Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 6

е (а, а) = ~а~2 для любого вектора а. ° Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен О. ° Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют равенствам (е1 е1) — (е2; е2) — (ез ез) - - 1 (е1, е2) = (е2, ез) = (ез, е1) = О. Предложение 1. Если базисные векторы попарно ортогонильны, то компоненты любого вектора а находятся по формулам (а, ег) (а, ег) ~12 — .~ г г-г 3— )е2~2 )ез!2 если базис ортонормирован- (а, ег) й1 —— 1егР ' В частности, ный, а1 —— (а, е1), а = (а,е ), сгз = (а,ез) (1) а = (а,ег)е1 + (а,ег)е2 + (а, ез)ез. Доказательство. Пусть а = аг + + а2 + аз, причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному вектору.

Мы знаем из предложе- ез ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения 25 ния 2 ~ 1, что о1 —— ~~а~~/~е1~, где выбирается знак + или — в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены а1 и е1. Но, как видно из рис. 11, ~~а1~ = ~а~ сов;о1, где ~р1 — угол между векторами а и е1. Итак, а1 —— )а) соз~р1/)е1! = (а, е1)/)е1)~. Аналогично вычисляются и остальные компоненты. О п р е д е л е н и е. Косинусы углов между вектором а и базисными векторами декартовой прямоугольной системы координат называются направляющими косинусами этого вектора. Направляющие косинусы — это компоненты вектора а~ = а/~а~. Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна квадрату длины а~, т.

е. 1 (см. ниже формулу (3)). П р е д л о ж е н и е 2. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел а и «3 выполнено равенство (оа +,ЗЬ, с) = а(а, с) + «з (Ь, с). В частности, (аа, с) = ск(а, с) и (а + Ь, с) = (а, с) + (Ь, с). Доказательство. Если с = О, то утверждение очевидно. Пусть с ~ О. Примем с за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой. Число (аа +,ЗЬ, с)/~с~2 ---- первая компонента вектора аа + «зЬ. Точно так же (а, с)/~с~~ и (Ь, с)/~с~~ первые компоненты векторов а и Ь. Согласно предложению 5 ~ 1 (оа+ «зЬ, с)/!с!~ = а(а, с)//с!~ + «з(Ь, с)/!с! .

Отсюда прямо получается доказываемое равенство. Легко показать, что такая же формула справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество (а, «зЬ + «с) = «3(а, Ь) + -«(а, с) Теорема 1. Если базис ортонормированный то скалярное произведение векторов а и Ь выражается через их компоненты (а1, а2, аз) и (Д,Д2,Д) по формуле (а> Ь) с~1«з1 + с~2д2 + с~зА Действительно, подставим вместо а его разложение и воспользуемся предложением 2: (а, Ь) = (а1е1 + а2е2 + озез, Ь) = а1(е1, Ь) + о2(ез, Ь) + аз(ез, Ь). Теперь доказываемое следует из формулы (1).

Отметим, что требование ортонормированности базиса очень существенно. В произвольном базисе выражение скалярного произведения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, связанных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированные базисы. Если почему-либо все же надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения сомножителей по базису и, раскрыв скобки, подставить в полученное Гл. Х. Венпгорная алгебра )а! = (3) а также выражение косинуса угла между векторами (а, Ь) ггг,Зг + а2~3 + ггз~Зг (4) сов гр— ~.~Ъ~ Используя формулу (3), мы можем вычислить расстояние между точками, если заданы их координаты в декартовой прямоугольной системе координат.

В самом деле, пусть точки А и В имеют координаты (х, д, ~) и (г:г,дг, гг). Тогда расстояние между ними равно !АВ! = (хг — х)2 + (дг — д)г + (гг — г)2. (5) Скалярное умножение тесно связано с понятием проекции вектора. Слово "проекция" употребляется в двух смыслах. Введем соответствующие определения. Пусть задан вектор АВ и некоторая прямая /.

