Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 9

° Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых. ° При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются. ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения ° Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы (10). Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (например, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/с, Н).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях. Поскольку единица длины у нас выбрана и не меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести не может. Однако оно не так безобидно, как может показаться.

Именно, два математика, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин- дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений, если дюйм равен примерно 2,5 см7 Унражнения 1. Пусть в некотором базисе скалярное произведение вычисляется по формуле (2).

Докажите, что базис ортонормированный. 2. Используя свойства скалярного умножения, докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке. 3. Найдите сумму векторных проекций вектора а на стороны заданного правильного треугольника. 4. Построены векторы, перпендикулярные граням произвольного тетраэдра, равные по длине площадям этих граней и направленные в стороны вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна О.

5. Дан трехгранный угол. Используя свойства векторного произведения, найдите выражение какого-либо из его двугранных углов через плоские углы. 6. Пусть дан положительный базис на ориентированной плоскости такой, что ~е1! = 2, (е2~ = 3 и (е1, е ) = 2. Найдите площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а(1, 2) и Ъ(2, 1).

7. При каком условии на матрицу перехода от одного базиса к другому оба базиса ориентированы одинаково'? Вопрос поставлен как для плоскости, так и для пространства. 8. Какова размерность векторов взаимного базиса е,",е~,е~, если векторы базиса е~, е, ез измеряются в сантиметрах? ГЛАВА П ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ ~ 1. Общее понятие об уравнениях 1. Определения. Начнем с простого примера. Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса г, центр которой находится в точке Р с координатами (а,в,с).

Сфера — множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние г. Обозначим через (х, д, ~) координаты некоторой точки ЛХ и выразим через них равенство ~РА1~ = г: (х — а)~ + (д б)2 + (~ — с)~ = г. Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удобную форму (х — а) +~д — 6) +(~ — с) =г . (2) Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и только для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат.

Равенство (2) называется уравнением сферы в рассматриваемой системс координат. Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функции ~ называется линия Е, состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением д = ~(х). Если нас интересует в первую очередь линия, а не функция, мы можем встать на другую точку зрения и считать, что соотношение д = ~(х) есть уравнение линии Ь.

Вообще, под уравнением множества Я в некоторой системе координат следует понимать выражение определения множества Я через координаты его точек, т. е. высказывание, верное для координат всех точек множества и неверное для координат точек, ему не принадле- жащих. Чаще всего уравнение представляет собой равенство, записанное математическими символами, но это вовсе не обязательно: оно может быть словесным описанием, перечислением и т.

д. Например, высказывание "обе координаты точки --- рациональныс числа" мы будем считать уравнением соответствующего множества в какой-либо заранее выбранной системе координат. Это должно звучать естественно для читателя, знакомого со способами задания функций. Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид Г(х, д) = О, а в стереометрии вид Г(х, д, ~) = О, где г' функция соответственно двух или трех переменных. Уравнение сферы (2) у1. Общее понягние об уравнениях имеет такой вид, если не замечать то несущественное обстоятельство, что член г2 написан в другой части равенства.

Может случиться, что уравнение какого-либо множества удобнее записать в виде неравенства. Например,шар, ограниченный сферой с уравнением (2), имеет уравнение (х — а) + (д — Ь) + (~ — с) < г~. Однако напрасно было бы надеяться разделить множества на такие, которые задаются равенствами, и такие, которые задаются неравенствами. Действительно, равенство Ф(х,д,х) = Р(х,д,х) — !Р(х,дгх)/ = О задает то же множество, что и неравенство Р(х, д, ~) > О. Следует подчеркнуть зависимость уравнения от системы координат.

При изменении системы координат меняются координаты точки, а потому уравнения одного и того же множества в разных системах координат, вообще говоря, различны. Обучаясь математике, мы знакомимся с логическими и математическими правилами, по которым из одного верного высказывания можно получить другое верное высказывание. Строгое изучение этих правил относится к специальной науке — математической логике. Мы же, формулируя приведенные ниже предложения, просто будем считать, что такие правила известны.

