Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 8

Можно договориться при правой ориентации пространства, если не оговорено противное, использовать только правые базисы. Такого соглашения мы и будем придерживаться. Второй способ состоит в том, чтобы не фиксировать заранее ориентацию пространства, а выбирать ее так, чтобы используемый базис был ориентирован положительно.

При таком подходе векторное произведение всегда вычисляется по формуле (15), но приходится следить за тем, как векторное произведение направлено. Этот подход принят, например, в литературе по физике. Теорема 3. Смешанное произведение векторов а, Ь и с выражается через их компоненты (а1, о2, оз), (Д,Д2,,3д) и ("у1, у2, уз) в произвольном базисе е1, е2, ез по формуле (а, Ь, с) = (а1,д2 уз + о2,дзу1 + + сиз А у2 — сиз Жу1 — с12,о1 уз — с 1дз у2) (е1, е2, ез).

Для доказательства заметим, что (а,Ь,с) = (с, [а,Ь)) и умножим скалярно обе части равенства (14) на вектор с = у~ е1+ у2е2 + узез. Мы получим гл. Х. Векторная алгебра 34 третьего порядка 01 Сг2 д1 ~~2 71 ~2 сиз гз '73 Число /32 /./3 72 73 Д "/'1 /-г1 /-г2 71 72 /-/3 73 + сг2 + Сгз или, что то же самое, /-г2 /-гз '72 73 /-г 2 /:1 71 д1 /-г2 '71 '72 матрицы или детерминантам называется детерми пан том этой третьего порядка и обозначается 01 /.г2 /'1 А '71 '72 По теореме 3 в новых обозначениях /11 /12 С~3 /~1 /-~2 /~З (а,Ь,с) = (Е1, Е2г ЕЗ). (16) 71 72 73 В частности, в правом ортонормированном базисе /11 02 <~3 А /2 /3 71 '72 73 (а,Ь,с) = (17) При помощи теоремы 2 и определения детерминанта можно полу- чить следующее выражение векторного произведения через компо- ненты сомножителей в правом ортонормированном базисе: Е1 Е2 ЕЗ <-г1 02 <-гз (а,Ь,с) = (18) д1 /'-г2 /-'3 (19) Детерминанты тесно связаны с системами линейных уравнений, решения которых удобно записывать с их помощью.

Этим мы зай- мемся в гл. У, а сейчас дадим только геометрическую иллюстрацию. Пусть дана система из трех уравнений агх+ /'/1у+ С13 = а1, а2х + г/2У + с23: /г2; азт+ азу+ сз~ = дз. Выберем в пространстве некоторый базис и рассмотрим векторы а(и1, и2, Йз), Ь(//1, //2, //3), с(с1, с2., сз) и с1(а1, а2, аз). Тогда система яв- ляется координатной записью векторного равенства ха+ дЬ+ гс = с1.

~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения Поэтому решение системы х, д, г — — коэффициенты разложения с1 по а, Ь и с. Мы можем быть уверены, что система имеет единственное решение, если а, Ь и с не компланарны, т. е. (а, Ь, с) ф О. Предположим! что это условие выполнено, и найдем решение. Для этого умножим обе части равенства (19) скалярно на векторное произведение ~Ь, с~. Мы получим х(а, Ь, с) = (с1, Ь, с), и, следовательно, х равен отношению детерминантов с11 с12 из 61 62 63 С1 С2 С3 а1 а2 аз и 61 62 63 С1 С2 С3 Аналогично находятся и остальные неизвестные. Остановимся на следующих свойствах детерминантов.