Опустим из точек А и В перпендикуляры на прямую и обозначим их основания А' и В' (рис. 12). Вектор А'В' называется (ортогональной) векторной проекцией вектора АВ на прямую 1 и обозначается ПргАВ. Из определения сразу следует, что векторные проекции равных векторов на параллельные прямые равны между собой. Пусть е ненулевой вектор па пряРис.

12 мой 1. Тогда А" В' = ае при некото- ром о, Представим АВ в виде АВ = А'В" = ае+ Ь и заметим, что вектор Ь = В'В" ортогопалсп е. Поэтому после скалярного умно'ке- ния на е получаем (АВ, е) = о(е, е). Находя отсюда а, имеем ПргАВ = ', е. (6) )ер Хотя на вид это выражение зависит от е, фактически оно не меняется при замене е любым ненулевым вектором Ле, коллинеарным е. Проекцию А'В' можно представить в виде (АВ., е) е (е! (е) и заметить, что (АВ,е)/)е) это компонента А'В' по вектору ео = = е/)е). Так как )ео! = 1, компонента по абсолютной величине равна выражение известные скалярные произведения базисных векторов.

Теорема 1 позволяет выписать выражение длины вектора через его компоненты в ортонормированном базисе ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения 27 длине А'В'. Она положительна, если направление А'В' совпадает с направлением е, и отрицательна в противоположном случае. Величина (АВ, е)/~е~ не меняется при замене е на сонаправленный вектор Ле, Л ) О, и меняет знак при замене е на противоположно направленный вектор. Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная прямая и ось), если на ней указано определенное направление.

Подробнее это определение рассматривается в начале и. 2. Определение. Число (АВ,е)/~е~ называется скалярной проекцией вектора АВ на ось |, определяемую вектором е (или на вектор е), и обозначается Пр~АВ или ПреАВ. Из определения следует, что ПРАВ = ~АВ~ сезар, где у угол между АВ и е. Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат. 2. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси).

Скажем о пем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентированной плоскости и ориентированного пространства. Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что прямая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один.

Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными или положительными. Задать ориентацию можно, указав какой-либо базис и считая положительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис. Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированными, если в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко Рис. 13. Левый базис (а ), правый базис (6) второму производится в одну сторону, и противоположно ориентированными в противном случае. На рис.

10„а базисы ориентирова- Гл. Х. Векторная алгебра ны одинаково, а на рис. 10, б противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинаково, базисы разных классов ориентированы противоположно. О пре дел ение. Плоскость ориентирована, если из двух классов базисов на ней выбран один класс.

Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положительно ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса. В планиметрии часто ориентируют плоскость, считая положительными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки. Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое направление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость.

Но если выбрать одно из полупространств, ограничиваемых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота. О пре дел ение. Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму Рис. 14. Левый базис (а), правый базис (б) направленным против часовой стрелки.

В противном случае базис называется левым (рис. 13). Представим себе, что на рис. 14 концы векторов лежат в плоскости рисунка, а их общее начало за плоскостью. Тогда поворот от вектора е1 к вектору е2 и затем к ез для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого — по часовой стрелке. О п р е д е л е н и е. Пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов (правых или левых) выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными. Ниже мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространства, считая положительными правые базисы.

Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным. Если пространство ориентировано, то ориентацию любой плоскости в нем можно задать, указав ориентацию прямой, перпендикуляр- ~~. Скалярное, смешанное и векторное произведения 29 ной этой плоскости. При этом положительным базисом а, Ь на плоскости считается такой, который вместе с положительным базисом и на прямой составляет положительный базис пространства а,Ь,п. Это — внешний способ задания ориентации.

Говорится, что ориентаиия плоскости определяется нормальным вектором п. Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним образом задать ориентацию прямой линии. Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положительным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положительным базисом плоскости составляет положительный базис пространства. 3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. Если прямая ориентирована, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: считать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположном случае. Именно так мы приписываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию.