Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 4

Пусть а, Ь и с не компланарны. Аналогично предыдущему докажем, что с1 раскладывается Р по ним. Поместим начала всех векторов в одну точку О (рис. 3) и проведем через конец .0 с 1 вектора с1 прямую, параллельную с, до пересечения в точке Р с плоскостью, на которой лежат а и Ь.

Теперь О.О = ОР + Рз'.з, причем ОР р комплапарен а и Ь, а Р.О коллинеарен с. По а доказанному выше ОР раскладывается по а и Рис. 3 Ь, а РО по с. Значит, с1 разложен по а, Ь и с и составляет с ними линейно зависимую систему. Теорема доказана. Гл. Х. Векпгорная алгебра 6.

Базис. В конце п. 4 было дано определение векторного пространства. Введем следующее Определение. Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается. Из теоремы 1 сразу вытекает, что ° В нулевом пространстве базиса не существует.

° В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора. ° В двумерном пространстве (на плоскости) базис упорядоченная пара неколлинеарных векторов. ° В трехмерном пространстве базис упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Требование упорядоченности означает, что, например, в случае плоскости а, Ь и Ь, а — — два разных базиса. Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. Таким образом, если е1, е2, е3 — базис трехмерного пространства, то по формуле а = оге1 + а2е2 + азе3 каждому вектору сопоставлена единственная упорядоченная тройка чисел а1, а2, а3 и каждой тройке чисел единственный вектор. Аналогично, вектор на плоскости имеет две компоненты, а на прямой — — одну.

Компоненты пишутся в скобках после буквенного обозначения вектора, например а(1, 0,1). В аналитической геометрии геометрические рассуждения о векторах сводятся к вычислениям, в которых участвуют компоненты этих векторов. Следующее предлогжение показывает, как производятся линейные операции над векторами, если известны их компоненты.

Предложение 5. При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на зто число. При сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. Действительно, если а = аге1+ сг2е2 + сгзе3, то Ла = Л(аге1+ а2е2 + сгзе3) = (Лаг)ег+ (Лсг2)е2 + (Лсгз)ез. Если а = агег + а2е2 + озез и Ь = Щ ег + 1э2е2 +,33е3, то а + Ь = (сгге1 + а2е2 + азе3) + (~1 е1 + Д2е2 + г33е3) = = (сг1 +,/-г1)е1 + (02 + гд2) е2 + (<~3 + /~3)е3. Для одномерного и двумерного пространств доказательство отличается только числом слагаемых. ~ 2. Системы координапг 17 Упражнения 1.

Докажите, что точка С лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда существует число Л Е (О, 11 такое, что для любой точки О выполнено ОС = ЛОА+ (1 — Л)ОВ. Если Л дано, то в каком отношении точка С делит отрезок АВ? 2. Дан правильный шестиугольник АВСОЕГ, ~АВ~ = 2. Найдите координаты вектора АС в базисе АВ, АХ.г. 3. В некотором базисе на плоскости заданы координаты векторов а(1, 2), Ь(2, 3) и с( — 1, 1). Проверьте, что а и Ь линейно независимы, и найдите координаты с в базисе а, Ь.

4. Даны три точки А, В и С. Найдите такую точку О, что ОА+ + ОВ + ОС = О. Решив аналогичную задачу для четырех точек, докажите, что в треугольной пирамиде отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке. ~ 2. Системы координат 1. Декартова система координат.

Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Радиус-вектором точки М по отношению к точке О называется вектор ОЛХ. Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке ЛХ сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты ее радиус- вектора. О п р е д е л е н и е. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая осью абсцисс, вторая осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

О п р е д е л е н и е. Пусть дана декартова система координат О, ег,ез,ез. Компоненты т,д,з радиус-вектора ОМ точки ЛХ называются координатами точки ЛХ в данной системе координат: ОЛХ ~е1 + Уе2 + зез Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой.

Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии — одну. А(1/2, 1/2) Координаты точки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись А(2,1/2) означает, что точка А имеет координаты 2 и 1/2 в ранее выбранной декартовой О системе координат на плоскости (рис. 4). 2 Д.В. Беклемишев Гл. Х. Векторная алгебра Рис. 5 2. Деление отрезка в заданном отношении. Найдем координаты точки М на отрезке АВ, которая делит этот отрезок в отношении Л/р, т. е. удовлетворяет условию АЛ )АЛХ( Л вЂ” Л>о, Р>о гч (рис.

6). Это условие можно переписать в виде ггАМ = ЛЛХВ. (1) Обозначив через (хг,дг,гг) и (ха,уа,га) соответственно координаты точек А и В, а через (х, д, г) координаты точки ЛХ, разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов АМ и МВ найдем по предложению 1. Тогда р(х — хг) = Л(х2 — х)„Хг(у — дг) = Л(д2 — д), р(г — гг) = Л(г2 — г). Координаты точки, как и компоненты вектора, — величины безразмерные.

В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин. В самом деле, раскладывая векторы в теореме 1, мы сводили дело к разложению вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. А в этом случае компонента равна отношению длин, взятому с определенным знаком (предложение 2). Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку. Рассмотрим две точки А и В, коорди- наты которых относительно некоторой де- ~2~ У2~ ~2/ картовой системы координат О, ег,е2,ез соответственно хг, дг, гг и х2, у2, г2.

Поставим себе задачу найти компоненты вектора АВ. Очевидно, что АВ = О — ОА (рис. 5). Компоненты радиус-векторов ОА и ОВ равны (хг, уг, гг) и (х2, д2, а) по определению координат. Из предложения 5 ~ 1 следует, что АВ имеет компоненты (ха — хггда — дг,г2 — гг). Этим доказано следующее Предложение 1. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

92. Системы координат 19 Из этих равенств можно найти х, д и ~, поскольку Л + р ф О: ,их1 + Лх) рд1 + Лд~,иг1+ Л~а (2) х = д= ) Л+р ' Л+д ' Л+р Если в формулах (2) мы будем считать одно из чисел Л или и, отрицательным, то из равенства (1) увидим, что М находится на той же прямой вне отрезка АВ, деля его в отношении ~Л/р~. Поэтому из формул (2) можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образом. На плоскости и на прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в (2) остается соответственно два и одно равенство.

3. Декартова прямоугольная система координат. Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем — декартовы прямоугольные системы координат. Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат. Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей.

Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. 4. Полярная система координат. Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости. Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них. На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка О, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч 1, который называется полярной осью. Положение точки ЛХ фиксируется двумя числами: радиусом г = ~0.$Х~ и углом ~р между полярной осью и М вектором ОЛХ.

Этот угол называется полярным углом (рис. 7). г Мы будем измерять полярный угол в радиа- е2 нах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса г = О, а р не определе- е1 но. У остальных точек г > О, а р определяется с точностью до слагаемого, кратного 2т. Это озна- Рис. 7 Гл. Х. Векпгорная алгебра чает, что пары чисел (г, ~р), (г, ~р + 2тг) и вообще (г, д+ 2Ьг), где Й любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки. Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условиями, например, О < р < 2л. или — ~г < ~р < т.