Естественно поэтому, что о доказательстве этих предложений не может быть речи. ° Если Р~ и Рт — уравнения множеств 5 и Т, то уравнение пересечения Я Й Т есть высказывание, состоящее в том, что Ря и Рт верны одновременно. Такое высказывание обозначается Р~ А Рт. В случае, когда Р~ и Рт равенства, содержащие координаты точки, Р~(х,д,х) = О и Рт(х,д,~) = О, уравнение пересечения есть система уравнений Рв(х,д,х) = О, Рт(х,д,х) = О. ° Если Рц и Рт уравнения множеств Я и Т, то уравнение объединения ЯОТ - - высказывание, состоящее в том, что из Р~ и Рт верно хотя бы одно. Такое высказывание обозначается Ря Ч Рт. ° В случае, когда Рв и Рт — равенства, содержащие координаты точки, Рь (х, д, х) = О и Рт(х, д, х) = О, уравнение объединения можно написать в виде Ру(хгд,/)Рт(х,д,х) = О. е Если Рв и Рг уравнения множеств Я и Т и Я есть подмножество Т, то из Рь следует Рт.

° Множества Я и Т совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны, т. е. из Рь следует Рт, а из Рт следует Рв. Проиллюстрируем два последних утверждения. Уравнения (1) и (2) эквивалентны. Переходя от (2) к (1), мы можем не ставить двойного Гл. Х1. Прямые линии и плоскости 42 знака перед корнем, так как г > О. Наоборот, уравнение (3) не эквивалентно уравнению (2).

Действительно, хотя возведением в квадрат можно получить (2) из (3), при извлечении корня из (2) мы получаем Это означает, что равенство (2) выполнено не только для точек, удов- летворяющих (3)., но и для точек, удовлетворяющих уравнению (4) Уравнение (2) следует также и из (4). Таким образом, уравнения (3) и (4) определяют части сферы "верхнюю" и "нижнюю" полусферы. Иногда два последних утверждения считают определениями отношений "следует" и "эквивалентно" для уравнений. 2.

Алгебраические линии и поверхности. Изучение произвольных множеств точек задача совершенно необъятная. В этом пункте мы определим сравнительно узкий класс множеств, все еще чересчур широкий для того, чтобы быть подробно изученным. О п рс дел с н и е. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением нида А1хь д~~г~~ + ... + А,х~ д~ г~ = О, (б) где все показатели степени — целые неотрицательные числа.

Наибольшая из сумм1 Й1 + 11 + т1, ..., й, + 7, + и, называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид (2), является алгебраической поверхностью второго порядка. Определение. Алгебраической линией на плоскости называет- ся множество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида А1 х~" дй + ...

+ А,х~'д~-' = О, (6) где все показатели степени целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм й~ + 11, ..., й, + 1, называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической линии. Легко видеть, что алгебраическая поверхность не обязательно является поверхностью в том смысле, который мы интуитивно придаем *) Разумеется, здесь имеется в виду наиболыпая из сумм, фактически входящих в уравнение, т. е. предполагается, что после приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым коэффициентом, имеющее такую сумму показателей. Это же замечание относится и к определению порядка алгебраической линии, приводимому ниже.

у1. Общее понятие об уравнениях этому слову. Например, уравнению х2 + д2 + г~ + 1 = О не удовлетворяют координаты ни одной точки, уравнение (х + д + г') ~(х — 1) + (д — 1) + (г — 1) ~ = О определяет две точки, уравнение д2 + г~ = О определяет линию (ось абсцисс). Такое же замечание надо сделать и об алгебраических линиях. Читатель сам сможет найти соответствующие примеры. Приведенные определения имеют существенный недостаток. Именно, не известно, какой вид имеет уравнение поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе координат.

Если же уравнение и имеет в другой системе координат уравнение вида (5), то порядок какого из этих уравнений мы будем называть порядком поверхности? Те же вопросы возникают и об алгебраических линиях. Ответом служат следующие теоремы. Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка р в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (5) порядка р.