Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 10

Теорема 2. Алгебраическая линия порядка р на плоскости в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (6) порядка р. Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, например, теорему 2. Для этого перейдем от системы координат О, ег, е2, о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат 0', ег~, е2. Старые координаты х, д связаны с новыми координатами х',д' формулами (7) ~ 3 гл.

1: х = агх +а2у +ао, х = агх +азу +ао. г г 1 г 1 2 г 2 г 2 (7) Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение Е(х, д) = О выражения х и у через х' и д'. При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому (агах'+ + а2д' + ао) — многочлен степени к относительно х' и д', а (а;х'+ а~у'+ а~о)' многочлен степени г. Таким образом, каждый одночлен вида Ах"д' есть многочлен степени й + 1 относительно х' и д'. Степень суммы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых.

(Она окажется ниже, если члены с максимальными степенями уничтожатся.) Итак, мы доказали пока, что алгебраическая линия в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением С(х', д') = О вида (6), причем степень многочлена С(х', д') не больше степени многочлена г '(х, у), т. е. степень уравнения не повышается. Нам осталось доказать, что степень уравнения не может и понизиться, а потому не меняется при переходе к другой системе координат. Это легко доказать от противного. Действительно, С(х', д') = Р(а',х'+ а'д'+ а', а2х'+ а2у'+ а2).

Поэтому, если мы подставим в С(х', д') выражения х' и д' через х и у, Гл. П. Прямые линии и плоскости полученные решением уравнений (7), мы получим многочлен Е(х, д). Если бы степень С была меньше степени Г, это означало бы., что при переходе от системы координат О', е1, е2, ез~ к системе О, е1, е2, ез степень уравнения повысилась, чего, как мы видели, быть не может. Порядок алгебраической линии — первый встретившийся нам пример инварианта. Вообще, инвариантом называют всякую величину, не меняющуюся при изменении системы координат.

Только инвариантные комбинации величин (коэффициентов, показателей и т. д.), входящих в уравнение линии или поверхности, характеризуют ее геометрические свойства, не зависящие от ее расположения относительно системы координат. Какой геометрический смысл имеет порядок линии, мы увидим в конце главы. Замечание. Свойство неизменности порядка не относится к различным уравнениям, которые линия или поверхность могут иметь в одной и той же системе координат. Хотя такие уравнения и эквивалентны, среди них могут быть уравнения различных степеней и даже не получаемые приравниванием многочлена нулю. Действительно, следующие три уравнения задают окружность радиуса 1 в декартовой прямоугольной системе координат: ,ГР+~~ = 1, х -,'-у~ — 1=0, (юг~-у — 1)' =О.

Принято считать, что эквивалентные уравнения вида (6), имеющие разные степени, задают разные алгебраические линии (хотя соответствующие множества точек и совпадают). Например, говорят, что последнее из приведенных выше уравнений задает "сдвоенную окружность". Основания для такой терминологии и удобства, из нее вытекающие, в точности те же, что и в случае привычного читателю термина "кратный корень" квадратного уравнения. Теперь мы можем указать основной предмет курса аналитической геометрии.

Это — исследование линий и поверхностей первого и второго порядка, которые доступны для изучения средствами элементарной алгебры. Однако перед этим полезно рассмотреть некоторые более общие уравнения. Мы будем говорить о линиях и поверхностях. Формулирование их общих определений не входит в нашу задачу. Читатель, который любит, чтобы все было точно определено, может под ними понимать соответственно алгебраическую линию и поверхность, однако все результаты имеют место и в более общем случае. 3. Уравнения, не содержащие одной из координат. Рассмотрим частный случай уравнения поверхности с'(х, д, ~) = О, когда левая часть уравнения не зависит от одной из переменных, например, от ~, и уравнение имеет вид Е(т, д) = О.

