Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 13

Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению Аго1+ + Вгсгз + Сгсгз — — О, то он параллелен и второй плоскости, т. е. может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами (32) ненулевой в силу неравенства (27). Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям.

На этом доказательство заканчивается. Упражнения 1. Найдите параметрические уравнения прямой с уравнениями х+у+х = 4, х — у+За = О. 2. Найдите параметрические уравнения плоскости х — 2у+ Зз = 1. 3. Найдите координаты точки пересечения прямых с уравнениями х = = 1 — 1, у = 1 + 1, х = 1 — 1 и х = 31 — 1, у = 21 — 2, х = 1 + 1. Какое значение параметра соответствует этой точке на каждой из прямых? Как установить, что прямые пересекаются, не находя точки пересечения? 4. Напишите уравнения плоскости, в которой лежат прямые из упр.

3. 5. Напишите параметрические уравнения прямых, заданных векторными уравнениями: а) (г,а) = Ь, (а,Ь) = О; определенности, что АВ1 — А1В ф О. В силу предложения 9 при любом фиксированном з система уравнений будет иметь единственное решение (х, у), в котором х и у, разумеется, зависят от з. Они— линейные многочлены от х: х = агз + Вг, у = агз + г32. Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя г на 1, получаем параметрические уравнения прямой х = г-г1г + /-г1, у = сгзг + газ, Первые две координаты начальной точки прямой ЛХо(ДгД2гО) можно получить, решая систему (26) при значении з = О.

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты (а1, аз, 1). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами (А, В, С) и (А1, Вг, Сг) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой (26), по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора Гл.

11. Прямые линии и плоскости 56 3 3. Основные задачи о прямых и плоскостях 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки ЛХ1 и М2 с координатами (х1, д1,~1) и (х2,дз,з2). Чтобы написать уравнение прямой ЛХ1ЛХ2., примем ЛХ1 за начальную точку, а М1ЛХ2 за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По формуле (29) З 2 мы получаем х — х1 У вЂ” У1 (1) х — Х1 Уе — У1 Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель. В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (Х1, д~) и (Х2, д2), и мы получаем по форму- ле (8) ~2 х — Х1 д — д1 Х2 — Х1 д2 — д1 2.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Пусть ЛХ1, М2 и Мз не лежащие на одной прямой точки с координатами (х1, д1, 21), (х2, д2, з2) и (хз, дз, зз) в общей декартовой системе координат. Выберем ЛХ~ в качестве начальной точки, а М1 М2 и М1Мз в качестве направляющих векторов. Тогда по формулам (12) ~ 2 и (16) ~ 4 из гл.

1 получаем уравнение плоскости Х вЂ” Х1 Х2 Х1 ХЗ вЂ” Х1 д — д1 д2 д1 дз дг 2 — З1 З2 21 зз (2) 3. Параллельность прямой и плоскости. Пусть известен направляющий вектор прямой а (а1, а2, аз), а плоскость задана одним из УРавнений (г — го, п) = О или (г — го, Р, с1) = О. ПРЯмаЯ паРаллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (а, п) = О или (а, р, с1) = О. Если плоскость задана линейным уравнением Ах + Вд + Сг + .0 = О, то по предложению 5 ~ 2 условие параллельности (3) Аа1+ Во2+ Саз — — О. Пусть прямая задана системой уравнений А1Х+ В1д+ С12+ 01 — — О, А2Х+ В2д+ С22+ 02 —— О. б) (г, пд) + Од = О, (г, пе) + Пе = О, (пд, пе) = О.

В задаче б) не слишком трудно получить решение и без условия (п1, п2) = = О. Попробуйте сделать это. фЗ. Основные задачи о ггрялгь~х и плоскостях Тогда по предложению 10 ~ 2 условие (3) переписывается в виде Сг Аг С2 А2 Аг Вг ~-2 В2 А В2 С2 =О, или А В С Аг Вг С1 А2 В2 С2 А В С Аг Вг Сг А2 В2 С2 Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пе- ресекаются две плоскости, не параллельна третьей. 4.

