Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 5

Это устраняет неоднозначность, но зато вводит другие неудобства. Пусть задана полярная система координат и упорядоченная пара чисел (г, д), из которых первое неотрицательно. Мы можем сопоставить этой паре точку, для которой эти числа являются полярными координатами. Именно, если г = О, мы сопоставляем полюс. Если же г ) О, то паре (г, ~р) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину г и составляет с полярной осью угол р.

При этом парам чисел (г,~р) и (г1,~р~) сопоставляется одна и та же точка, если г = г1, а д — р1 — — 2~гй., где й целое число. Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс О и приняв за базис векторы е~ и е~ длины 1, направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом т/2 к ней (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 7, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами х = гсоау, р = га1п~р. (3) 5.

Цилиндрические и сферические координаты. В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, .состоит из точки О, луча 1, исходящего из О, и вектора н, равного по длине 1 и перпендикулярного к 1. Через точку О проведем плоскость О, перпендикулярную вектору и.

Луч 1 лежит в этой плоскости. Пусть дана точка М. Опустим из нее перпендикуляр ЛХМ' на плоскость О. Цилиндрические координаты точки ЛХ это три числа г, д, 6. Числа г и ~р полярные координаты точки М' по отношению к полю- Рис. 9 Рис. 8 су О и полярной оси 1, а 6 компонента вектора М'ЛХ по вектору п. Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 8). ро. Замена базиса и системы координат 21 Сферические координаты точки — — три числа (г, ~р, 0). Они определяются так: г = ~ОМ~.

Как и для цилиндрических координат, ~р угол вектора О~У' с лучом 1, а д угол вектора ОЫ с плоскостью О (рис. 9). УПРажНЕНИЯ 1. Дан параллелограмм ОАВС. В нем ~ОА~ = 2, (ОС! = 3, угол АОС равен тг/3. Найдите координаты точки В в системе координат О, ОС, ОА. 2. Даны три точки А(х1, у1), В(ха,рз), С(хз,дз). Найдите координаты вершины О параллелограмма АВСП. 3. Нарисуйте на плоскости множества точек, полярные координаты которых связаны соотношениями: а) г = 2/ сов ~р; б) г = 2 сов у. 4.

Пусть О, 1, п сферическая система координат. Введем декартову прямоугольную систему координат О, е1, ел, и, где е1 направлен вдоль 1, а угол тг/2 от е1 к е2 отсчитывается в сторону возрастания полярного угла. Напишите формулы, выражающие декартовы координаты через сферические. 3 3.

Замена базиса и системы координат 1. Изменение базиса. До сих пор мы предполагали, что рас- сматривается один базис. Однако выбор базиса ничем пе ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть за- дано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов е', е' и е.' в старом базисе е1, е2, ез. Пусть е' = а1е1 + а1е2 + а1ез, 1 2 3 е2 = И2е1 + И2е2 + И2ез, (1) : азе1 + азе2 + азез' / 1 2 3 Произвольный вектор а разложим по базису е', е', е': / / > / 1 / а = а е + о.

е. + а ез. Компоненты этого ьке вектора в старом базисе обозначим а1, а2,стз. Раскладывая каждый член предыдущего равенства по базису е1, е2, ез, в силу предложения 5 3 1 имеем 1 / 1 / 1 / О1 = И1О1 + И2ст2 + ИЗО3, ст2 = И101 + И2ст2 + И303 2 г 2 ! 2 (2) стз = И1ст1 + И2с12 + азстз. 3 / 3 / 3 / *) Здесь для удобства один из индексов мы располагаем сверху. Это не показатель степени. Например, а1 читается "а один-три".

Гл. Х. Векпгорная алгебра Соотношения (2) и являются решением нашей задачи. Если нас заинтересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений (2) относительно неизвестных а',а',о'. Результат будет иметь такой же вид, как (2), только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе. Точно тем же способом получаются формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах на плоскости. Вот они: 1 / 1 / о1 — — ага1 + а2о2, (3) а2 — — а~га1 + а2~а2.

Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу: 1 1 1 О1 О2 О3 О а О 1 2 3 аз аз а3 1 2 3 (4) Она называется матрицей перехода от базиса е',е'/е.', к базису е1, е2, е3. В ее столбцах стоят компоненты векторов е', е.', е'. в старом базисе. 3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из (6), если там оставить 2.

Изменение системы координат. Рассмотрим теперь две декартовы системы координат; старую О, е1, е2/ ез и новую 0', е' / е!, е'. Пусть ЛХ произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены (х, д, 3) и (х', д', г'). Поставим себе задачу выразить х, д и г через х', д' и г', считая известным положение новой системы относительно старой.

Оно определяется координатами (а', а-, а3) точки 0' в системе координат О, ег,е2, ез и компонентами векторов ег,е!2, е/3, составляющими матрицу перехода (4). Радиус-векторы точки ЛХ относительно точек 0 и 0' связаны равенством О.ЛХ = ОО' + О'М, которое мы можем записать в виде ОМ = ОО' + х'е' + д'е.' + г'е', (5) так как х', д' и г' компоненты 0'М в базисе ег,е2,е/3.

Разложим каждый член равенства (5) по базису е1, е2, е3, имея в виду, что компоненты векторов ОМ и 00' равны координатам точек ЛХ и 0', которые мы обозначили (х, д, г) и (О1, О2, аз). Мы получим Х = О0 + Огх + О2д + Оз~, 1 1/ 1/ 1/ (6) ОО+ О1х + О2д + ОЗг ' Равенства (6) представляют собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

~8. Замена базиса и системь~ координат только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с з'. Х = И1Х + И~Я + Ио, 1/ 1/ 1 (7) Д = И1Х +И~Я +Ио. Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат декартовы прямоугольные. Через р обозначим угол между векторами е1 и е',, отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от е1 к е2. Тогда (рис.

10) е' = совре1+ ашуе2, / зг / тГ'1 еа = соа Р ~ — ) е1+ Яп Р ~ — ) е2. 2) 1. 2) В разложении е' ставится знак плюс, если кратчайший поворот от е1 к е2 направлен так же, как кратчайший поворот от е' к е2, т. е. если новый базис повернут относительно старого на угол ~р. Знак е1 Рис. 10. Два случая взаимного расположения ортонорми- рованных базисов на плоскости минус в разложении е! ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого.

Поскольку сов у ~ — = ~ яп:р, вш р ~ — = ~ совр, получаем х = х'соз~р ~ д'яп~р+ а', (8) П=х' пр~П'соар+ао: причем при повороте системы координат берутся верхние знаки. Упражнения 1. Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое? 2. Пусть О' — середина стороны АВ треугольника ОАВ. Напишите формулы перехода от системы координат О, ОВ, ОА к системе коорди- натО, ОО, ОВ. 3. Дана декартова система координат О, е1, ел, ез.

Как расположена относительно нее система координат О~, е'„е'„е'„если формулы перехода / Р / Р Р / имеют видх=1 — д — ~, У=1 — х — г, г=1 — х — и. Гл. Х. Векпгорная алгебра ~ 4. Скалярное, смешанное и векторное произведения 1. Скалярное произведение. Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит л.. Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю. Скалярное произведение векторов а и Ь обозначается (а, Ь) или аЬ. Таким образом, мы можем написать (а., Ь) = /аЙЬ/ СО3 р, где р угол между векторами а и Ь.

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет смысла. Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства. е Коммутативность: для любых а и Ь выполнено (а,Ь) = (Ь,а).