Из равенств (7) следует, что детерминант меняет знак при перестановке каких-либо двух строк матрицы. Формула (12) означает, что Ла1 + иа1 Ла2 + иа2' Ла!3 + ра~з' 6 62 6, С1 С2 С3 ! ! ! 01 а2 аз 61 62 63 С1 С2 С3 и и 2 аз 62 63 !.2 (-3 7. Условия коллинеарности и компланарности. Начнем со 02 03 03 01 А Рз Рз А Щ С12 Д (20) следующего полезного предложения. П редло жение 6, Баков бы ни был базис е1, е2, е3, попарные векторные произведения базисных векторов линейно независимы. Докажем это от противного. Рассмотрим равенство Л(е2, ез~ + р(ез, е11+ и~е1, е21 = О и допустим, что какой-нибудь коэффициент, пусть для определенности Л, отличен от нуля. Умножив обе части равенства скалярно на е~ ., мы получим Л(е1, е2, ез) = О.

Полученное противоречие доказывает наше предложение. Следующие предложения дают условия на компоненты векторов в произвольном базисе, необходимые и достаточные для компланарности или коллинеарности векторов. Предложение 7. Равенство нулю детерминанта матрицы из компонент трех векторов необходимо и достаточно для компланарности векторов.

Это сразу следует из формулы (16), поскольку (е1,е2,ез) != О. Предложение 8. Пусть (о1,о2,оз) и (Д,!!2,® — компоненты векторов а и Ь в некотором базисе. Векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда Гл. Х. Векпгорная алгебра 36 О стальные два детерминанта равны нулю, так как сгз —— ,Зз —— 8. Площадь параллелограмма. Если в пространстве заданы два неколлинеарных вектора, имеющих общее начало, то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, может быть найдена через их компоненты в ортонормированном базисе по формуле ~ = ![а Ь]! = (сгзг' з — сгзА) + (сгзА — сгггэз) + (агА — а2А) . (21) Еще одно выражение для площади параллелограмма мы получим, если заметим, что ![а Ь]! = !а! !Ь! з'и ~р = !а! !Ь! (1 — ~р).

В результате !а!2 (а, Ь) (а, Ь) /Ь32 (22) Найдем теперь площадь ориентированного параллелограмма на ориентированной плоскости. Можно считать, что ориентация плоскости определена вектором п, перпендикулярным плоскости и сос- тавляющим правую тройку с положительным базисом на плоскости. Более того, будем предполагать, что !и! = 1. Пусть дан ориентированный параллелограмм, построенный на векторах а и Ь. Рассмотрим скалярную проекцию Прп[а, Ь]. Так как [а, Ь] и п коллинеарны, проекция по модулю равна ![а, Ь]!, т.

е. площади параллелограмма. Она положительна, если [а,Ь] и и сонаправлены, и отрицательна в противном случае. Но вектор [а, Ь] сонаправлен с п, если пара векторов а, Ь на плоскости ориентирована положительно. Поэтому Пр [а,Ь] равна площади ориентированного параллелограмма, построенного на а и Ь. По определению проекции 5~ (а, Ь) = (и, а, Ь) Достаточность условия очевидна: из равенств (20) по формуле (14) следует обращение в нуль [а, Ь], что равносильно коллинеарности векторов. Заметим, что мы пользуемся формулой (14), которая справедлива для произвольного базиса.

Наоборот, из обращения в нуль [а, Ь] и формулы (14) мы можем вывести (20), так как в силу предложения 6 векторы [е', ез], [ез, ег] и [ег, ез] линейно независимы. В планиметрии признак коллинеарности двух векторов дает Предложение 9. Обращение в нуль детерминанта матрицы из компонент двух векторов на плоскости необходимо и достаточно для коллинеарности этих векторов. Для доказательства будем считать, что плоскость помещена в пространство и базис в этой плоскости дополнен третьим вектором до базиса в пространстве. Тогда векторы а(сгг,а2) и Ь( гг,.Д2) на плоскости имеют компоненты (сгг,а2,0) и (Д,Д2,0) относительно базиса в пространстве. Применяя предложение 8, получаем условие ~~.

