Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 2

2. Линии второго порядка на плоскости (251). 3. Ортогональные инварианты (252). 4. Поверхности второго порядка (253). 248 ГЛАВА 1Х. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОИ АЛГЕБРЫ 273 Указания и ответы к упражнениям 285 Предметный указатель 298 Список литературы 302 Тензоры в линейном пространстве 259 1. Вводные замечания (259). 2. Обозначения (259). 3. Определение и примеры (261).

4. Линейные операции (264). 5. Умножение тензо- ров (265). 6. Свертывание (266). 7. Транспонирование (268). 8. Сим- метрирование и альтернирование (269). 9. Замечание (270). 10. Сим- метричные и антисимметричные тензоры (271). Тензоры в евклидовом пространстве 1. Метрический тензор (273). 2. Поднятие и опускание индексов (273).

3. Евклидовы тензоры (274). Поливекторы. Внешние формы 277 1. р-векторы (277). 2. Относительные инварианты (279). 3. Внешние формы (280). 4. Внешнее умножение (281). ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ А, а альфа Е, ~ эпсилон 1, ~ йота М> ~ ню Р, р ро ф ф фи В,,З бета Х, ~ дзета К, к каппа Б, ~ кси Е, о сигма ~ Х хи Г, у гамма н,~ эта Л., Л лямбда О, о омикрон Т, т тау Ф, ~ф пси Ь, 0 дельта О, д тета П, 7Г ри У,с ипсилон й,ы омега ПРЕДИСЛОВИЕ Зта книга отражает многолетний опыт преподавания соответствующего курса в Московском физико-техническом институте.

Особенности подготовки студентов МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложения курса математики, по объему приближающегося к университетскому. В связи с этим аналитическая геометрия излагается так, чтобы на простом и доступном материале подготовить студента к изучению линейной алгебры. Собственно линейной алгебре, т. е. теории линейных пространств, предпослана большая глава о системах линейных уравнений и матрицах. Ее цель — дать читателю исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной алгебры. В этой же главе собраны и другие сведения, необходимые для дальнейшего. Настоящее издание существенно отличается от предыдущих.

Про- изведены две перестановки материала: в теории определителей используется умножение матриц и элементарные операции, теория евклидовых пространств излагается после квадратичных форм. Добавлены параграфы о теореме Кордана и о внешних формах. Кроме того, сделан ряд других дополнений и изменений. В конце каждого параграфа добавлены упражнения, снабженные ответами и указаниями.

Произведены также некоторые сокращения. В настоящем издании улучшены некоторые доказательства и исправлены погрешности предыдущего. В частности, ранг матрицы изучается независимо от теории определителей. Добавлена теорема о приведении матрицы линейного преобразования к треугольному виду. Более подробное представление о строении книги можно получить из оглавления. Мне хочется с благодарностью отметить то влияние, которое оказали на эту книгу преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, больше других все, читавшие лекции по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Особенно я благодарен проф.

А.А. Абрамову, проф. Л.А. Беклемишевой, чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф. В.Б. Лидскому, акад. Л.В. Овсянникову, проф. С.С. Рышкову, проф. С.А. Теляковскому. ГЛАВА 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ~ 1. Векторы 1. Предварительные замечания. Первые главы этой книги можно рассматривать как продолжение школьного курса геометрии. Известно, что каждая математическая дисциплина основывается на некоторой системе не доказываемых предложений, называемых аксиомами. Полный перечень аксиом геометрии, так же, как и обсуждение роли аксиом в математике, можно найти в книге Н.В. Ефимова ~5~.

(Цифры в квадратных скобках означают ссылки на список рекомендуемой литературы, помещенный в конце книги.) Мы не ставим себе целью изложение логических основ предмета и потому просто опираемся на теоремы, доказываемые в курсе элементарной геометрии. Равным образом мы не пытаемся дать определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости. Читатель, интересующийся их строгим введением, может обратиться к той же книге Н.В.

Ефимова, мы же просто будем считать, что эти и другие введенные в школьном курсе математики понятия известны читателю. Предполагаются также известными определение вещественных (действительных) чисел и их основные свойства. (Строгая теория вещественного числа приводится в учебниках математического анализа.) Будет широко использоваться то обстоятельство, что при выбранной единице измерения каждому отрезку можно сопоставить положительное вещественное число, называемое его длиной. Единицу измерения длин мы будем считать выбранной раз и навсегда и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. 2.

Определение вектора. Понятие вектора также известно из школьного курса, но лучше напомнить основные факты, с ним связанные. Пару точек мы называем упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая — вторая. О п редел е н и е 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или ветпором. Первый из его концов называется началом, второй — концом вектора. К векторам относится и нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Направление вектора на рисунке принято обозначать стрелкой, над буквенным обозначением вектора тоже ставится стрелка, напри- 10 Гл. Х. Венпгорная алгебра мер АВ (при этом буква, обозначающая начало, обязательно пишется первой). В книгах буквы, обозначающие векторы, набираются полужирным шрифтом, например а.

Нулевой вектор обозначается О. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (а также модулем или абсолютной величиной). Длина вектора обозначается )а~ или ~АВ~. Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю. О п р е д е л е н и е 2. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Из этого определения вытекает, что, выбрав любую точку А', мы можем построить (и притом только один) вектор ~А'В'~, равный некоторому заданному вектору ~АВ~, или, как говорят, перенести вектор ~АВ~ в точку А'. 3. О другом определении вектора. Понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число.

С векторами дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор АВ, а не равный ему вектор А'В'. Для того чтобы упростить понятие равенства и снять некоторые связанные с ним трудности, иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, будем писать "Вектор" (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия. О п р е д е л е н и е 3.

Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором. Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Вектор. Легко видеть, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны согласно определению 2. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение. Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком.

Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее отре- ~1. Векторы зок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит.) Зто только одна из причин, по которой наряду с Векторами приходится рассматривать и направленные отрезки. При этих обстоятельствах применение определения 3 осложняется большим числом оговорок.

Мы будем придерживаться определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет речь об определенном векторе или на его место может быть подставлен любой, ему равный. В связи со сказанным стоит разъяснить значение некоторых слов, встречающихся в литературе. Вместо определения 2 можно ввести для векторов другое определение равенства, согласно которому векторы равны, если они равны по длине, лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае вектор не может быть перенесен в любую точку пространства, а переносится только вдоль прямой, на которой он лежит.

При таком понимании равенства векторы называются скол,ьзящими векторами. В механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором. Можно для векторов не давать никакого особого определения равенства, т. е. считать, что вектор характеризуется, помимо длины и направления в пространстве, еще и точкой приложения. В этом случае векторы называются приложенными. Как уже упоминалось, сила, действующая на упругое тело, изображается приложенным вектором. Если нужно подчеркнуть, что равенство векторов понимается в смысле определения 2, то векторы называются свободными.