).

5. Вырожденные и невырожденные матрицы (127). 6. Обратная матрица (129). '3 3. Ранг матрицы 132 2. Основные теоремы (133). 3. Ранг произведения матриц (134). 4. Нахождение ранга матрицы (135). 3 1. Матрицы 114 Оглавление 3 4. Детерминанты 1. Определение детерминанта (136). 2. Единственность детерминанта (139). 3. Существование детерминанта.

Разложение по столбцу (140). 4. Свойства детерминантов (142). 5. Формула полного разложения (143). '3 5. Системы линейных уравнений (основной случай) 1. Постановка задачи (146). 2. Основной случай (148). 3. Правило Крамера (148). 4. Формулы для элементов обратной матрицы (149). 1. Условия совместности (149). 2. Нахождение решений (152).

3. Приведенная система (152). 4. Общее решение системы линейных уравнений (155). 5. Пример (155). ГЛАВА У1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНС'ГВА 3 1. Основные понятия 157 1. Определение линейного пространства (157). 2. Простейшие следствия (159). 3. Линейная зависимость (159). 4. Базис (160). 5. Замена базиса (163).

6. Ориентация пространства (164). 3 2. Линейные подпространства . 1. Определения и примеры (165). ранств (167). 2. Сумма и пересечение подпрост- '3 3. Линейные отображения 171 1. Определение (171). 2. Координатная запись отображений (173). 3. Изоморфизм линейных пространств (175). 4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов (175). 5. Канонический вид матрицы линейного отображения (176).

6. Сумма и произведение отображений (176). '3 4. Задача о собственных векторах 178 1. Линейные преобразования (178). 2. Умножение преобразований (179). 3. Инвариантные подпространства (180). 4. Собственные подпространства (182). 5. Характеристическое уравнение (183). 6. Свойства собственных подпространств (185). 7. Комплексные характеристические числа (186). 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду (187). 9. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду (189). 3 5.

Линейные функции 1. Определение функции (191) женное пространство (193). 191 2.3!инейные функции (191). 3. Сопря- 3 6. Квадратичные формы 195 1. Билинейные функции (195). 2. Квадратичные формы (197). 3. Ранг и индекс квадратичной формы (201). 4.

Полуторалинейные функции (204). 3 7. Теорема Жордана 205 1. Теорема Гамильтона-Кали (205). 2. Корневые подпространства (207). 3. Строение корневого подпространства (208). 4. Теорема 7Кордана (211). 5. Приведение к жордановой форме (212). Г Л А В А УП. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРО С'РРАНСТВА 3 1. Евклидовы пространства 215 1. Скалярное произведение (215).

2. Длина и угол (216). 3. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей (217). 4. Ортогональные базисы (218). 5. Ортогональные матрицы (219). 6. Ортогональное дополнение подпространства (220). 7. Ортогональные проек- 3 6. Системы линейных уравнений (общая теория)............. 149 Оглавление ции (221). 8. Метод ортогонализации (221). 10. Объем параллелепипеда (223). Линейные преобразования евклидовых пространств 1. Преобразование, сопряженное данному (225).

2. Самосопряженные преобразования (226). 3. Изоморфизм евклидовых пространств (229). 4. Ортогональные преобразования (230). 5. Полярное разложение (232). Функции на евклидовых пространствах 1. Линейные функции (235). 2. Преобразование, присоединенное к били- нейной функции (236). 3. Ортонормированный базис, в котором квад- ратичная форма имеет диагональный вид (237). Понятие об унитарных пространствах 1. Определение (239).

2. Свойства унитарных пространств (241). 3. Са- мосопряженные и унитарные преобразования (242). 4. Эрмитовы фор- мы в унитарном пространстве (243). 9. ЯЛ-разложение (223) 225 235 239 ГЛАВА 'Ч111. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 11 32 Плоскости 1. Аффинное пространство (245). 2. Плоскости в аффинном пространстве (247). Общая теория линий и поверхностей второго порядка........ 1. Закон преобразования коэффициентов (248).