Полупространство. Пусть даны плоскость Р и определенный ее нормальный вектор п. Позгупространством, определяемым Р и п, называется множество точек М таких, что для некоторой точки ЛХо на плоскости вектор МоЛХ составляет с и угол, не больший гг/2. Если г радиус-вектор точки М, а го точки Мо, то определение полупространства, эквивалентно неравенству (г — го, и) > О. Это неравенство и есть уравнение полупространства.

Нетрудно проверить, что определение полупространства не зависит от выбора точки ЛХо. Действительно, если ЛХг(гг) другая точка плоскости, то вектор а = гг — го лежит в плоскости, перпендикуля- рен и, и мы имеем (г г1 г и) (1 10 аг и) (г аког п) Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно предложению 3 ~2 выражение (г — го, и) в координатах записывается линейным многочленом Ах + Вд + Сг + + В. Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным псравснством Ах+ Ву+ Сх+ В > О.

Обратно, любое такое неравенство можно записать как (г — го, и) > О, откуда сразу видно, что оно задает полупространство. Плоскость Р и вектор пг — — — п задают другое полупространство с уравнением (г — го, пг) > О или (г — гогп) < О. Его назовем "отрицательным", в отличие от "положительного" полупространства г— — го,п) > О. Однако такое наименование условно — оно определяется Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

Из формулы (4) следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию Гл. Х1. Прямые линии и плоскости 58 выбором вектора п. Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на ( — 1). При этом "положительное" полупространство становится "отрицательным", и наоборот. Вот, однако, факт, не зависящий от выбора направления нормального вектора: если ЛХ1(х1, д1, ~1) и ЛХ2(х2, д2, ~2) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстановки их координат в левую часть уравнения плоскости Ах1 + Вд1 + С~1 + .О и Ах2 + Вд2 + + С~~+ В имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве. Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка ЛХо(хо, до, ~о) лежит на плоскости, то точка с координатами хо + + А, до + В, ~о + С лежит в "положительном" полупространстве.

Иначе говоря, вектор с координатами А, В, С направлен в "положительное" полупространство. Это легко проверяется подстановкой. Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство Ах + Вд+ С > О, связывающее декартовы координаты точки на плоскости., определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная прямой Ах + Вд + С = О, задается неравенством Ах + Вд+ +С<О. Точки М1(х1, д1) и М2(х2, д2) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда., когда (Ах1 + Вд2 + С)(Ах2 + Вд~ + С) ) О.

5. Расстояние от точки до плоскости. Пусть дана плоскость с уравнением (г — го,п) = О и точка ЛХ с радиус-вектором К. Рассмотрим вектор МоМ = К вЂ” го, соединяющий начальную точку плоскости с М (рис. 22), Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на век- М тор и, т. е. 6 — 1(~ (6) !п! Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (Х, Ъ, У), то равенство (6) запишется согласно предложениям 3 и 4 8 2 так: ~АХ+ ВУ+ СУ+.О~ ~А- '~- В' ~- С-' Рис. 22 6. Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением [г — го, а~ = О, то мы можем найти расстояние 6 от точки ЛХ с радиус-вектором К до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах В, — го и а, на длину его основания 9о.

Основные задачи о прямых и плоскостях 59 (рис. 23). Результат можно записать форму- лой )~В, — го, а)) (8) )а) Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения. Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ах + Вд + С = О в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть ЛХо(хо,до) начальная точка прямой, а ЛХ(Х,У) некоторая Рис. 23 точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор а( — В, А). Из формулы (25) 24 гл. 1 следует, что площадь параллелограмма равна Я = ~(Х вЂ” хо)А — (У вЂ” до)( — В)~. Тогда по формуле (9) 92 5 = ~АХ+ ВУ+ С~ и )АХ+ ВУ+ С) /А' + в' (9) Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой (6), считая, что и — нормальный вектор прямой.