Скалярное, смешанное и векторное произведения (напомним, что [п[ = 1). На плоскости выберем произвольный (не обя- зательно положительный) базис е1, е2. Примем п за третий базисный вектор и выразим смешанное произведение через координаты сомно- жителей: О О 1 а1 а~ 0 (е1,е2,п). Д,32 0 5~(а, Ь) = Вычисляя детерминант, находим, что он равен о1р12 — а2(з1, и полу- чаем окончательное выражение <~1 <-12 ~11 1-'2 Я~(а, Ь) = Я~(е1, е2). (23) Эта формула сходна с формулой (16). По существу это та же формула, написанная для двумерного пространства. Если е1, ез положительный ортонормированный базис, то Я~(а, Ь) = а1,32 — а2Д. (24) Для площади неориентированного параллелограмма в ортонормированном базисе мы получаем формулу [С~1 д2 — С12/~1 ~ ~ (25) которая следует и из (21).

9. Двойное векторное произведение. Выражение [а, [Ь, сД называется двойным векторным произведением. Докажем, что [а, [Ь, с)) = (а, с) Ь вЂ” (а, Ь) с. (26) С этой целью выберем правый ортонормированный базис е1,е2, ез так, чтобы е1 был коллинеарен Ь, а е2 был компланарен Ь и с. Тогда Ь = Де1, с = у1е1+ у2е2 и а = а1е1+ о2е2+ азез. Отсюда получаем [Ь,с~ = ф)2ез и [а, [Ь, с)) = О1Д~2е2 + О2Ф72е1. С другой стороны., 10. Биортогональный базис. Дадим следующее О п р е д е л е н и е. Базис, составленный из векторов [ез, ез~ „[ез, е1) „[е1, ез1 (е1,е,ез) (е1,ез,ез) ' (е1,е,ез) называется взаимным или биортогональным для базиса е1, е2, ез. Из предложения 6 вытекает, что е*, е*, е' не компланарны и действительно образуют базис.

Название "биортогональный" связано с тем, (а с)Ь =- (с11 ~1 + <12 ~2)~3е1, (а, Ь)с =- 1111з( ~1е1 + )2е2). Разность правых частей двух последних равенств совпадает с найденным выше двойным векторным произведением. Это заканчивает доказательство. Гл. Х. Векторная алгебра что векторы обоих базисов, имеющие разные номера, ортогональны: (е,, е") = 0 при г ф ~. Броме того, (е;, е,*) = 1 для всех г. Нетрудно проверить, что ортонормированный базис совпадает со своим взаимным. Предложение 10. Если е~,е2, е~ — базис, взаимный с е~,е2, ез, то произвольный вектор а раскладывается по этим базисам так: а = (а,е,*)е~+ (а,е,*)е~+ (а,е*)ез, а = (а, е~)е~ + (а,е2)е2 + (а,ез)ез.

(27) (28) Чтобы доказать (27), умножим равенство а = а~е~ + а2е + азез скалярно сначала на е*, затем на е* и на е*. Мы получим о~ = (а, е*), а~ — — (а,е2), аз — — (а,ез). Аналогично доказывается равенство (28). Предложение 11. Если е~,е~,е~ базис, взаимный с е~,е2,ез, то базис е~*, е~', е~*, взаимный с е~, е~, е~, совпадает с е~, ез, ез.

Действительно, равенство (28), написанное для базиса е~,е2,е~, имеет вид а = (а, е~) е~" + (а, е2) ег'+ (а ез) ез'. Подставляя сюда вместо а последовательно е~, ез и ез и учитывая, что (е,, е",) = 0 при г ф: з', а (е;, е,*) = 1, получаем е~ — — е**, е2 — — е*' и ез — — е**. Числа (а, е~), (а, е~) и (а, ез) однозначно определяют вектор а с помощью векторов базиса е~, е2, ез. Они называются ковариантными координатами вектора а в базисе е~, е2, ез. По отношению к базису е",, е~, е~ зто обычные координаты вектора. Обычные координаты, чтобы подчеркнуть их отличие от ковариантных координат, называют контрвариантными координатами. 11.

О векторных величинах. В приложениях математики час- то рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д, Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размерностями. С формальной точки зрения, размерность — зто одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами. ° Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина.