Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 3

4. Линейные операции. Так называются сложение векторов и умножение вектора на число. Напомним их определения. О п р е д е л е н и е. Пусть даны два вектора а и Ь. Построим равные им векторы АВ и ВС. Тогда вектор АС называется суммой векторов а и Ь и обозначается а + Ь Заметим, что, выбрав вместо В другую точку, мы получили бы другой вектор, равный вектору АС. О п р е д е л е н и е. Произведением вектора а на вещественное число о называется вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: а) )Ь! = (о~(а); б) Ь коллинеарен а; в) Ь и а направлены одинаково, если а > О, и противоположно, если о ( О. (Если же а = О, то из первого условия следует Ь = О.) Произведение вектора а на число о обозначается оа.

Приведенное определение определяет вектор оа не единственным образом, но все удовлетворяющие ему векторы равны между собой. В курсе средней школы были выведены основные свойства линейных операций. Перечислим их без доказательства. Гл. Х. Векпгорная алгебра П р е д ложе н и е 1. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел а и,З выполнено: 1) а+ Ь = Ь + а (сложение коммутативно); 2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сложение ассоциативно); 3) а+О=а; 4) вектор ( — 1)а противоположный для а: а+ ( — 1)а = О; 5) (а,З)а = а(,За); 6) (о+,3)а = аа+,оа; 7) о(а+ Ь) = да+ аЬ; 8) 1а=а. Вектор ( — 1)а обозначается — а.

Разностью векторов а и Ь называется сумма векторов а и — Ь. Она обозначается а — Ь. Если Ь+ х = = а, то х = а — Ь (рис. 1). В этом смысле вычитание операция, сопоставляющая паре векторов разность первого и второго, — есть операция, обратная сложению., и мы не считаем его отдельной операцией. Точно так же мы не выделяем деление вектора на число аг так как его можно определить как умножение на а Из определения произведения вектора на а число прямо следует Предложение 2. Еслиа~О, то любой векРис. 1 тор Ь, коллинеарный а, представйм в виде Ь = = +(~Ь~/~а~)а.

Знак + или — берут, смотря по толу, направлены а и Ь однаково или нет. Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа: агаг + о2а2+ ... + оьаь. Выражения такого вида называются линейными комбинациями. Числа, входящие в линейную комбинацию, называются ее коэффициентами. Свойства, перечисленные в предложении 1, позволяют преобразовывать линейные комбинации по обычным правилам алгебры: раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т. д.

Предложение 1 дает в некотором смысле полный набор свойств: любые вычисления, использующие линейные операции, можно про- изводить, основываясь на них и не обращаясь к определениям. Это будет иметь для нас принципиальное значение в гл. Л. Линейные комбинации обладают следующим очевидным свойством: если векторы аг, ..., аь коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна. Если же они компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна.

Это сразу следует из того, что вектор аа коллинеарен а, а сумма векторов компланарна слагаемым и коллинеарна им, если они коллинеарны. Множество называется замкнутым относительно некоторой операции, если для любых элементов множества результат применения этой операции принадлежит данному множеству. О п р е д е л е н и е. Множество векторов, замкнутое относительно линейных операций, называется векторным пространством. Если одно векторное пространство является подмножеством другого, то оно называется его подпространством.

Таким образом, можно сказать, что множество всех векторов, параллельных данной прямой, и множество всех векторов, параллельных данной плоскости, являются векторными пространствами. Чтобы различать эти два типа векторных пространств, их называют соответственно одномерными и двумерными пространствами. Помимо упомянутых, существуют еще два векторных пространства: нулевое или нульмерное, состоящее только из нулевого вектора, и трехмерное — множество всех векторов пространства. Нулевое пространство является подпространством для каждого другого, и каждое векторное пространство является подпространством для трехмерного.

5. Линейная зависимость векторов. Мы будем говорить, что вектор Ь раскладывается по векторам а1, ..., а~, если он представим как их линейная комбинация: найдутся такие коэффициенты, что Ь = =,31а1 + ... + ~ьаь. Вполне может случиться, что какой-то вектор раскладывается по данной системе векторов, и при этом коэффициенты разложения определены неоднозначно. Например, если аз = а1 + а2, то вектор Ь = — аз раскладывается так же, как Ь = — а1 — а2 или Ь =-- аз — 2а1 — 2а2 и т. д. Посмотрим, с чем это связано. Нулевой вектор раскладывается по любой системе векторов: мы получим нулевой вектор, если возьмем линейную комбинацию этих векторов с нулевыми коэффициентами. Такая линейная комбинация называется тривиальной.

О п редел ение. Система векторов а1, ..., а~ называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом. Иначе говоря, система векторов линейно независима, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, или, подробнее, если из равенства о1а1 + ...

+ оьаь = О следует, что а~ = ... = а~ = О. Система векторов а1, ..., аь линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, .т. е. если найдутся такие коэффициенты а1, ...,а~, что а1а1+ ... + а~ай = О, но не все они равны нулю: а2 + ... + а~ ф О. Рассмотрим свойства линейно-зависимых и линейно-независимых систем векторов. ° Если среди векторов а1, ..., а~ есть нулевой, то такая система линейно зависима. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию, в которую О входит с коэффициентом 1, а остальные векторы с нулевыми коэффициентами.

Эта линейная комбинация нетривиальна и равна нулевому вектору. В частности, Гл. Х. Векторная алгебра ° Система, содержащая один вектор, линейно зависима, если он нулевой. ° Если к линейно зависимой системе а1,...,аь добавить какие-то векторы Ь1, ..., Ь„то полученная система векторов будет линейно зависимой. В самом деле, к имеющейся равной О нетривиальной линейной комбинации векторов а1, ..., аь можно добавить векторы Ь1, ..., Ь, с нулевыми коэффициентами. Таким образом., ° Если в системе векторов какая-то часть линейно зависима, то вся система обязательно линейно зависима.

Отсюда от противного следует, что ° Любая часть линейно независимой системы линейно независима. Предложение 3. Если вектор х раскладывается по системе векторов а1, ...,а~, то это разложение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима. Действительно, пусть существуют два разложения х = а1а1 + ... ... + аьа~ и х = о1а1 + ... + ~ьа~. Вычитая их почленно одно из другого, мы получим (а1 — ®а1 + ... + (аь — ~ь)аь = О.

Если векторы линейно независимы, отсюда следует, что а1 —,о1 = О, ..., аь — ~ь = О, т. е. оба разложения совпадают. Обратно, если векторы линейно зависимы, существует их нетри- виальная линейная комбинация, равная нулевому вектору: а1а1 + ... ... + аьаь = О. Мы можем прибавить ее к имеющемуся разложению х = ~1а1 + ... + Ь~аь и получить новое разложение х по тем же векторам: х = (а1 + ®а1 + ... + ~ау, .+,3~)аь. Предложение доказано. Предложение 4. Система из й > 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывает- ся по остальным. Доказательство.

Пусть система векторов а1, ...,аь линейно зависима, т. е. существуют такие коэффициенты а1, ..., а~, что а~а1 + ... + а~а~ = О, и, например, а1 отличен от нуля. В этом случае мы можем разложить а1 по остальным векторам: из схА. а1 = — =аз †...— аь. О1 (Х1 Обратно, пусть один из векторов, например, а1, разложен по остальным векторам: а1 — — Д~а2 + ... + ~~аь.

Это означает, что линейная комбинация векторов а1, ..., аь с коэффициентами — 1, о2, ..., ~ь равна нулевому вектору. Предложение доказано. Понятие линейной зависимости будет играть большую роль в дальнейшем изложении, но сейчас мы могли бы обойтись без него ввиду простого геометрического смысла, который имеет это понятие. Теорема 1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда это нулевой вектор. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. З1.

Векторы 15 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Любые четыре вектора линейно зависимы. Д о к а за т ел ь с т во 1. Мы уже отмечали, что нулевой вектор составляет линейно зависимую систему. Система, содержащая только ненулевой вектор линейно независима, так как при его умножении на число, отличное от нуля, получится ненулевой вектор.

2. Пусть векторы а и Ь коллинеарны. Если а = О, то а и Ь линейно зависимы. Пусть а ф О. Тогда по предложению 2 Ь раскладывается по а. Таким образом, в любом случае коллинеарные векторы линейно зависимы. Обратно, из двух линейно зависимых векторов один обязательно раскладывается по другому и, следовательно, ему коллинеарен. 3. Пусть векторы а, Ь и с компланарны. Если а и Ь коллинеарны, то они линейно зависимы, и тогда линейно зависимы все три вектора. Пусть а и Ь пе коллипеарны. Разложим с по ним.

Для этого поместим начала всех векторов в одну точку О (рис. 2) и проведем через конец С вектора с прямую, параллельную Ь, до пересечения в точке Р с прямой, на которой лежит а. о р (Это построение возможно, так как век- Рис. 2 торы а и Ь не коллинеарны и, в частности, оба ненулевые.) Теперь ОС = ОР+РС, причем ОР и РС коллинеарны соответственно а и Ь. По доказанному выше найдутся числа о и /3 такие, что ОР = оа и РС =,ЗЬ.

Таким образом, с = = аа+ 13Ь. Это означает, что а, Ь и с линейно зависимы. Обратно, если а, Ь и с линейно зависимы, то один из них раскладывается по двум другим и, следовательно, им компланарен. 4. Рассмотрим четыре вектора а, Ь, с и с1. Если а, Ь и с компланарны, то они линейно зависимы сами по себе и вместе с вектором с1.