Пусть точка Мо(хо, до, ~о) лежит на поверхности. Тогда все точки с координатами хо, до, ~ при любых ~ также лежат на поверхности. Легко заметить, что все точки с координатами такого вида заполняют прямую, проходящую через ЛХо в у1. Общее понятие об уравнениях 45 направлении вектора ез. Таким образом, вместе со всякой точкой ЛХо на поверхности лежит прямая, проходящая через ЛХо в направлении вектора ез. О п р е д е л е н и е. Поверхность, которая состоит из прямых линий, параллельных заданному направлению, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром, а прямые линии — ее образующими (рис.

16). Линию, лежащую на поверхности и пересекающую все образующие, называют направляю- е2 щей. Мы показали, что уравнение, не О содержащее одной из координат, ег определяет цилиндр с образующими, параллельными соответствую- Р„е 16 ~ „егг„,,„я,огц, ) щей координатной оси. В качестве примера рекомендуем читателю нарисовать поверхность, заданную уравнением х~ + + д~ = г~ в декартовой прямоугольной системе координат в простран- стве.

Эта поверхность прямой круговой цилиндр. Еще один вопрос, над которым стоит подумать: как выглядят множества, уравнения которых не содержат двух из трех координат, т. е. имеют, например., вид Е(х) = О? м(*о Уо ~) 4. Однородные уравнения. Конусы. Пусть с'(х,д,г) функция от трех переменных, а в — натуральное число. Введем О п р е д е л е н и е. Допустим, что для каждой тройки чисел (х, д, г) из области определения функции и для каждого числа Л тройка чисел (Лх, Лд, Лг) также принадлежит области определения, и, кроме того, х '(Лх, Лдг Лг) = Л'Р(х, д, г).

Тогда г' ' называется однородной функцией степени в. Ь Р Рассмотрим поверхность, определяемую в некоторой декартовой системе координат уравнением Е(х,д,г) = О, где Р' — — однородная функция. Если точка ЛХ с координатами (х,д,г) принадлежит поверхности, то при любом Л точка Р(Лх, Лд, Лх) также принадлежит поверхности Радиус векторы Рис 17 ~ — ггяпредггянггггегг и точек ЛХ и Р коллинеарны, и потому точка Р лежит на прямой ОЛХ (рис. 17). О п р е д е л е н и е. Поверхность, которая состоит из прямых линий, проходящих через фиксированную точку, называется конической по- Гл. Х1.

Прямые линии и плоскости 46 верхностью или конусом. Прямые линии называются ее образующими, а точка вершиной конуса (рис. 17). Линию, лежащую на поверхности, не проходящую через вершину и пересекающую все образующие, называют направляющей. Мы доказали, что уравнение Е(х,д,з) = О, где Г --- однородная функция, определяет конус с вершиной в начале координат. Упражнения 1.

В декартовой прямоугольной системе координат даны точки А(1,0) и В(4,0). Напишите уравнение множества точек, отстоящих от В вдвое дальше, чем от А. 2. Каждое из двух уравнений системы (х — 2) + у = г, (х+ 2) + у2 = = г в декартовой прямоугольной системе координат определяет окружность. Вычитая одно уравнение из другого, мы получим следствие этой системы х = О. Как геометрически истолковать этот результат? Рассмотрите случаи г = 3 и г = 1. 3. Составьте ~ равнение цилиндра с направляющей, заданной системой уравнений х + у + ~ = 1, х+ у+ ~ = 1, и образующей, параллельной вектору ез. 4. Напишите уравнение конуса с направляющей, заданной системой ',> уравнений х + у = 4, ~ = 1, и с вершиной в начале координат. ~ 2. Уравнения прямых и плоскостей 1.

Поверхности и линии первого порядка. Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид Ах+ Вд+ Сз+.О = О, (1) причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, т. е. А2+ В~ + С2 ,—~ О. Аналогично, линей- ное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, это уравнение Ах+ Вд+С = О (2) при условии А2 + В2 ф О.

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения (1) и (2) определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем 1 и 2 ~ 1 следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы. Теорема 1. В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость. Теорема 2.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением (2). ~2. Уравнения прямых и гглоскостей 47 Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую. Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта. 2. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка ЛХо и задан ненулевой вектор а, параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором.