Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005) (1004043), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Один из таких векторов можно найти в виде го — — Лп. Подставляя, видим, что — Л(п, п) = .О, откуда го = — Рп/)п)2. Итак, мы нашли векторы и и го такие, что линейный многочлен записывается в виде Х(Е1, П) + У(Е2, П) + 3(Е3, П) — (ГО, П), который совпадает с требуемым (г — го, и). Заметим, что из доказанного предложения вытекает теорема 1. Предложение 4. Если система координат декартова прямо- угольная, то вектор с компонентами А, В, С является нормальным вектором для плоскости с уравнением Ах+ Ву+ Сг+ Р = О.
Это сразу вытекает из формул (15) и предложения 1 ~4 гл. 1. Рассмотрим вектор а = о1е1+ о1е + озез в общей декартовой системе координат О,е1,е2,ез. Очевидно, что (а,п) =- а1(е1,п) + + оа(ез, и) + аз(ез, п). Теперь из формул (15) следует, что (а, п) = Аа1 + Ва~ + Саз. (Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа А, В, С, вообще говоря, не являются координатами вектора п, и скалярное произведение не записывается как сумма произведений одноимен- ных компонент, но (а,п) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее Предложение 5. Вектор а с компонентами а1, а~, аз в общей декартовой системе координат параллелен плоскости с уравнением Ах + Ву + Сг + Р = О тогда и только тогда, когда Ас~1 + ВО2 + СОЗ = О.
(17) Следствие. Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению (17), можно принять за направляющие векторы плоскости. Предложение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости. Постарайтесь сделать это. Гл. 11. Прямые линии и плоскости 52 Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости.
В частности., имеет место Предложение 6. Вектор а с компонентами а1,а2 в общей декартовой системе координат параллелен прямой с уравнением Ах+ + Ву + С = 0 тогда и только тогда, когда Аа1+ Ва2 = О. (18) Действительно, а1, а2 должны быть пропорциональны компонентам — В, А направляющего вектора прямой.
Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде ~г — го.,а~ = О. (19) Здесь а — направляющий вектор прямой, а го — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное па- раметрическое, выражает коллинеарность векторов го и а. 5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости. Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, т.
е. что плоскость (прямая) параллельна самой себе. Предложение 7. Прямые. линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями Ах + Ву + С = О, А1 х + В, у + С1 — — О, параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число Л, что А, = ЛА, В, = ЛВ. (20) Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помимо уравнения (20) выполнено (с тем же Л) равенство (21) Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами ( — В, А) и ( — В1, А1) направляю- щие векторы прямых.
Докажем вторую часть. В равенствах (20) и (21) Л ф О, так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую. Обратно., пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид Ах + Ву + С = 0 и Л(Ах+ Ву) + С1 —— 0 при некотором Л. Ксли, кроме того, существует общая точка ЛХо(хо, уо) обеих прямых, то Ахо + Вуо + С = = 0 и Л(Ахо + Вуо) + С1 — — О.
Вычитая одно равенство из другого, получаем С1 = ЛС, как и требовалось. ~2. Уравнения прямых и гглоскостей Предложение 8. Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями Ах + Вд + Сг + О = О, Аг х + Вг д + Сг х + .Ог — — О, параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число Л, что А,=ЛА, В,=ЛВ, С,=ЛС.
(22) Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, т. е. помимо уравнений (22) выполнено (с тем згсе Л) равенство .о = ло. (23) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы п и пг коллинеарны, и существует такое число Л, что пг — — Лп. В силу уравнений (15) А1 —— (е1,пг) = Л(ег,п) = ЛА. Аналогично доказываются и остальные равенства (22). Обратно, если равенства (22) выполнены, то из формулы (16) следует, что пг — — Лп. Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7 Условия (20) выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами (А, В) и (Аг, Вг).
Точно так же условия (22) означают коллинеарность векторов с компонентами (А, В, С) и (А1, Вг, Сг ). Поэтому согласно предложениям 9 и 10 ~ 3 гл. 1 условие параллель- ности прямых на плоскости можно записать в виде (24) а условие параллельности плоскостей --- в виде А В А1 Вг В С Вг С1 С А С1 А1 = О. (25) А В Аг Вг то при любых С и Сг система имеет единственное решение (х, д). Разумеется, это предложение можно доказать и непосредственно и отсюда получить условие параллельности прямых. Исследованием произвольных систем линейных уравнений мы займемся в гл.
гг. Предложению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых— это решение системы, составленной из их уравнений. П редло жение 9. При условии (24) система линейных уравнений Ах + Вд + С = О, Агх + Вг д + С1 — — О не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от С и Сг). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же Гл.
11. Прямые линии и плоскости 6. Уравнения прямой в пространстве. Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида Ах + Вд + С~ + Р = О, А1х + В1 д + С1 ~ + Рз — — О. (26) Пересечение плоскостей прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно (25) означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля: 2 + В С В С С А С1 А1 А В А1 В1 ~ О. (27) х — хо СХ~ и мы получаем два равенства Д вЂ” уо ~ — ~о оз Д вЂ” Уо ~ — ~о сиз (хз х — хо ~ — ~о (Х1 оз (28) или, в более симметричном виде, с 'со 'у Ро ~ ~о о1 оз оз Уравнения (28) представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная х), а вторая параллельна оси ординат.
Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, а1, то уравнения прямой принимают вид т = хо, (ЗО) о2 оз Эта прямая лежит в плоскости т = то и, следовательно, параллельна плоскости т = О. Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не а1, а другая компонента. Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, а1 и а2, то прямая имеет уравнения ~=то, Р=ро. (З1) Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае --- оси аппликат. Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений (26). По условию (27) один из детерминантов отличен от нуля.
Допустим для Разумеется, систему (26) можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей. Вспомним параметрические уравнения прямой (4). Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда у2. Уравнения прямых и гглоскоетей 55 В С В1 С1 С А С1 Аг А В Аг Вг (32) Предложение 10. Вектор с компонентами (32) есть направляюгиий вектор прямой с уравнениями (26), какова бы ни бьгла декартова система координат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предложению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого (а1, сгзг сгз) удовлетворяют уравнению Аог + Ваз + Соз —— О, параллелен плоскости с уравнением Ах + Ву + + Сз + О = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
